Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ Аналогии между числовыми н функциональными долями активно используются как в задачах алгебраической геометрии, так и в задачах алгебраической теории чисел. Так доказательство гипотезы Рішана для дзота-фуикций глобальных функциональных полей было успешно применено для оценок тригонометрических суш.
Одним из центральных понятий в теории функциональных полей положительной характеристики является понятие эллиптического модуля, введенное В. Г. Лринфзльдом и использованной для
2)
явного построении теории полей классов функциональных полей , а такжэ для доказательства гипотезы Лзкглендса о соответсвни иезщу автоморфными представлениями группы GL(2) и двумерными комплексными представлениями Галуа основного поля ".
Эллиптические модули являются аналогом эллиптических кривых н допускают как чисто аналитическое описание с помощью рч-вегок - дискретних модулей над кольцом регулярных функций.-так и алгебраическое описание с помощью морфизма Фробениуса, которое позволяет определить рациональные эллиптические модули, аналогичные эллиптическим кривым, -заданным уравнением с
1) Дриифельд В. Г. Эллиптические модули // Матем. сборник. 1974.
' Т. 94. С. 694-627.
-
Hayes D. Analytic olass number formulas in global function fields // Inv.Math. 1981. V.65. P. 49-69.
-
Дринфельд R Г. Доказательство гипотеан Петерсона для функциональных полей // УШІ 1977. Т. 32, HZ. 0.209-210.
рациональными коэффициентами.
В диссертации изучается арифметические свойства аналити ческих функций, периодических относительно решеток, ствечаяц рациональным эллиптическим модулям. Кроме того, строится тео ркя двойственности локально компактных модулей над кольцом р гулярных функций, в которой дуализирующим модулеы является а липгичесгоїй модуль ранга 1.
Дальнейшее развитие результаты диссертации получили в р
4) де работ .
ЦЕЛЬ FABOTH. Первый раздел диссертации (главы I-II) по-священ доказательству общзй теоремы о трансцендентности пері доб решеток, задающих рациональные эллиптические модули, чтс является аналогом классического результата Зигеля . Устанаї ливаюгся также свойства трансцендентности специальных значег экспоненциальных функций рациональных эллиптических модулей.
Второй раздел диссертации (глава III) посвящен построеі теории двойственности локально компактных модулей над кольце регулярних функций. Помимо доказательства основной теоремы < существовании двойственности устанавливается структурная те< рема и дается описание основных топологических классов моду. из данной категории.
ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации используете: метода теории аналитических функций над неархимедовыми поля;
4) Yu J, Transcendence and Drinfeld modules // Inv. Math. 19
V.83. P. 607-617. Б) Slegel C. L. Transcendental numbers // Annals of Math. Stu
16 (Princeton, 1949).
- S -
и методы теории топологических модулей над дискретными кольца-ии.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе получены следующие новые результаты.
-
Доказана трансцендентность над основним полем рациональных функций специальных аначений экспоненциальной функции рационального эллиптического модуля.
-
Доказана трансцендентность над полем рациональных функций периодов ревегки. связанной с рациональным эллиптическим иодулем специального вида
-
Доказана теореца о сущэствовании двойственности для локально компактных А-иодулей, где A-FqCTl, Fq - конечное поле из q элементов.
-
Доказана структурная теорема для точных локально компактных А-модулей.
6) Введено понятие А-СВЯ8Н0СТИ топологического А-модуля и установлено соответствие между А-связными модулями и модулями без кручения.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут Сыть использованы в теории глобальных полей положительной характеристики, неархимедовом анализе, топологической алгебре и алгебраической теории чисел.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЕ Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции "Теория тірансцендентньпс чисел и ее приложения" (1983г.), на научно-исследовательских семинарах по алгебре и теории чисел в ИРУ и ЛОМИ АН СССР.
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 4 работы [1-4].
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и трех глав, объединяющих 13 параграфов. Список литературы содержит 47 наименований. ООъеы диссертации 89 страниц машинописного текста.