Введение к работе
Актуальность темы диссертации. В диссертации исследуется поведение образов унипотентных элементов в неприводимых представлениях полупростых алгебраических групп над полями положительной характеристики. Результаты диссертации являются частью более общей программы разработки методов распознавания представлений и линейных групп по свойствам индивидуальных матриц.
Возникшая в конце Х1Х-го века в работах Бернсайда, Фробениу-са, Диксона и Шура, теория представлений групп превратилась в обширный и интенсивно развивающийся раздел современной алгебры. В последние годы в этой теории получен ряд глубоких результатов, но недостаточно разработаны аспекты, связывающие указанную теорию с линейными группами. В то же время, именно такой подход зачастую оказывается плодотворным для выявления глубоких закономерностей, например, для понимания строения максимальных подгрупп многих важных групп. Актуальность этих аспектов еще более возрастает в связи с завершением классификации конечных простых групп, в результате чего многие важные проблемы о конечных группах редуцируются к задачам теории представлений и теории линейных групп. При решении задач распознавания алгебраических и конечных линейных групп возникает необходимость работать не только в нулевой, но и в положительной характеристике. Естественно, что «именно анализ поведения р-элементов позволяет выявить некоторые важные свойства линейных групп, характерные для полей характеристики р>0. Сама структура сопряженных классов унипотентных элементов полупростых алгебраических групп над алгебраически замкнутым полем способствует постановке вопросов, связанных с поиском таких свойств. Для приложений к конечным линейным группам особенно существенно, что результаты, связанные со свойствами унипотентных элементов в представлениях, легко переносятся с полупростых алгебраических групп на конечные группы типа Ли. Этот перенос осуществляется .с помощью теоремы Стейнберга [23], ввиду которой полный набор неприводимых неэквивалентных представлений конечной группы типа Ли над алгебраически замкнутым полем Р собственной характеристики получается в результате ограничения на эту группу явно указанного множества представлений соответствующей полупростой алгеОраичес-
кой группы над P.
Достигнутый уровень структурной теории групп и теории представлений дает возможность развивать новые матричные методы исследования, лежащие на граки теории представлений и теории линейных групп. Здесь особо важную роль играют полученная Шевалле классификация полупростых алгебраических групп, описание классов сопряженных унипогентных элементов в таких группах (см. [8, гл. 5], заложенный Стейнбергом и Кэртисом фундамент теории представлений алгебраических групп произвольной характеристики и более поздние результаты Янцеяа [13], Зейца [20, 21], Смита [22], Тестерман [25-27].
Рассматриваемый в диссертации круг задач теории представлений алгебраических групп близок по духу к ряду глубоких результатов, полученных для конечных линейных групп и нашедших многочисленные приложения. Вспомним хотя бы фундаментальную работу Холла и Хигмана [10], дающую нижние границы степеней минимальных полиномов р-элементов в конечных неприводимых р-разрешимых . линейных группах над полем характеристики р; статьи Томпсона [29] и Хо [12] о конечных неприводимых линейных группах в характеристике р>2, порожденных элементами порядка р с минимальными полиномами степени 2 - так называемых квадратичных парах. В последнее время активизировались исследования по асимптотической теории групп подстановок и конечных линейных групп, связанные с теорией алгоритмов (смотри, например, очень содержательные обзоры Кантора [14] и Пайбера [18]). Для развития этих идей представляется плодотворным применить асимптотический подход в теории представлений алгебраических групп. Именно такую направленность и имеют результаты глав 5 и 6.
Связь работы с крупными научными программами, темами. Дис- . сертация выполнена в рамках тем "Исследование представлений групп типа Ли, строения групповых колец, алгебр Ли и линейных групп" и "Исследование представлений алгебраических и конечных групп, строения локально конечных групп и групповых колец", включенных в республиканские программы "Развитие методов теории групп, алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел" и "Исследование алгебраических и дифференциальных свойств основных математических структур".
Исследования, в ходе которых получены результаты диссертации, поддерживались грантами Международного Научного Фонда и Правительства Республики Беларусь, Фонда фундаментальных исследований Республики Беларусь, INTAS. Часть этих результатов получена в рамках немецко-белорусского проекта "Исследование представлений конечных групп", выполняемого совместно с учеными Института экспериментальной математики, Эссен.
Цели и задачи исследования. Цель работы - выяснение свойств унипотентных элементов в неприводимых представлениях алгебраических групп, разработка методов изучения таких свойств. Основные задачи диссертации: найти минимальные полиномы элементов порядка р в неприводимых представлениях полупростых алгебраических групп над полем характеристики р; получить нижние оценки для числа блоков Жордана размерности р в образах элементов порядка р в неприводимых представлениях классических алгебраических групп в характеристике р с достаточно большими относительно р старшими весами; классифицировать неприводимые представления простых алгебраических групп, содержащие матрицы с большими блоками Шордана.
Научная новизна полученных результатов. Все результаты диссертации являются новыми. Значительная часть используемого аппарата разработана автором.
Значимость результатов. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для решения различных классификационных задач, связанных с распознаванием представлений и линейных групп. Результаты главы 4 уже нашли применение для вычисления минимальных полиномов образов унипотентных элементов порядка >р в неприводимых представлениях специальной линейной группы над полем характеристики р.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту. 1) Найдены минимальные полиномы образов элементов порядка р в неприводимых рациональных представлениях полупростых алгебраических групп над алгебраически замкнутым полем Р характеристики р.
2) Для классических групп над полем Р установлено, что если старший вес неприводимого представления р группы G достаточно велик по сравнению с р, то для любого элемента xeG порядка р число блоков Шордана размерности р матрицы р(х) ограничено снизу явно указанной линейной функцией ранга группы G. Введено понятие
р-болыюго представления.
3) При небольших ограничениях на характеристику основного поля классифицированы неприводимые представления р простых алгебраических групп G, содержащие матрицы с блоком Йордана размерности adimy/rCG^. В качестве следствия доказано, что если
Личный вклад соискателя. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно. Цитируемые в работе совместные статьи не содержат результатов, включенных в диссертацию.
Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989, и Барнаул, 1991), на международной конференции по теории представлений групп типа Ли (Беркли, США, 1990), на международных конференциях "Алгебра и комбинаторика" (Владимир, 1991, и Кенигштайн, Германия, 1994), в Институте высших исследований НАТО "Конечные и локально конечные группы" (Стамбул, Турция, 1994), на международной конференции "Алгебра и математическая кибернетика" (Минск, 1995), на алгебраических семинарах университетов Кембриджа, Манчестера, Уорвика, Норвича и Лестера (Великобритания), Института экспериментальной математики Эссенс-кого университета (ФРГ), Московского и Киевского университетов, на семинаре Белорусского Математического общества, а также на семинарах отдела алгебры и теории чисел Института математики АНБ.
Опубликованность результатов. Результаты диссертации опубликованы в 8 статьях, их список имеется в конце реферата.
Структура и объем диссертации. В диссертации имеются перечень условных обозначений, введение, общая характеристика работы, 6 глав, прилоаение. Полный объем 217 с. , из них 15 с. занимает приложение, 8с. - список использованных источников (88 наименований).