Введение к работе
Теория многообразий, берущая свое начало с классической работы Биркгофа (1935 г.), превратилась за последние десятилетия в обширную и динамично развивающуюся область алгебры. Одним из центральных ее направлений является изучение решёток многообразий. На важность и актуальность исследований в этом направлении указывал в своем программном докладе на международном математическом конгрессе в Москве (1966 г.) академик А. И. Мальцев.
На решёточном языке естественно выражается большинство фундаментальних свойств многообразий, а потому можно надеяться — и такие надежды во многом оправдываются, — что и обратно, рассматривая естественные теоретико-решёточные ограничения на решётку многообразий, мы можем выделить важные и в то же время поддающиеся изучению классы многообразий. Среди различных встречавшихся в литературе свойств решёток многообразий особое место принадлежит условиям конечности и решёточным тождествам.
История возникновения вопроса о тождествах в решётках многообразий была связана с попытками описания строения решётки всех многообразий (первоначально многообразий групп) с помощью представления каждого многообразия в виде объединения многообразий, неразложимых в объединение. Дистрибутивность решётки эквивалентна тому, что каждое такое представление является единственным; модулярность решётки влечёт инвариантность числа неразло-шшых компонент в таких представлениях, и т.д.
Кроме того, изучение многообразий с ограничениями на свойства решёток подмногообразий обычно идет от узких классов решёток ко все более широким. Первым шагом при рассмотрении многообразий тех или иных алгебраических систем, как правило, является описание атомов, т. е. многообразий с двухэлементной решёткой подмногообразий. Следующим этапом — зачастую весьма нетривиальным — становится изучение цепных многообразий, т. е. многообразий, подмногообразия которых образуют цепь. Дистрибутивные же решётки являются естественным обобщением цепей. Ведь, как хорошо известно, класс дистрибутивных решёток — это решёточное
многообразие, порождённое цепями.
Многообразия с дистрибутивной решёткой подмногообразий называются дистрибутивными. Задача описания дистрибутивных многообразий колец и алгебр была поставлена Л. А. Бокутем в 1976 году в "Днестровской тетради'' ([7], проблема 1.19). Она уже давно осознана как одна из тех ключевых реалистичных (хотя и труднодостижимых) целей, вокруг которых концентрируются интересы и усилия специалистов, исследующих решётки кольцевых многообразий.
Дистрибутивность многообразия является наследственным свойством в том смысле, что иногообразие, лежащее в дистрибутивной многообразии, само дистрибутивно. Поэтому для описания дистрибутивных многообразий достаточно указать некоторую границу между дистрибутивными и недистрибутивными многообразиями. Кроме того, для каждого многообразия нужно уметь определять его положение относительно этой границы. Есть два естественных кандидата на роль такой границы.
Во-первых, границей может служить совокупность всех максимальных дистрибутивных многообразий — при условии, что каждое дистрибутивное многообразие содержится в некотором максимальном дистрибутивном. Во-вторых, если каждое недистрибутивное многообразие содержит почти дистрибутивное многообразие (т.е. иедистрибутивное многообразие, у которого каждое собственное подмногообразие дистрибутивно), то роль границы может играть множество всех почти дистрибутивных многообразий.
Заметим, что a priori ниоткуда не следует, что в том или ином семействе многообразий граница между дистрибутивными и недистрибутивными многообразиями — в смысле предыдущего абзаца или каком-либо другом смысле — вообще должна существовать. В частности, для многообразий колец Ли было отнюдь не ясно, существуют ли среди них максимальные дистрибутивные и/или почти дистрибутивные многообразия.
Таким образом, на пути к решению проблемы Л. А. Бокутя в том или ином классе колец возникает ряд естественных задач:
1. Существуют ли максимальные дистрибутивные многообразия?
-
Содержится ли каждое дистрибутивное многообразие в максимальном дистрибутивном?
-
Получить описание максимальных дистрибутивных многообразий.
-
Найти алгоритм, который бы для каждого многообразия давал ответ: лежит ли данное многообразие в некотором максимальном дистрибутивном.
-
Существуют лн почти дистрибутивные многообразия?
-
Содержит лн каждое недистрибутивное многообразие некоторое почти дистрибутивное?
-
Получить описание почти дистрибутивных многообразий.
-
Найти алгоритм, который бы для каждого многообразия давал ответ: содержит ли данное многообразие некоторое почти дистрибутивное.
Приведённый список задач и послужил отправной точкой для тех исследований, результаты которых представлены в данной диссертации. В качестве исследуемого класса колец был выбран класс разрешимых колец Ли. Задача описания дистрибутивных многообразий в этом классе уже привлекала внимание ряда авторов [9, 10, 11, 12].
В работе используются методы, конструкции и результаты теории многообразий колец н теории решеток.
В диссертационной работе получены следующие теоретические результаты:
доказано, что максимальных дистрибутивных многообразий разрешимых колец Ли нет,
доказано, что каждое недистрибутивное многообразие разрешимых колец Ли содержит некоторое почти дистрибутивное многообразие;
доказано, что каждое почти дистрибутивное многообразие разрешимых колец Ли порождено некоторым конечным кольцом;
построены три счетных серии конкретных примеров минимальных недистрибутивных многообразий колец Ли;
по модулю многообразий, порожденных конечным кольцом, описаны многообразия разрешимых колец Ли, решетка подмногообразий которых имеет конечную ширину.
Заметим, что хотя наибольший интерес для нас представляет тождество дистрибутивности, техника, развитая в диссертации, позволяет получать сходные результаты для весьма широкого класса решёточных тождеств.
Все перечисленные результаты являются новыми.
Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении решеток многообразий.
Результаты диссертации докладывались на III Международной Алгебраической конференции (Красноярск, 1993), Международной конференции, посвященной 100-летию Н. Г. Чеботарёва (Казань, 1994), Третьей Суслинской конференции (Саратов, 1994), IV Международной Алгебраической конференции (Санкт-Петербург, 1997), заседании семинара по алгебрам Ли кафедры высшей алгебры МГУ (1993), заседаниях семинара "Алгебраические системы" (УрГУ).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15] - [20]. Результаты работы [20] получены автором и М. В. Волковым в нераздельном соавторстве.
Диссертация состоит из введения, пяти параграфов и библиографии, включающей 70 наименований. Общий объем диссертации составляет 95 страниц.