Тождества со следом и их приложения Самойлов, Леонид Михайлович

Введение к работе

Актуальность темы. Исследование тождеств алгебраических систем - активно развивающаяся область современной алгебры. В дальнейшем будем рассматривать только тождества ассоциативных алгебр над полем.

Алгебры, обладающие нетривиальными тождествами, выделяются из класса всех алгебр наличием ряда "хороших" свойств. Например, если рассматривать конечно-порождённые (ассоциативные) Р/-алгебры, то для них положительно решаются проблемы локальной конечности и локальной алгебраичности¹, они имеют нильпотентный радикал Дже-кобсона², размерность Гельфанда-Кириллова таких алгебр конечна (несложное следствие теоремы А.И. Ширшова о высоте) и т.д. Вместе с тем, Р7-алгебры образуют достаточно широкий класс, замкнутый относительно многих естественных операций. Нельзя не отметить связь теории тождеств с теориеїі инвариантов (более подробно с этим можно ознакомиться по книге К. Прочези³).

Теория многообразий ассоциативных алгебр имеет чёткое деление на два направления: исследование многообразий над полями нулевой характеристики и над полями положительной характеристики. В первом случае имеется законченная структурная теория многообразий, построенная А.Р. Кемером⁴, позволяющая получать ответы на большинство "общих" вопросов. Одним из центральных результатов и инструментов этой теории является полное описание вербально-первпчных Т-идеалов на языке носителей.

Описание на полилинейном уровне вербально-первпчных Г-идеалов над полями положительной характеристики является сейчас одной из центральных проблем Pi-теории. Многообразия, индуцируемые первичными многообразиями из нулевой характеристики в положительную, также первичны, но кроме них в характеристике р > 0 имеются и

¹Жеалакоб К.А., Слинько A.M., Шестаков ИМ., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.:Наука. 1978.

²Втип A. The nilpoteacy of the radical in a finitely generated P.I. ring// i. Algebra. V. 89. 1984. P. 375-396.

³Procesi C. Rings with polynomial identities. New Уогкю 1973.

⁴k'emer A.R. Ideal of Identities of Associative Algebras. Amer. Math. Soc. Translations of Math. Monographs. V. 87. Providence. Я I. 1991.

другие первичные многообразия, первый пример которых был указан Ю.П. Размысловым⁵.

А.Р. Кемером было показано, что первичные многообразия теснейшим образом связаны с первичными многообразиями алгебр со следом и 7-классическими многообразиями алгебр со следом⁶. Это предопределяет большую роль 7-классических многообразий в Р/-теории, телі более что в качестве примеров выступают такие важные многообразия, как многообразия, порождаемые матричными алгебрами или, в более общем плане, матричными супералгебрами.

Цель работы. Целью работы является исследование вербально-пер-вичных многообразий ассоциативных алгебр путём пополнения шг'сле-дами. Для этого рассматриваются 7-классические многообразия алгебр со следом, исследование которых ведётся в основном на языке ассоциированных с ними систем аннудяторов групповых алгебр симметрических групп. Обычные тождества 7-классических многообразий во многих случаях (но не всегда) образуют вербально-первичные идеалы в свободной ассоциативной алгебре.

Методы исследований. В диссертации используются понятия и методы теории ассоциативных алгебр, теории тождеств ассоциативных алгебр, теории представлений симметрических групп.

Научная новизна. Получен ряд результатов о тождествах со следом первичные и непервичных 7-кла.ссических многообразий; это позволяет доказать несколько утверждений об обычных тождествах 7-клаоснческих многообразий и построить неизвестные ранее первичные многообразия ассоциативных алгебр.

Основные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие положения:

1) Получено описание полилинейных тождеств со следом матричных супералгебр над полями произвольной характеристики на языке аннуляторов. В нулевой характеристике такое описание позволяет дать короткое доказательство теоремы Ю.П. Размыслова о базисе тождеств со следом матричных супералгебр.

^ьРазмыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений. М.:Наука. 1989.

⁶Kemer A. Remarks on the prime varieties// Israel J. of Math. V. 96. 1996. P. 341-356.

1. Показано, что над полями положительной характеристики существует только конечное число минимальных 7-классических многообразий. Для этих многообразии описаны базисы тождеств. Показано, что каждое 7-классическое многообразие в характеристике р удовлетворяет тождеству Гамильтона-Кэли некоторого порядка.

2. Описана конструкция свёртки 7-классических многообразии. С её помощью построены неизвестные ранее первичные многообразия ассоциативных алгебр. В качестве таких примеров выступают свёртки минимальных многообразий.

3. Доказано наличие у 7-классических многообразий центральных полиномов и бикиллеров. Это обобщает соответствующие результаты Ю.П. Размыслова⁷. Получен ответ на вопрос о том, в какой степени обычные тождества 7-классических многообразий определяют эти многообразия.

4. Доказана глобальная конечная базируемость над полями нулевой характеристики и локальная конечная базируемости над полями положительной характеристики Т-подпростраиств полилинейных центральных полиномов (содержащих все тождества) для 7-классических Г-пдеалов при 7^0. В частности, речь может идти о центральных полиномах для матричпых супералгебр.

5. Доказано, что над бесконечным полем каждое трёхчленное тождество влечёт некоторое полугрупповое тождество, и при этом сохраняются все свойства приведённости. Тем самым изучение трёхчленных тождеств полностью сведено к изучению полугрупповых тождеств.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит целиком теоретический характер.

Как уже отмечалось, первичные многообразия и вербально-первич-ные Т-идеалы являются одним из центральных инструментов современной Р/-теории. Проблема их описания в положительной характеристике является весьма трудной. Полученные в диссертации результаты

⁷Розмыслов Ю.П. Тождества алгебр и нх представлений. М,:Наука. 1989.

о ^-классических многообразиях и их связях с первичными многообразиями следует рассматривать прежде всего с точки зрения этой общей проблемы.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной алгебраической конференции памяти А.Г. Куроша (Москва, 1998), на Второй Международной конференции "Полугруппы: теория и приложения" в честь профессора Е.С. Ляпина (Санкт-Петербург, 1999), на пленарном докладе Европейской конференции "Rings, Modules and Representations" (Констанца, 2000).

Личный вклад. Все результаты диссертации получены автором лично. Все результаты являются новыми, за исключением теоремы Ю.П. Размыслова о базисе тождеств со следом матричных супералгебр в характеристике нуль, для которой получено гораздо более простое доказательство.

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 6 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из девяти параграфов, первый из которых является введением, и списка литературы. Объём диссертации - 76 страниц.