Введение к работе
Актуальность темы. Идея получения новых объектов из имеющихся с помощью производных операций давно существует в алгебре. В наиболее общем виде она была реализована А.И. Мальцевым [3]. Он использовал новую операцию для изучения связи между ассоциативными и неассоциативными алгебрами и кольцами.
Если в ассоциативной алгебре А над полем Ф определить умножение "о" посредством формулы
х У = <*txb,yc, + fjygjxhj ,
I j
тсх.уєА, аь bj, Cp fj, gjf hj (i, j- 1,...,/) - фиксированные элементы алгебры A, то совокупность элементов А относительно старой операции сложения и новой операции умножения " о " является алгеброй над тем же полем, как правило неассоциативной.
Пусть В - неассоциативная конечномерная алгебра над полем Ф, и А - ассоциативная алгебра матриц порядка n-dimB над полем Ф. определим на элементах алгебры А новое умножение формулой
XoY^-У Aal3XBalsYCa\
где Aap, Bafi. С2^ - фиксированные матрицы; обозначим полученную алгебру А(0|.
А. И. Мальцев доказал, что всякая неассоциативная конечномерная алгебра В над полем Ф изоморфна подалгебре алгебры А^\ причем для каждой алгебры В подбирается определенным образом система элементов АаР, Ва13, С*р.
Был рассмотрен и частный случай операции "о", и доказано, что каждое неассоциативное кольцо С изоморфно подкольцу неассоциативного кольца, которое получено из ассоциативного кольца заменой старого умножения на новое, определяемое формулой
х о у = аху или х о у = хуа.
Операция же хау в ассоциативном кольце сама является ассоциативной и для образования нессоциативных колец не применима.
Что касается алгебр, то существуют алгебры конечного ранга, которые с помощью операции ху- аху (ху = хуа) нельзя вложить в
конечномерную ассоциативную алгебру. Например алгебра с базисом ЄрЄ3 и таблицей умножений
е\ -el,ele2 = 0Je2el = е2,е2 =е2.
Производные операции на линейном пространстве неассо-циативных алгебр изучал А.Алберт [7]. Он же ввел понятие изотопа неассоциативной алгебры.
Пусть неассоциативные алгебры А и At, имеют общее линейное пространство, на котором определены операторы умножения Тх и Гд(0)
(соответственно для А и Аа ). Алгебры ^о и А называются изотопными, если существуют линейные отображения P,Q,C, такие, что
T=PTxQC. Алгебра Ас называется изотопом алгебры А.
Новые объекты, оказываются интересными для изучения и в частном случае, когда отображения Р, Q и С являются операторами умножения на фиксированные элементы данной алгебры.
В дальнейшем рассматривались не только изотопы неассоциативных алгебр, но и гомотопы ( фиксированные элементы необратимы ).
Возможность указанным способом достаточно просто строить новые алгебры стала одной из причин использования гомотопов и изотопов для решения различных задач.
Так К. Маккриммон применил гомотоп некоммутативной йор-дановой алгебры к описанию квазирегулярного радикала данной алгебры [11]. Определяя гомотоп йордановой алгебры /над кольцом R, как Л-модуль с умножением
х-ау=(ха)у-(х,у,а), где аєЛ, он доказал, что для любой йордановой алгебры / квазирегулярный радикал J(J) - есть множестзо
PQI(J)={z\ (УЛ)=/г7)}. Здесь J?) - гомотоп, образованный элементом zsJ.
И.П. Шестаков использовал понятие изотопа правоальтерна-тивной алгебры для решения задачи о неотщеплении радикала в конечномерной правоальтернативной алгебре.
С помощью изотопа альтернативной алгебры С. В. Пчелинце-вым были построены примеры некоммутативных исключительных ниль-алгебр индекса три [6]. Ими являются идеал алгебры 5* , где с=1+а, а- ненулевой а.д.н. второго порядка, и идеал алгебры S*, где с-1+а. а выбран так, что ((x,a,y),a,z)^0. S* - это алгебра, полученная из коммутативной исключительной ниль-алгеоры индекса 'фи S , в которой умножение определяется формулой
x-j={xc)y.
Таким образом, гомотопы и изотопы алгебр имеют важное прикладное значение и поэтому интересны, как самостоятельные объекты исследования.
Заметим, что широкое применение получили также мутации, понятия близкие к гомотопам и изотопам, которые получаются из алгебры, изменением в ней умножения с помощью фиксированных элементов поля (кольца), над которым рассматривается алгебра [4,13].
Понятие изотопии играет также большую роль в теории луп и квазигрупп, являясь обобщением понятия изоморфизма.
Остановимся на свойствах гомотопов и изотопов некоторых классов неассоциативных колец.
Гомотопы (изотопы) йордановых алгебр исследовал К. Мак-криммон [11]. Он доказал, что если У - есть некоммутативная йордано-ва алгебра и ueJ, то
(/("))+=(J+)(")
Кроме этого было показано, что изотоп ЩО,,)^) йордановой алгебры #(!>„) - алгебры матриц порядка п с элементами из алгебры D, определенный с помощью диагональной матрицы А є Я()„), изоморфен алгебре H(Dn,SA) - йордановой алгебре матриц, симметричных относительно отображения SA:X->A~! X 'А.
В случае гомотопов и изотопов альтернативных алгебр наблюдается довольно неожиданная картина. С одной стороны, гомотоп альтернативной алгебры вновь является альтернативной алгеброй [10]. Более того М. Бабиков доказал [9], что если многочлен/- есть тождество альтернативной алгебры А, то многочлен/ является тождеством изотопа А& (s - произвольный обратимый элемент из А) данной алгебры. С другой стороны, построен пример альтернативной алгебры, имеющей изотоп, который не изоморфен самой алгебре [8].
Цель работы. Настоящее исследование посвящено изучению тождеств гомотопов и изотопов алгебр типа (-1,!).
Методы исследования. В диссертации используются методы теории неассоциативных колец.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие:
1. Доказано, что многообразие, порожденное свободной (-1,1)-алгеброй с двумя образующими является замкнутым относительно взятия гомотопа.
2. Изотоп свободной алгебры типа (-1,1) ранга три лежит в многообразии, порожденном этой алгеброй, как и любой изотоп относительно свободной алгебры данного многообразия.
Практическая ценность. Работа имеет практическую ценность. Результаты исследования могут быть использованы при изучении Го-мотопов и изотопов некоторых классов правоальтернативных алгебр.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались побуждались на II и IV Международных конференциях женщин-математиков, на семинаре по теории колец кафедры алгебры МГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, содержащих семь параграфов, и списка литературы, включающего 31 наименование. Полный объем работы занимает 58 страниц.