Тригонометрические суммы Г. Вейля над кольцом целых алгебраических чисел Кокорев, Антон Владимирович

Введение к работе

Актуальность темы.

Область исследования диссертации относится к аналитической теории чисел. В ней рассматриваются вопросы, связанные с тригонометрическими суммами над полем вещественных алгебраических чисел.

Основной целью настоящей работы являеются оценки модуля тригонометрической суммы

S(ai,/3i,...,a_n, j3_n) = У^ _e^(«iSp(A)+/3₁Sp(^A)+...+a_nSp(A")+/3_nSp(^A))

Аєг/

аі,/3і,...,а_п,/3_п Є К,

Sp (7) = 7 + 7, z/ = і a + by/2] a,be [1; P] a, b Є n| ,

7 — сопряженное к 7.

В работе рассматриваются тригонометрические суммы над целыми алгебраическими числами, являющиеся обобщением классических тригонометрических сумм вида

2тгг/(х)

V = V{a_n,...,ai) = ^2

Є х=1

где f(x) = а_пх^п + ... + а,\Х, и а_п,..., а,\ - любые вещественные числа.

Академик Иван Матвеевич Виноградов дал им название сумм Г. Вейля, которое стало общепринятым. Упомянутые в диссертации суммы по аналогии будем называть суммами Г.Вейля. И.М.Виноградов разработал теорию тригонометрических сумм Г.Вейля¹. Центральную роль в ней играет теорема о среднем значении таких сумм, т.е. об оценке величины

р к

_е2тгг(/(х))

da\... da_n.

x=l

Интеграл I(P, п, к) получил название интеграла Виноградова². По аналогии будем использовать это понятие и в случае наших сумм.

¹ Виноградов И.М., "Новые оценки сумм Вейля", Докл. АН СССР, 1935, т.З, №6, с. 195-198.

² Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н., "Теория кратных тригонометрических сумм", М.
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

Оказывается, что среднее значение сумм в точности равно числу решений в натуральных числах системы уравнений.

Xi + ... + х_к =yi + ... + у_к,

^хі + + Ч= УЇ + + УкN где 1 ^ x_s ^ Р, 1 ^ y_s ^ Р, s = 1,..., п.

В рамках теории тригонометрических сумм Г.Вейля важно получение возможно более точной оценки /(Р,п^к) для числа слагаемых к порядка п² и более.

И.М. Виноградов получил удобную для применения «упрощенную оценку» величины 1(Р,п,к) вида³

о| п(п+1)

1{Р,п,к) ^Р^2к——,

с ограничением вида к = [n²(21nn + ln(lnn) + 4)].

Академик Ю.В.Линник⁴ предложил вариант доказательства теоремы о среднем значении, использовавший свойства сравнений по модулю степеней простого числа р. А. А.Карацуба и др. усовершенствовали этот метод⁵, получивший название р-адического.

И.М.Виноградов поставил проблему оценки кратных

тригонометрических сумм. В начале 70-х годов прошлого века⁶ Г.И. Архипов получил первые оценки двукратных сумм Г. Вейля для многочленов общего вида. Позже Г.И. Архипов и В.И. Чубариков дали обобщение результатов Г.И. Архипова на кратный случай⁷.

Гезультаты исследований по кратным тригонометрическим суммам Г. Вейля составили содержание монографии «Теория кратных тригонометрических сумм»⁸. СБ. Стечкиным⁹, О.В. Тыриной¹⁰ и др.

³ Виноградов И.М., "Метод тригонометрических сумм в теории чисел", М.: Наука. Главная
редакция физико-маетиматическогой литература, 1980, 144 с.

⁴ Линник Ю.В., "Оценки сумм Вейля", Докл. АН СССР, 1942, т.34, №7, с. 201-203.

⁵ Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н., "Теория кратных тригонометрических сумм", М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

⁶ Архипов Г.И., "Теорема о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы", Мат.
заметки, 1975, №1, с. 143-153.

⁷ Архипов Г.И.,Чубариков В.Н., "О кратных тригонометрических суммах", Док. АН СССР, 1975,
т. 222, №5, с. 1017-1019.

⁸ Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н., "Теория кратных тригонометрических сумм", М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

⁹ Стечкин С. Б., "О средних значениях модуля тригонометрической суммы", Тр. Матем. ин-та им.
В.А. Стеклова АН СССР, 1975, т. 134, с. 283-309.

¹⁰ Тырина О.В., "Новая оценка тригонометрического интеграла И. М. Виноградова", Изв. АН СССР, 51 (1987), 2,-с. 363-378.

было продолжено развитие метода тригонометрических сумм в поле рациональных чисел. Результаты теории кратных тригонометрических сумм используются в диссертационной работе.

Естественным развитием метода тригонометрических сумм является его обобщение в поля алгебраических чисел.

Первые исследования в этом направлении провел К.Л.Зигель¹¹. Он применил метод тригонометрических сумм для решения задач варинговского типа в кольце целых алгебраических чисел. Эти исследования были продолжены Т.Татудзавой¹² и О.Кернером¹³. Ими была доказала теорема о среднем для сумм Г. Вейля в полях алгебраических чисел. В дальнейшем И.Еда доказал теорему о среднем р - адическим методом¹⁴.

Тригонометрические суммы, рассматриваемые в данной диссертации, существенно отличаются областями изменения переменных от тригонометрических сумм, которые изучались в приведенных выше работах. Суммами подобными нашим в последнее время занимались И.М. Козлов¹⁵ и П.Н. Сорокин¹⁶.

С формальной точки зрения тригонометрическую сумму в квадратичном поле можно рассматривать, как частный случай двойных тригонометрических сумм, которые оценивались в общей теории кратных тригонометрических сумм¹⁷, но в нашем частном случае получены более сильные оценки индивидуальных сумм и их средного значения, которые являются близкими к окончательным по главному параметру.

Заметим, что если теорему о среднем, аналогичной нашей, выводить из общей теоремы о среднем для двухкратной суммы Г.Вейля, то степень осреднения будет иметь порядок n³logn. В то время как в нашем случае порядок n²logn, при этом выполняется неравенство

п log > п log п.

В этом состоит принципиальное отличие нашего результата от общей

¹¹ Siegel C.L. "Generalization of Warings problem to algebraic number fields", Amer. J. Math., 66 (1944),
pp. 122-136.

¹² Tatuzava N., "On the Waring problem in an algebraic number field", Jour. Math. Soc. Japan, 10 (1958),
No. 3, pp. 322-341.

¹³ Korner 0., "Uber Mittelwerte trigometrischen Zahlkorpern", Math/ Ann// 147(1962), pp.205-309.

¹⁴ Eda Y., "On the meanvalue theorem in an algebraic number fields", Jap. J. Math., 36 (1967), pp. 5-21

¹⁵ Siegel C.L. "Generalization of Warings problem to algebraic number fields", Amer. J. Math., 66 (1944),
pp. 122-136.

¹⁶ Сорокин П.Н., "Среднее значение тригонометрических сумм в кольце гауссовых чисел", Дис.
...канд. физ.-мат. наук.-М., 2008

¹⁷ Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н., "Теория кратных тригонометрических сумм", М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

теоремы. Это обстоятельство связано с тем, что в нашем случае осреднение тригонометрической суммы ведется по 2п коэффициентов многочлена в её экспоненте, а в общем случае количество таких коэффициентов равно п². Другим основным результатом диссертации является оценка тригоногметрических сумм над квадратичным полем на I и II классах. Заметим, что для II класса получены равномерные оценки имеющие вид: О (Р^2_/9), где р ~ _п2_1о в то время как для двойных сумм общего вида в настоящее время известна равномерная оценка только порядка¹⁸ P²~^Pl,

ГДЄ Ол ~ -g-j—.

^ ' ¹ п^л log п

Путем применения полученных выше результатов, в диссертации находится асимптотическая формула для количества решений системы уравнений, при к > n²logn

Лі + ... + Х_к = iii + ... + ii_k + a_{h <} X² + ... + Л| = д2 + ...+ii² +a₂,

, А? + ... + АЕ = /х? + ... + /# + <7_п,

где неизвестные Лі,/іі,о"і Є v,i = l,n, v область, состоящая из целых алгебраических чисел поля К - алгебраических чисел 2 степени, полученного как расширение поля рациональных чисел присоединением >/2, вида а + 6\/2, где, а, Ъ Є [1; Р] Є N, Р Є N.

Цель работы

Целью работы является получение новых оценок среднего значения модуля тригонометрических сумм в квадратичном поле, оценок индивидуальных сумм Г.Вейля над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел, доказательство асимптотической формулы для аналога интеграла И.М.Виноградова в квадратичном поле вещественных алгебраических чисел, что дает оценку числу решений некоторой системы уравнений над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел.

Методы исследования

В работе используются методы элементарной и аналитической теории чисел, в том числе метод кратных тригонометрических

¹⁸ Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н., "Теория кратных тригонометрических сумм", М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

сумм И.М.Виноградова, формула И.М.Виноградова для обращения тригонометрических сумм, методы комплексного анализа.

Научная новизна

В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Доказана теорема о среднем значении модуля тригонометрической суммы в квадратичном поле вещественных алгебраических чисел.

2. Получены оценки модуля тригонометрических сумм Г. Вей ля в квадратичном поле на I и II классах.

3. Найдена асимптотическая формула для аналога интеграла И.М.Виноградова в квадратичном поле вещественных алгебраических чисел.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

семинар «Аналитическая теория чисел» (д.ф.-м.н., проф. В.Н. Чубариков, д.ф.-м.н., проф. Г.И. Архипов), МГУ, неоднократно в 2011-2012 гг.

Международная научно-практическая конференция «Математика и её приложения. Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Орел, Орловский государственный университет, 20-21 мая 2011 г.).

X международная конференции 'Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения г. Волгоград, УКЦ ФМИФ ВГ-СПУ, 10-16 сентября 2012 г.

XI Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы теории чисел и приложения», г. Саратов, 9-14 сентября 2013 г.

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата [1], [2], [3], [4], [5]. Работ в соавторстве нет.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации методы и результаты представляют интерес для специалистов аналитической теории чисел. Они позволяют обобщить метод тригонометрических сумм на поля вещественных алгебраических чисел и уточнить полученные ранее оценки модуля кратных тригонометрических сумм.

Структура и объем диссертации