Введение к работе
Актуальность темы. В 1981 г. была завершена классификация конечных простых групп [1]. Этот результат оказал значительное воздействие на многие области как внутри теории групп, так и вне ее. В частности, из классификации конечных простых групп следует полное описание конечных 2-транзитивжых групп [2, 3]. В главах 2-4 диссертации рассматриваются области исследований, в которых можно применить методы и результаты теории конечных 2-транзитивных групп. Это — однородные группоиды, 3-сети и группы, порожденные трансляциями аддитивных луп конечных неотел.
Однородные и 2-однородные группоиды. Пусть X — некоторый объект алгебраического или геометрического характера (квазигруппа, лупа, блок-схема и т.д.). Будем называть объект X однородным (2-однородньгм),' если он имеет транзитивную (2-транзитивную) группу автоморфизмов. Естественно, транзитивность понимается на множестве элементов из X, отличных от выделенных элементов в X.
А.И.Кострикиным в [4] рассматривались однородные алгебры, т.е. ненулевые конечномерные линейные алгебры над полем F с группой автоморфизмов, транзитивной па множестве ненулевых векторов. При этом доказано, что однородные алгебры существуют лишь над конечным полем F и, поэтому, особо важен конечный случай. Исследование этой задачи продолжено в [5] - [7], а окончательное решение получено в [8]. Тем самым однородные алгебры классифицированы с точпостью до изоморфизма.
Л.Н.Шевриным в [9, с. 31, проблема 2.77] сформулирована аналогичная проблема для полугрупп, а именно, поставлена задача изуче-
ния однородных полугрупп.
Из результатов, относящихся к 2-одыородности, приведем один из наиболее известных — теорему Т.Острома и А.Уагнера [10]. Конечная проективная плоскость с 2-трапзитивной группой коллинеаций дезаргова, т.е. является плоскостью пад некоторым полем GF(q).
С использованием классификации конечных 2-транзитивных групп Д.Ки и Е.Шультом [11] описаны системы троек ШтеЙнера с 2-транзитивной группой автоморфизмов. Более общий результат получен в работе У.Кантора [12], где описаны блок-схемы с А = 1 и 2-транзитивной группой автоморфизмов.
Естественным продолжением данных исследований является изучение 2-однородных группоидов. Впервые такие группоиды рассматривалась в 1964 г. в работе Стейна [13]. Из дальнейших результатов о 2-однородных группоидах отметим работу К.Штрамбаха [14]. В.М.Галкиным в [15] изучались конечные симметрические квазигруппы с 2-транзитивной группой автоморфизмов и доказана их медиальность.
Главная задача о 2-однородных группоидах формулируется в диссертации в двух формах.
(А) Описать с точностью до изоморфизма конечные группоиды с 2-транзитивной группой автоморфизмов.
(А1) Описать все пары (X,G), где X — конечный группоид, G — подгруппа группы Aut(.X'), 2-транзитивная на множестве X.
Требование однородности группоида X является слабым условием, поскольку, в общем случае (включая бесконечный случай) однородные группоиды неизвестны даже при таком сильном ограничении, как ассоциативность операции. Естественным ограничением в такой ситуации является рассмотрение конкретного типа группы G-Ant(X). Таким образом, возникает следующая задача.
(Б) Изучить группоиды X с заданной транзитивной группой автоморфизмов G.
Случай G = SL(2,q), q = 2", |Х| = q(q± 1)/2 непосредственно связан с задачей (А).
З-СЕТИ. Рассмотрим следующее направление исследований — описание конечных 3-сетей типов 1.3,1.4 и 1.5.
Важную роль в теории проективных плоскостей играет классификация, полученная Х.Ленцем [16] и А.Барлотти [17]. Здесь термин «классификация» употребляется в новом смысле: множество всех плоскостей разбивается на ряд классов. Проективные плоскости распределяются по классам в зависимости от строения их группы коллинеаций [18, с. 123-126], [19, с. 22].
А.Барлотти и К.Штрамбахом в [20] предложена классификация 3-сетей, аналогичная классификации Ленца - Барлотти. Инцидент-ностная структура (V, ,2), где V — множество точек, а — множество прямых, называется 3-сетью [21], если разбито на 3 семейства А, С-ъ А, так что
-
для каждого семейства ,-, і = 1,2,3 и точки р существует ровно одна прямая L Є ,-, содержащая точку р;
-
если L Є ,-, М Є Cj и і ф. j, то прямые L и М имеют ровно одну общую точку.
Пусть N — 3-сеть и Г — группа коллинеаций сохраняющих направления ,-, где і = 1,2,3. Направление X = ,- называется транзитивной осью [20, с. 96], если Г имеет подгруппу Т(Х), действующую тождественно на X, и транзитивную на точках прямой LeX.
Точка р называется транзитивным центром, если стабилизатор в Г точки р имеет подгруппу S(p), действующую регулярно (т.е. точно 1-транзитивно) на множестве L \ {р}, где L Є и р Є L.
По [20, теорема 17.2] каждая 3-сеть Л/" принадлежит точно к одному из 7 классов Ленца 1.1 - 1.5, П.1, lf-2. При этом отмечается [20, с. 100], что вопрос о существовании 3-сетей типов 1.3, 1.4 и 1.5 остается открытым. Приведем определение сетей данных типов [20, с. 96]. Пусть АҐ - 3-сеть, не имеющая транзитивной оси. Тогда Я имеет тип 1.3, если каждая прямая содержит ровно один транзитивный центр; N типа 1.4, если транзитивные центры образуют точки единственной прямой; М типа 1.5, если каждая точка является транзитивным центром.
Хотя в целом задача об изучении всех конечных 3-сетей с точностью до изоморфизма, разумеется, нереалистична, но в случае конечных сетей типов 1.3, 1.4, 1.5 ситуация иная. В этом случае можно
применить теорию 2-трапзитивных групп, и возникает следующая задача:
(В) Описать с точностью до изоморфизма конечные 3-сети типов 1.3, 1.4 и 1.5.
КОНЕЧНЫЕ НЕОТЕЛА. Пусть X — произвольная квазигруппа и а X. Отображение х н-> х + а для всех х Є X называется правой трансляцией квазигруппы X, соответствующей элементу а. Аналогично определяется левая.трансляция. Квазигруппе X можно сопоставить группы R(X), L(X), А(Х), порожденные соответственно правыми, левыми и всеми трансляциями квазигруппы X. Обзор результатов о группах, порожденных трансляциями квазигрупп и луп, и проблематику этого направления можно найти в [22], [23] и [24]. Наиболее актуальны вопросы построения квазитрупп и луп с заданными группами R(X), L(X), А(Х), а также вопросы о связи между строением квазигруппы X и строением данных групп трансляций.
Хотя в общем случае вряд" ли можно расчитывать на полное описание групп R(X), L(X), А(Х), однако следующий важный случай достижим для полного описания.
Алгебраическая система (AT,+,-,0,1) называется неотелом, если выполнены следующие аксиомы:
а) (7V,+,0) — лупа,
б) (N\ {0),-,1) -группа,
в) (х + y)z = xz+ yz и х(у + z) = ху + xz для всех x,y,z Є N.
Впервые данная алгебраическая система рассматривалась в
[25]. Неотелам с циклической мультипликативной группой посвящена монография [26]. Связи между конечными неотелами, тройками Штейнера и другими блок-схемами исследовались в [27, .28, 29]. Отметим также известную проблему: существует ли конечная проективная плоскость типа 1.4 по Ленцу-Барлотти [18, с. 126]?
Связь этой проблемы с неотелами следует из ее переформулировки: существует ли конечное неотело N с плоскостным условием, отличное от поля Галуа? Обзор результатов по этой проблеме можно найти в [30].
Рассмотрим элементы а і, йг,... , а* Є N и подстановку д Є R(N, +)
неотела N, где х9 = (((х + сц) + аг) 4-... + а^) для всех х Є TV.
Если iV — поле, то х" = х + а, где а = аі + аг + + at- Это один предельный случай, когда число элементов д минимально. Другой, противоположный случай, заключается в том, что любая четная подстановка множества N является подстановкой данного вида.
Хотя число неизоморфных неотел данного порядка п неограниченно увеличивается при возрастании п [29, теорема 4.3], [26, Appendix II], и, конечно, невозможно описание с точностью до изоморфизма всех конечных неотел, но во всех примерах, за исключением нескольких, обнаруживается выполнение одного из указанных двух случаев. Вследствие этого, возникает следующая задача.
(Г) Доказать, что за 'исключением нескольких случаев, группа, порожденная правыми трансляциями конечного неотела N, отличного от поля Галуа, есть Ац или S\. Описать с точностью до изоморфизма эти исключения.
Можно сформулировать более общую задачу.
(П) Пусть (L, +, 0) — конечная лупа с регулярной на \{0} группой автоморфизмов. Пусть G группа, порожденная трансляциями лупы L (всеми трансляциями или толъххГправыми трансляциями). Доказать, что, за исключением нескольких случаев, группа G совпадает с Ац или Sn- Описать эти исключения.
Как уже отмечалось, наиболее интересные из неотел — это отличные от GF(q) конечные неотела с плоскостным условием, существование которых неизвестно [30]. Такому неотелу соответствовала бы плоскость типа 1.4. Эта плоскость входит в класс Д, где Д — класс проективных плоскостей, удовлетворяющих следующему условию.
Плоскость л- имеет три неколлинеарные точки р, q, г такие, что группа G, состоящая из коллинеаций плоскости it, оставляющих неподвижными точки р, q, г, действует транзитивно на множестве точек, не лежащих на прямых pq, pr, qr.
Изучение этого класса плоскостей важно в связи с еще двумя нерешенными проблемами: в класс Д входят все проективные плоскости типа 1.3 (совпадение обозначений 1.3, Г.4 в 3-сетях [20] и в классификации Ленцем-Барлотти чисто случайно). Как и в случае 1.4, извест-
ны только бесконечные плоскости типа 1.3 [31]. Кроме того, в класс Д входят все плоскости с группой коллинеаций, транзитивной на четырехугольниках. Отмстим нерешенный вопрос: будет ли альтернативной бесконечная проективпые плоскость с группой коллинеаций, транзитивной на четырехугольниках [19, с. 21].
Так как класс Д является достаточно обширным, то не ставится вопрос об описании плоскостей из класса Д с точностью до изоморфизма. Вместо этого рассматривается следующая задача описания класса Д в теоретико-групповых понятиях:
(Д) Построить точки, прямые, инцидентности и тернар плоскости 7Г, исходя из смежных классов и некоторых дополнительных множеств группы G.
В задачах (А) - (Д) изучаются алгебраические системы, сети и плоскости с группой автоморфизмов, обладающей определенными свойствами. Тем самым, задана группа и восстанавливается объект с данной группой автоморфизмов. В заключительной главе 5 рассматривается обращение этой задачи. Пусть задана конечная группа G. Необходимо построить.группу G, как группу автоморфизмов алгебраической системы, конечной геометрии, решетки и т.п. Разумеется, в качестве G должна выступать группа из наиболее важных классов групп: групп Шевалле, спорадических групп. Естестве-но, эти конструкции дают дополнительную информацию о строении группы G.
В работе предлагается следующий метод для построения конечных групп.
Пусть G — конечная группа, К — поле комплексных чисел или его подполе, V — эрмитово пространство над К (или евклидово пространство над R). Построить конечное множество J в пространстве V такое, что группа изометрий пространства V, сохраняющих множество J, изоморфна группе G. Допустимо небольшое изменение в 'постановке задачи: вместо множества J рассматриваются два множества J и J'). Некоторые идеи такой конструкции можно проследить из построения спорадических простых групп Д. Копвея [32].
Среди классических групп мы выделяем симплектические группы и формулируем следующую задачу.
(Е) Построить приведенным выше методом спмплектические группы над конечным полем.
Цель работы. Полное решение вопросов (А), (А1), (В), (Г), (Д). Рассмотрение задач (Б), (Г1), (Е) при дополнительных ограничениях.
Общая методика исследований. Применяются методы теории конечных групп.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в дальнейших приложениях теории групп к исследованию квазигрупп, луп, 3-сетей, аффинных и проективных плоскостей.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на I и II Международных конференциях по алгебре в Новосибирске и Барнауле, на XI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в Свердловске, на семинаре по общей алгебре МГУ, основанном О.Ю.Шмидтом, на семинарах «Алгебра и логика» в ИМ СО РАН и «Теория групп» в НГУ, на алгебраическом семинаре по теории групп в ИММ УрО РАН, на семинаре «Алгебраические системы» в УрГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах (39]-[51].
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из пяти глав, списка литературы (93 наименований) и занимает 202 страницы текста. Нумерация теорем одинарная, нумерация предложений (лемм, определений) двойная: номер главы и номер предложения (леммы, определения) в главе.