Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время о не локально конечных периодических группах, будем их называть бернсайдовыми, известно достаточно много. СИ. Адян, А.Ю. Ольшанский и их ученики далеко продвинулись в изучении свободных бернсайдовых групп ограниченного периода [1; 2; 10; 18; 20; 22 - 25; 54]. Больших успехов в абстрактном описании бернсайдовых групп достигла красноярская алгебраическая школа В.П. Шункова [17; 30 - 33; 36; 39; 42; 44 - 51].
Активно развивается и конструктивное направление исследования бернсайдовых групп, восходящее к работам Е.С. Голода [4] и СВ. Алешина [3]. Конструктивное направление разбивается условно на две ветви: направление, связанное с представлением группы как присоединенной группы некоторой фактор-алгебры, и направление, изучающее группы автоморфизмов однородных деревьев.
В рамках обоих направлений получены очень интересные результаты, решены многие трудные проблемы теории групп и смежных разделов математики. Прежде всего отметим результаты Р.И. Гри-горчука [5-8], решившего в частности с помощью групп автоморфизмов деревьев знаменитую проблему Милнора о росте групп.
Среди многочисленных результатов, развивающих конструкцию Е.С. Голода, можно выделить исследования А.И. Созутова и А.В. Ти-мофеенко.
Тема настоящей диссертации — детальное изучение общей конструкции групп автоморфизмов однородных деревьев или AT- групп. 'Основной идеей, заложенной в эту конструкцию, является наличие двух видов порождающих: корневых и продольных. Благодаря этому, при сужении на поддеревья, мы получаем порождающие того же вида. Таким образом, AT- группа индуцирует на поддеревьях группу, подобную себе, что позволяет вести индукцию. Именно эта индукция делает AT- группы доступными прямому изучению.
Следует отметить важность работ Ю.И. Мерзлякова, В.И. Сущан-ского, И.Г. Лысенка, Н. Гупты, С. Сидки, М. Диксона и Т.Форнелли по группам автоморфизмов однородных деревьев [19; 21; 31; 32; 52; 53; 56; 57].
В диссертации систематически изучается класс групп автоморфизмов однородных деревьев. Разрабатываются единые методы их изучения, строится технический аппарат. В последующем этот аппарат применяется для решения известных алгебраических проблем.
Одними из важных условий, налагаемых на группы являются условия конечности. В настоящей дисертации изучаются условия конечности, связанные с конечностью подгрупп, порожденных тем или иным конечным множеством элементов. Много подобных условий, ослабляющих локальную конечность, введены В.П. Шунковым. Эти условия оказались очень полезными при абстрактном описании многих интересных классов групп. Однако вопрос о разграничении этих условий во многих важных классах групп был открыт.
В данной диссертации строятся примеры, разграничивающие в классе финитно аппроксимируемых групп некоторые из условий конечности Шункова, а также некоторых обобщений этих условий.
Цель работы. Основная цель данной диссертации — всестороннее изучение AT- групп, получение информации о структуре их подгрупп, создание методов и приемов работы с такими группами. Естественным приложением излагаемых конструкций является построение примеров, отвечающих на те или иные вопросы теории групп.
Общая методика исследования. Методы общей теории групп, прямых произведений, линейной алгебры, коммутаторного исчисления.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в теории не локально конечных периодических групп.
Апробация работы. Результаты докладывались на семинарах по алгебре в МГУ (рук. А.И. Кострикин), по теории групп в Институте Математики им. В.А. Стеклова (рук. Р.И. Григорчук и B.C. Куликов ), на семинарах "Алгебра и логика", "Теория групп", "Эварист Галуа" при Новосибирском госуниверситете и Институте математики СО РАН, на городском алгебраическом семинаре при Красноярском госуниверситете, на алгебраическом семинаре в Институте математики и механики УрО РАН, на семинарах по алгебре при Уральском и
Челябинском госуниверситетах и при Челябинском техническом университете.
Автор выступал с докладами на нескольких Всесоюзных симпозиумах по теории групп и Всесоюзных алгебраических конференциях; на Международных алгебраических конференциях (Новосибирск, 1989; Барнаул, 1991; Красноярск, 1993); на Международной конференции, посвященной 1000-му заседанию семинара "Алгебра и логика" (Новосибирск, 1994); на 1-й Международной конференции "Маломерная топология и комбинаторная теория групп" (Челябинск, 1996).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [60 - 75].
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав и списка литературы (156 наименований), занимает 231 страницу текста, набранного в Ш^Хе. Нумерация тройная: номер главы, номер параграфа в главе, номер пункта в параграфе.