Тождества и линейность квазигрупп Табаров Абдулло Хабибуллоевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Квазигруппы с условиями линейности 44

1.1 Основные понятия и необходимые сведения 44

1.2 Основные свойства линейных и алинейных квазигрупп . 50

1.3 Различные типы линейности (алинейности) квазигрупп и их связь 55

1.4 Группы регулярных подстановок квазигрупп и их изотопов . 57

1.5 Простые линейные (алинейные) квазигруппы 63

1.6 Эндотопии и эндоморфизмы линейных и близких к ним квазигрупп 66

1.7 Автотопии и антиавтотопии линейных квазигрупп 72

1.8 Гомоморфизмы и эндоморфизмы линейных квазигрупп . 76

2 Тождества в различных классах линейных и алинейных квазигрупп 81

2.1 Ядра и центр линейных (алинейных) квазигрупп 81

2.2 Ядра и линейность 86

2.3 Тождества, определяющие различные типы линейных квазигрупп 89

2.4 Характеризация линейных (алинейных) квазигрупп единственным тождеством 92

2.5 Связь уравновешенных тождеств с линейными квазигруппами 97

2.6 Уравновешенные тождества и Т-квазигруппы 102

2.7 Некоторые многообразия Т-квазигрупп с уравновешенными тождествами 107

2.8 Многообразие Т-квазигрупп с дополнительными тождествами 110

Тождества с подстановками и линейность квазигрупп 117

3.1 Тождества с подстановками и квазигруппы, изотопные группам 118

3.2 Тождества с подстановками, полулинейные и линейные квазигруппы 120

3.3 Тождества с подстановками, полуалинейные и алинейные квазигруппы 124

3.4 Тождества с подстановками и квазигруппы смешанного типа линейности 126

3.5 Тождества с подстановками, полулинейные и линейные квазигруппы над абелевой группой 129

3.6 Тождества в примитивной квазигруппе, связанные с линейностью квазигруппы 132

3.7 Способ нахождения квазигрупповых тождеств из некоторого многообразия луп 134

Свободные квазигруппы в многообразиях линейных и алинейных квазигрупп 144

4.1 О задании алгебр многообразия системами образующих элементов и определяющих соотношений 144

4.2 О свободных квазигруппах в некоторых многообразиях линейных и алинейных квазигрупп 150

4.3 Нормальные формы и некоторые свойства линейных квазигрупп 152

4.4 Построение свободных линейных квазигрупп 160

4.5 Решение проблемы тождественных соотношений для некоторых многообразий линейных квазигрупп 164

Линейные группоиды, близкие к квазигруппам 171

5.1 Группоиды с тождеством, определяющим коммутативные лупы Муфанг 171

5.2 О конгруэнциях группоидов, близких к квазигруппам . 177

5.3 Конгруэнции группоидов из некоторых классов 182

5.4 Простые группоиды 183

Литература 191

• Группы регулярных подстановок квазигрупп и их изотопов
• Характеризация линейных (алинейных) квазигрупп единственным тождеством
• Тождества с подстановками, полулинейные и линейные квазигруппы
• О задании алгебр многообразия системами образующих элементов и определяющих соотношений

Введение к работе

Диссертация посвящена исследованию линейных квазигрупп и некоторых их обобщений. Линейные квазигруппы были введены В.Д.Белоусовым в 1967 году в связи с исследованием уравновешенных тождеств в квазигруппах. В работе большое внимание уделяется проблеме характеризации рассматриваемых классов квазигрупп тождествами.

О значимости тождества в алгебрах можно цитировать высказывание выдающегося математика А.И.Мальцева: "Хотя тождества представляют, собой простейшие закрытые высказывания логического языка, язык тождест,в все же достаточно богатый, чтобы на нем можно было выражать многие, тонкие свойства систем и их классов" [41].

Теория квазигрупп берет свое начало в 20-30-х годах XX столетия, когда после фундаментальных работ Давида Гильберта в конце XIX столетия по аксиоматизации математики и, в частности по аксиоматизации геометрии, появились работы по изучению разных видов аксиоматик, в основном, по системам аксиом различных геометрий, в том числе евклидовой геометрии, проективной геометрии, геометрии Лобачевского.

Так как геометрии координатизируются с использованием различного рода алгебраических объектов (полей, почти-полей, тел, групп, полугрупп), то изучались различного рода системы аксиом указанных выше алгебраических объектов.

Впервые термин квазигруппа появился в работе Руфи Муфанг [109] (1935) по координатизации проективных плоскостей. Другими словами, с одной стороны, квазигруппы возникли в недрах (проективной) геометрии, а с другой, - еще раньше, как комбинаторный объект - латинские квадраты в работах Леонарда Эйлера [73-75]. Можно утверждать, что термин квазигруппа появился при изучении вопроса независимости аксиом в системах аксиом проективной плоскости. Таким образом, после упомянутой работы Р. Муфанг квазигруппы приобрели "законное право" на самостоятельное существование.

В своих работах Муфанг под квазигруппой понимала объект, который

сейчас принято называть лупой Муфанг, то есть лупой со следующими тождествами:

(x-yz)x = xy-zx, x(yz-x) = xy-zx, x(y-xz) = (xy-x)z, {zx-y)x — z(x-yx).

В настоящее время лупы с упомянутыми тождествами принято называть лупами Муфанг.

Следует отметить и работы других математиков, а именно: Вильгельм Дёрнте [78] (1928) по совету Емми Нетер изучает тернарные квазигруппы как некоторые обобщения бинарных групп; А.К.Сушкевич [47,139] (1929, 1937) изучает бинарные квазигруппы с некоторыми дополнительными условиями (постулатами), носящими теперь название "постулаты Сушкевича"; Бурстин и Майер [68] (1929) изучают дистрибутивные квазигруппы.

Несколько позже (1937) А.К.Сушкевич определил медиальные (абелевы) квазигруппы [47]. В период 1939-1944 гг.,ы другими авторами получен ряд важных результатов по теории квазигрупп, а именно, можно отметить работы следующих авторов - А.А.Алберт [57, 58] (1943,1944), Р.Бэр [60, 61] (1939, 1940), Д.Медоч [ПО, 111] (1939, 1941), К.Тойода [141] (1941), Р.Х.Брак [64, 65] (1944-1946), Э.Л.Пост [116] (1940). Таким образом, работы упомянутых авторов положили начало развитию алгебраической теории квазигрупп.

В 30-е годы XX века было введено понятие сети (ткани). В терминах теории сетей понятие квазигруппы имеет ясную и естественную геометрическую интерпретацию [2,5,7].

Квазигруппы, как решения некоторых возникающих в математической логике функциональных уравнений, неявно (без названия и без определения) появляются в работах немецкого логика Эрнста Шредера [38].

В настоящее время теория квазигрупп представляет собой самостоятельный раздел общей алгебры со своими задачами и проблемами. Достаточно полную информацию об этом можно получить из монографий В.Д.Белоусова [2,5,7,9], Р.Брака [66], И.Денеша и А.Кидвелла [73, 75], О.Чейн, Х.Пфлюгфельдер и Дж. Смит [69] и материалам периодической печати. Имеется несколько обзоров по теории квазигрупп [24, 36].

Фундаментальные результаты в теории бинарных и п— арных квазигрупп, в теории сетей и теории функциональных уравнений принадлежат В.Д.Белоусову, начинавшему свою деятельность в этой области под руководством профессора А.Г.Куроша.

В современной алгебре теорию квазигрупп можно рассматривать как одно из звеньев между классическими алгебраическими системами -

группами и общими системами универсальной алгебры. Квазигруппы являются удобным объектом для проверки гипотез и идей универсальной алгебры. Ввиду близости к группам, к теории квазигрупп во многом применимы постановки задач и иногда методы теории групп.

Квазигруппы имеют разнообразные приложения в дифференциальной геометрии [43, 108, 121], теории автоматов [27], криптографии [73-75], физике [34, 108] и т.д. Например, в последнее время квазигруппы нашли свое отражение в теории относительности при изучении пространственно-временных проблем и появились такие понятия, как квазигруппа Пуанкаре и квазигруппа Лоренца [34].

В настоящее время теория квазигрупп, как и другие алгебраические структуры, развивается по нескольким направлениям, но среди них, по нашему мнению, можно выделить три основных, а именно:

1. исследование внутренней природы самих квазигрупп;

2. тенденция получить аналоги известных результатов и теорем из других алгебраических структур;

3. приложения теории квазигрупп.

Класс квазигрупп, как алгебр с одной бинарной операцией, не замкнут относительно гомоморфных образов, и потому не является многообразием [2]. В связи с этим при рассмотрении вопросов, связанных с многообразиями, квазигруппы представляют как алгебры с тремя операциями, добавляя к основной операции еще две дополнительные операции. Если основная операция является умножением (), то остальные две операции называют правым и левым делением и обозначают соответственно в виде (/) и (\). Заметим, что любые две из этих трех операций однозначно определяются третьей операцией, поскольку справедливы следующие эквивалентности:

х/у = z -ФФ- z -у = х, х\у = z <& х - z = у, х\у — z Ф> y/z = X.

Далее в записях точка, как знак умножения, будет опускаться, а для уменьшения скобок операция () будет считаться сильнее операций (/)

и(\).

Отметим еще, что при утверждении о незамкнутости класса всех квазигрупп относительно гомоморфных образов имелось в виду, что образ гомоморфизма квазигруппы (Q, ) в алгебру с одной бинарной операцией может не быть квазигруппой. Если же известно, что эта алгебра - квазигруппа, то гомоморфный образ квазигруппы (Q, ) будет обязательно квазигруппой. Больше того, в этом случае гомоморфизм

относительно оператщи () будет гомоморфизмом и относительно оператщй

(/), (\).

Легко проверить, что квазигруппы, рассматриваемые как алгебры в сигнатуре Г2 = {-,/,\}, образуют многообразие. Раньше многообразия алгебр чаще называли примитивными классами [41] и потому квазигруппы в сигнатуре Г2 = {,/, \} называли примитивными квазигруппами. Всюду далее в данной диссертации квазигруппы будут рассматриваться в сигнатуре Q = {,/, \}.

Многообразие всех квазигрупп в сигнатуре Q = {,/, \} задается системой тождеств

Х^о⁼ і(^ху)/у =^ж> (^х/у)у = ^xi Ф\у) = У> Л(^ХУ) = У}-

Квазигруппу с единицей называют лупой, или квазигруппа (Q,-,/,\) называется лупой, если в ней выполняется тождество х\х = у/у.

Важную роль в теории квазигрупп играет понятие изотопии, заимствованное А.А.Албертом из топологии [57, 58], обобщающее понятие изоморфизма.

Квазигруппа (Q,-) называется изотопной квазигруппе (Q,o), если существует такая тройка подстановок Т = (а,/5,7) на множестве Q, что выполняется соотношение 7(^ У) — ^ах ' 0У- Известно, что понятие изотопии не играет важной роли для групп, так как по теореме А.А.Алберта, если две группы изотопны, то они изоморфны. Но существуют квазигруппы, изотопные группам, но не изоморфные им. Отметим, что понятие изотопии применяется также в теории неассоциативных тел [37]. В классе квазигрупп, изотопных группам, большой интерес представляют так называемые линейные квазигруппы. Согласно В.Д.Белоусову, квазигруппа (Q,-) называется линейной над группой (Q, +), если она имеет вид

ху = (рх + с + 'фу, (1)

где (p,ifj Є Aut(Q, +), с - фиксированный элемент из Q [3].

Впервые эти квазигруппы были введены В.Д Белоусовым в [3] в связи с исследованием уравновешенных тождеств в квазигруппах. При этом возникли также квазигруппы, близкие к линейным. Здесь уместно отметить, что в работе В.Д.Белоусова "Уравновешенные тождества в квазигруппах" [3], которая придала импульс исследованию линейных квазигрупп, решены следующие задачи:

- доказана, что квазигруппа с уравновешенным тождеством изотопна группе, причем указан конкретный вид изотопии;

впервые рассмотрен класс квазигрупп, изотопных группам, а также его подклассы (линейные, полулинейные квазигруппы);

класс квазигрупп, изотопных группам (коммутативным группам), охарактеризован тождествами.

Позднее по аналогии с линейными квазигруппами были определены алинейные квазигруппы [143].

Квазигруппа (Q, ) называется алинейной над группой (Q, +), если она имеет вид:

ху — (рх + с + фу,

где ф,ф - антиавтоморфизмы группы ((5,+), с Є Q. В дальнейшем, как обобтдение линейных и алинеиных квазигрупп были введены классы квазигрупп, линейных слева или справа, алинеиных слева или справа и смешанных типов линейности.

Квазигруппа (Q, ) называется линейной слева (справа) над группой (Q, +), если она имеет вид ху = (рх + с + @у (ху = ах + с + тру), где (3 (соответственно а) - подстановка множества Q, ер Є Aut(Q,+) (ф Є Aut(Q,+)).

Квазигруппа (Q,-) называется алинейной слева (справа) над группой (Q, +), если она имеет вид ху = (рх + с + (Зу (ху = ах + с + фу), где (5 (соответственно а) - подстановка множества Q, (р (ф) - антиавтоморфизм группы (Q,+).

Квазигруппа (Q, ) названа квазигруппой смешанного типа линейности I рода или II рода, если она имеет вид ху — <рс + с + фу соответственно ху = (рх + с + фу, где ір,ф Є Aut(Q, +), <р,ф - антиавтоморфизмы группы (Q, +). Устанавливается связь между названными типами линейности.

Все эти классы мы будем называть классами квазигрупп различных типов линейности. Разными авторами изучались также квазигруппы различных типов линейности с ограничениями на изотопные им группы и на используемые автоморфизмы и антиавтоморфизмы [96, 99, 100-102, 106, 112, 124, 127-129, 133-137].

Частным случаем линейных квазигрупп являются хорошо известные медиальные квазигруппы, то есть квазигруппы с тождеством ху uv = хи yv. Согласно теореме Брака-Тойоды [2], эти квазигруппы, линейны над абелевой группой, причем автоморфизмы ср,ф коммутируют между собой. Медиальные квазигруппы исследовали многие алгебраисты (Брак [64], Тойода [141], Мёдоч [110], Я. Ежек и Т.Кепка [90], Т. Кепка и П.Немец [100, 101], К.К. Щукин [54, 55], В.А.Щербаков [126-129] и др.), они играют особую роль в теории квазигрупп. Другим важным случаем

линейных квазигрупп являются Т-квазигруппы, введенные Т.Кепкой и П.Немцем [100, 101] как обобщение медиальных квазигрупп. Согласно их определению, Т-квазигруппы - это квазигруппы вида ху = (рх + 'фу + с, где (Q,+) - абелева группа, <р,ф Є Aut(Q,+) и в отличие от медиальных квазигрупп, не обязательно коммутируют. Т-квазигруппы детально исследованы в [100, 101].

Прослеживается также более общий подход к понятию линейной квазигруппы, а именно, линейными над некоторой лупой, (Т.Кепка и П.Немец [96, 99], П.Немец [113] Я.Ежек и Т.Кепка [90], В.А.Щербаков [50] и др.), называют квазигруппу (Q, ) линейной над лупой (Q, +), если она имеет вид ху = ((рх-\-фу) + d, где <р,ір Є Aut (Q, +), d Є Q, предполагая, что при этом в качестве луп (Q, +) будут использоваться достаточно известные и изученные лупы, например лупы Муфанг, то есть лупа с тождеством х + (у + (х + z)) = ((х + у) + х) + z. Общая идея квазигруппы, линейной над некоторой лупой, выкристаллизовалась в работах алгебраистов из Праги (Т.Кепка, Я.Ежек, П.Немец см. [90, 96, 99, 100, 101]). В литературе появился также термин обобщенные линейные квазигруппы [124]. Как отмечено в [124], много хорошо известных (классических) объектов лежат в классе обобщенных линейных квазигрупп. Например, медиальные квазигруппы (теорема Тойоды, [141]), дистрибутивные квазигруппы (теорема Белоусова [4]), дистрибутивные квазигруппы Штейнера, леводистрибутивные квазигруппы (теорема Белоусова-Оноя, [8]), СН-квазигруппы (теорема Манина, [42]), Т-квазигруппы [100, 101], n-арные группы (теорема Глускина-Хоссу, [6]), п-арные медиальные квазигруппы (теорема Ивэнса [86], и теорема Белоусова [6]), F-квазигруппы (теорема Кепки-Киньоиа-Филлипса, [104]) являются квазигруппами такого вида.

Обобщение напрашивалось ввиду нескольких теорем о связях между некоторыми классами квазигрупп и луп. Первой в этом ряду стоит теорема Тойоды-Мёдоча о медиальных квазигруппах [2]. Любую медиальную квазигруппу можно получить таким образом: ху = (рх + 'фу 4- d, где <р,ф Є Aut(Q,+), (р'ф = фір, d Є Q, (Q,+) - абелева группа. Дистрибутивной называется квазигруппа с тождествами х yz = ху xz, ху z = xz yz. Если квазигруппа удовлетворяет только первому тождеству, то ее называют леводистрибутивной [2]. В 1958 году В.Д.Белоусов [4] доказал, что любую дистрибутивную квазигруппу можно получить таким образом: ху = (рх + фу, где (р и ф - некоторые автоморфизмы коммутативной лупы Муфанг (КЛМ)

(Q,+). СН-квазигруппой называется квазигруппа с тождествами ху = ух, х(ху) = у у любые три элемента которой порождают медиальную подквазигруппу. СН-квазигруппы введены Ю.И.Маниным в связи с решением одной задачи из алгебраической геометрии, а именно -исследования кубических гиперповерхностей. Как доказал Ю.И.Манин [42], любую СН-квазигруппу можно получить с помощью следующей конструкции: ху — (—х — y)^Jrd, где элемент d из центра КЛМ (Q, +). Под центром КЛМ понимают такое множество Z, что Z = {а Є Q\a+(x-hy) — (а + х) + у, х_:у Є Q}. В дальнейшем исследование линейных квазигрупп над лупами Муфанг, КЛМ, группами, абелевыми группами проводилось также другими математиками.

По известной теореме Ш. Стейна [2], любую леводистрибутивную квазигруппу, изотопную группе, можно получить с помощью такой конструкции: ху — х + <р{—% + у), где (Q,+) - некоторая группа, ip - ее определенный автоморфизм. Ввиду ассоциативности групповой операции, получаем: ху = (х — ipx) + еру = ipx + (ру. Автоморфизм <р таков, что 'ф является подстановкой. Таким образом, леводистрибутивные квазигруппы, изотопные группам, в принципе, линейны справа над группами.

После упомянутой работы В.Д.Белоусова [3] чешскими алгебраистами - Т.Кепка, П.Немец, И.Ежек и представителями квазигрупповой школы В.Д.Белоусова - Г.Б.Белявская, В.А.Щербаков, В.И.Избаш, К.К.Щукин, Ф.Н.Сохатский, П.Н.Сырбу, А.Х.Табаров, В.А.Дудек достаточно интенсивно изучались линейные квазигруппы и некоторые их обобщения.

Были исследованы алгебраические (морфизмы, конгруэнции, решетки, ядра, центр, ассоциатор, коммутатор, группы умножений) и комбинаторные (ортогональность, численные оценки, латинские квадраты) аспекты обощенных линейных квазигрупп. Изучались также n-арные линейные квазигруппы. Исследования продолжаются и в настоящее время. Достаточно подробный исторический обзор развития теории квазигрупп содержится в докторской диссертации В.А.Щербакова [124].

Класс квазигрупп, изотопных группам, впервые был исследован В.Д.Белоусовым в работе [3]. В частности, В.Д.Белоусовым доказано, что класс квазигрупп, изотопных группам, характеризуется следующим тождеством от пяти переменных:

ж (У\ ((z/u )v)) = ({x (y\z )) /и ) v .

Позднее ученик В.Д.Белоусова Ф.Н. Сохацкий заметил, что квазигруппы,

изотопные группам, могут быть описаны следующим тождеством от четырех переменных [135-137]:

[(x(u\y))/u]z = x[u\((y/x)z)].

Многообразие составляют также все квазигруппы, изотопные коммутативным группам. Это также было впервые замечено В.Д.Белоусовым в [3]. Этот класс квазигрупп характеризуется тождеством от четырех переменных [3]:

x\{y{u\v)) = u\(y(x\v)).

Многообразие квазигрупп, изотопных группам, исследовали также М.М.Глухов, А.А.Гварамия, Ф.Н.Сохацкий и др. В частности, М.М.Глуховым описаны все тождества длины 4, которые характеризуют квазигруппы, изотопные коммутативным группам:

4. x\(y(u\v)) = u\{y(x\v)),

5. (x/y)(u\v) = (v/y)(u\x),

6. ((xy)/u)v = ((xv)/u)y,

7. ((x/y)/u)/v = ((x/v)/u)/y,

8. (x(y\{uv)) = u(y\(xv)),

9. {{u/v)x)/y = ((u/y)x)/v.

Следует отметить, что тождество 1) встречается в работах В.Д.Белоусова [3]. Тождество 4) использовал А.Драпал. Тождество б) замечено автором.Тождеств 4) использовал А.Драпал. Тождество 6) замечено автором. Нетрудно показать, что любое другое тождество длины 4, характеризующее квазигрупп, изотопных коммутативным группам, можно привести к тождествам вида 1) - б).

А.А.Гварамия [25, 26] показал, что класс квазигрупп, изотопные группам из любого многообразия групп, является многообразием квазигрупп. Нетрудно показать, что это утверждение также верно для класса квазигрупп, изотопные лупам из некоторого многообразия луп, а именно, класс квазигрупп, изотопные лупам из любого многообразия луп, является многообразием квазигрупп. Если обозначим через С - некоторое многообразие луп, а через J С - многообразие квазигрупп, изотопные лупам из , то как следствие получаем, что многообразие J С конечно базируемо тогда и только тогда, когда конечно базируемо многообразие С. Ф.Н.Сохацкий [45] рассмотрел изотопные замыкания так называемых абстрактных классов групп, то есть таких классов, которые вместе с любой группой

содержат все изоморфные ей группы. Он доказал, что абстрактный класс групп определяется системой формул S узкого исчисления предикатов в групповой сигнатуре тогда и только тогда, когда его изотопное замыкание определяется системой формул Ео и универсальным термальным замыканием системы S.

Многообразия алгебр и их свободные алгебры в таких алгебраических системах, как группы, полугруппы, кольца, алгебры Ли хорошо изучены и получен ряд важных результатов в этой области¹. В теории квазигрупп, однако, свободные объекты и многообразия квазигрупп мало изучены. Пожалуй, первые работы в этом направлении принадлежат М.М.Глухову, А.А.Гварамии и Т.Ивэнсу [28-31, 81-86]. Однако, многие вопросы и задачи теории многообразий квазигрупп, даже для отдельных классов квазигрупп, не исследованы. В связи с этим представляет интерес исследование многообразия квазигрупп в целом и, в частности, для отдельных классов квазигрупп. Здесь важно отметить теорему Глухова-Гварамии [28, 29] об R-многообразиях квазигрупп и луп, где доказана разрешимость алгоритмических проблем равенства слов, изоморфизма и вхождения для некоторых классов квазигрупп и луп, теорему Т.Ивенса о вложении [81-85], работы Т.Кепки, П.Немец, Я.Ежек, А.Драпал [79, 89, 91, 100-103]. Но, как отметил, М.М.Глухов в своем докладе на международной конференции, посвященной 100-летию профессора А.Г.Куроша (Москва, 2008 г.), проблема описания свободных квазигрупп даже в многообразшіх квазигрупп, изотопных группам, остается открытой².

Все рассуждения, приведенные выше, можно отнести к обоснованию и актуальности выбранной темы диссертации.

Автор данной диссертационной работы благодарит своего научного консультанта, профессора А.В.Михалева, зав. кафедрой высшей алгебры МГУ, профессора В.Н.Латышева, кандидата физико-математических наук Г.Б.Белявскую, доктора физико-математических наук В.А.Щербакова за постоянное внимание и всестороннюю поддержку.

Цель работы. Основная цель диссертации заключается в следующем:

исследовать линейные, алинейные, односторонние линейные (алинейные) и близкие к ним квазигруппы;

¹ Смирнов Д.М. Многообразия алгебр. Новосибирск, 1992.

²М.М.Глухов. О свободных квазигруппах некоторых многообразий и их мультипликативных группах.Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождния А.Г.Куроша.Тезисы докладов, Москва, 2008, с.68-69.

описать тождества, характеризующие все вышеназванные классы квазигрупп;

описать тождества с подстановками, приводящие к различным видам линейности и алинейности квазигрупп;

построить свободные линейные квазигруппы, доказать разрешимость алгоритмической проблемы равенства слов для класса свободных Т-квазигрупп и свободных медиальных квазигрупп;

описать строение автотопий, антиавтотопий и эндотопий линейных, алинейных квазигрупп, квазигрупп смешанного типа линейности и Т-квазигрупп;

исследовать условия простоты линейных и алинейных квазигрупп;

решить аналог проблемы Брака-Белоусов а об условиях нормальности конгруэнции в односторонних группоидах с делением (с сокращением);

найти условия простоты группоидов с делением (с сокращеннием);

исследовать линейные группоиды и группоиды с тождеством My фанг.

Методы исследования. В работе применялись алгебраические и комбинаторные методы исследования, методы профессора М.М.Глухова по исследованию многообразия квазигрупп, методы, разработанные на семинарах кафедры высшей алгебры МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством профессоров А.В.Михалева и В.Н.Латышева, а также разработанные автором методы исследования линейных квазигрупп.

Научная новизна. Все включенные в диссертационную работу результаты являются новыми. В диссертации получены следующие результаты:

- введены и подробно исследованы новые классы квазигрупп - алинейные
квазигруппы, квазигруппы смешанного типа линейности, односторонние
линейные (алинейные) квазигруппы, описаны тождества названных
классов и всех типов линейных квазигрупп (всего 11 типов, в итоге
решена задача В.Д.Белоусова об описании тождеств упомянутых
классов );

- описаны тождества с подстановками, приводящие к различным
видам линейности квазигрупп;

построены свободные линейные квазигруппы и доказана разрешимость алгоритмической проблемы равенства слов для класса свободных Т-квазигрупп и свободных медиальных квазигрупп;

решен аналог проблемы Б рака-Белоусов а об условиях нормальности конгруэнции односторонних группоидов с делением (с сокращением);

предложен способ получения квазигрупповых тождеств из некоторого многообразия луп;

найдены уравновешенные и неуравновешенные тождества, характеризующш подмногообразия Т-квазигрупп;

приведены необходимые и достаточные условия простоты линейных (алинейных) квазигрупп, односторонних группоидов с делением (с сокращением);

описано строение автотопий, антиавтотопий и эндотопий линейных, алинейных квазигрупп, квазигрупп смешанного типа линейности и Т-квазигрупп;

Все результаты, включенные в диссертацию, получены автором лично или в неразделимом сотрудничестве с соавторами.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных разделах общей теории квазигрупп и неассоциативных алгебраических систем. Имеются приложения теории квазигрупп, изотопных группам в теории кодирования.

Апробация полученных результатов. Включенные в данную диссертационную работу результаты докладывались на следующих конференциях и научных семинарах:

- Международная конференция по алгебре, посвященная памяти
А.И.Ширшова, Барнаул, 1991г.;

XXVII конференция факультетов физ-мат. и ест. наук, Университет Дружбы Народов им П.Лумумбы, Москва, 13-18 мая 1991 г;

XXVIII конференция молодых ученых Университета Дружбы Народов им П.Лумумбы, Москва, 1992г.;

Международная конференция по теории групп, Тимишоара, Румыния, 1992г.;

Третья международная конференция по алгебре памяти М.И.Каргаполова (1928-1976) Красноярск, 1993г.;

Международная конференция Loops'99, Прага, Чехия, 27 июля - 1 августа, 1999г.;

Международная конференция Loops'2007, Прага, Чехия, 19-25 августа 2007г.;

VII Международная конференция по алгебре и логике, Югославия, 21-23 сентября 1998г.;

Конференция молодых ученых Молдовы по математике и информатике, Кишинев, 1998г.;

- Семинары Института математики и информатики АН Республики
Молдова, 1988-1993, 1998-2000, 2003-2007гг.;

- Ежегодная конференция молодых ученых и исследователей Республики
Таджикистан, Душанбе, 1999-2007гг.;

- Ежегодная научная конференция Таджикского государственного
национального университета, 2005-2009гг.;

Семинары Института математики АН Республики Таджикистан, 2005-2009 гг.;

Международная конференция: Алгебраические системы и их приложения в дифференциальных уравнениях, Кишинев, 21-23 август 2007г.;

-Международная конференция, посвященная 100-летию памяти А.Г.Куроша, МГУ им. М.В.Ломоносова, Москва, 27 мая - 3 июня 2008г.;

Семинар по алгебре на кафедре высшей алгебры МГУ им. М.В.Ломоносова, Москва, 2008г.;

Международный алгебраический семинар, посвященный 80-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, профессора А.И.Кострикина, МГУ им.М.В.Ломоносова, Москва, 24-26 февраля 2009 г.

- Международная конференция "Мальцевские чтения", посвященная
100-летию академика А.И.Мальцева, Новосибирск, 24-28 августа 2009г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 20 статьях и 20 тезисах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 32 параграфа, обзора полученных результатов и списка цитированной литературы. Все теоремы, леммы, предложения, следствия, замечания и формулы нумеруются тремя числами, первое из которых обозначает номер соответствующей главы, второе - номер параграфа. Аналогично формулы нумеруются тремя числами, первое из которых обозначает номер главы, второе номер параграфа. Полный объем диссертации 201 страница, библиография включает 177 наименований, включая 35 работ автора.

Краткое содержание диссертационной работы.

Диссертация начинается с введения. В нем освещается актуальность выбранной темы диссертации, цель работы, апробация и краткое изложение полученных результатов.

В главе I "Квазигруппы с условиями линейности" изучаются все типы линейных, алинейных, односторонних, линейных смешанных типов квазигрупп, устанавливается их взаимосвязь, исследуются новые (обобщенные) группы регулярных подстановок квазигрупп и их изотопов, в частности всех типов линейных квазигрупп, приводятся критерии простоты линейных и алинейных квазигрупп. Кроме того, исследованы эндоморфизмы, автотопии, антиавтотопии и другие виды морфизмов вышеназванных квазигрупп. Часть результатов главы II, III, IV и V получено в сотрудничестве с Г.Б.Белявской.

Предложение 1.2.1. Линейная (алинейная) слева и справа квазигруппа (Q, ) является, линейной (алинейной) квазигруппой.

Следствие 1.2.1. Линейная слева (справа) квазигруппа (Q, ) ху = (рх + с + (Зу {ху — ах + с + i/jy) является линейной справа (слева), если и только если подстановка (3 (а) является квазиавтоморфизмом группы

(Q,+).

Квазиавтоморфизм (антиквазиавтоморфизм) квазигруппы (Q, ) - это главная компонента 7 автотопии (антиавтотопии) Т — (а,/?,7) квазигруппы (Q, ), то есть

j(xy) = ах (Зу (j(xy) = ау-(3х).

Согласно лемме 2.5 [2], любой квазиавтоморфизм группы (Q, +) имеет вид

7 = Rslox = L_s^'₀x, (2)

где 7сь7о~ автоморфизмы группы (Q,+), R_sx = х + s, L_sx = s + x, seQ.

Как отмечено в [3], утверждение, аналогичное лемме 2.5 из [2], справедливо и для антиквазиавтоморфизма 7 (^в Ш ^он называется обратным квазиавтоморфизмом). В этом случае 7о и 7о ^из (2) являются антиавтоморфизмами группы (Q,+).

Следствие 1.2.2. Алинейная слева (справа) квазигруппа (Q, ) ху = фх + с + (3у (ху = ах = с+фу) является алинейной справа (слева), если и только если подстановка (3 (а) является антиквазиавтоморфизмом группы (Q, +).

Предложение 1.2.2. Линейная слева (справа) и алинейная слева (справа) квазигруппа является левой (правой) Т-квазигруппой:

ху = срх + с + (3у (xy — ax + c + ipy).

Следствие 1.2.3. Если квазигруппа (Q, ) одновременно является квазигруппой смешанного типа I и II рода, то есть ху = іріх + с + іріу и ^У = (р2ХС2ф2У, где (р\ Є Aut(Q,+), jpi - антиавтоморфизм группы (Q,+), ^2 Є Aut(Q, 0), (f>2 - антиавтоморфизм группы (Q, Ф), тогда (Q, ) является Т-квазигруппой.

Определение 1,3.1. Подстановка X (соответственно р,(р) множество Q называется левой ( соответственно правой, средней) регулярной подстановкой квазигруппы (Q,-), если существует такая подстановка А* (/?*,(/?*), что Хх у = Х*(ху) (х- ру = р*(ху), (рх -у — х- <р*у) для всех x,yeQ [2].

Подстановка Л* (р*,<р*) называется сопряженной подстановке Л (р,<р)-Группу, порожденную подстановками Л (/9,(/:), и группу, порожденную сопряженными им подстановками Л* (р*, L (Я,Ф) и L* (Я*,Ф*). Известно, что L ^ L%R ^ Я*,Ф ^ Ф*. Заметим, что группа L (Я, Ф) в [55] обозначена через L* (Я*, Ф*), а группа L* (Я*,Ф*) через L (Я, Ф). Легко заметить, что из определения следует

А* = R_XXR~ = L\_XL~ , р* = L_xpL~ = R_pxR_x , (3)

ip = R~^lR^_x, (p* = L'¹^, (4)

для любого X Є Q.

Лемма 1.3.1. Пусть (Q, ) ~ квазигруппа, (Q, о) - главно изотопная ей лупа х о у = ах Ру. Тогда

L = aScT^х, L* = 9, Я = W"¹, Я* = ЗЇ, (5)

где 9 w 3 - группы левых и правых регулярных подстановок лупы (Q, о)

= 0^-^, Ф* =/3F*/З"¹. (6)

Следствие 1,3.1. Пусть (Q, ) - квазигруппа, главно изотопная лупе (Q,o) : ху = tpx о qjjy [ху = (pxoipy), где ip,if; Є Aut(Q,o) (о)). Тогда

L = L = L* = $S, R = R = R* = SR, Ф = .F, Ф* = .Г\

(Ь = Я* = Э, Я = * = 3, Ф = ^*, Ф* = ^).

Следствие 1.3.2. Пусть (Q, ) - квазигруппа, главно изотопная лупе (Q,o) : ху = (рхо$у [ху = (рхочру), где (р,<ф Є Aut(Q,o)((p_:$ -антиавтоморфизмы лупы (Q,o)). Тогда

=* = $ = #, Я* = Э?,Ф = Ф* = ^,

(R = R* = зг = L, L* = 3,Ф = Ф* = JF*).

Пусть Ni(fi) (N_r(h)) - левое (правое) /і-ядро квазигруппы (Q, ), Ni(h) (N_r(h)) - левое (правое) /і-ядро лупы (Q,), главно изотопной квазигруппе (Q,-)> ^/i - ^-центр квазигруппы (Q,-)- По теореме 1 из [18], Z_h = Th, где Г = Core_G{.){L П Д) = Core_G(.)(L* П R*) (то есть Г -максимальная подгруппа группы L П R (L* П Л*) такая, что Г < G(-), причем Г действует строго транзитивно на Zh. Учитывая лемму 1.3.1, заметим, что

Г = Core_G{.)(L П Я) = Core_G{.){L* П Я*) = Core_G(.)(3 П 3fc), (7)

где 3,3 - группы левых и правых регулярных подстановок лупы (Q, о).

Как доказано в [18, 55], Zh является нормальным подмножеством в квазигруппе (Q, ). Нормальная конгруэнция, соответствующая Zh, не зависит от h, обозначается через 9_Z{-) и называется конгруэнцией центра квазигруппы (Q,-). Обозначим через в_г{о) конгруэнцию центра лупы (Q,), главно изотопной квазигруппе (Q, ). Связь между ядрами и центрами квазигруппы (Q, ) и лупы (Q, о) устанавливает следующая

Лемма 1.3.2. Пусть (Q, ) - квазигруппа, (Q, о) - главно изотопная ей лупа: х о у = ах (Зу. Тогда

10. JVi(/i) = JVi(/i)^L* = I,

11. AT_r(/i) = 7V_r(/i) *>R* = R,

^{з) у.) = ад^рпч<од.}

Предложение 1.3.1. Пусть (Q, ) - линейная слева (справа) квазигруппа:

ху = (рх + с + (Зу {ху = ах + с + фу)^^,^,^ - соответственно, группы левых, правых, средних и сопряженных к средним регулярных подстановок группы (Q, +). Тогда

L = L* = L = 3, Ф = .F {R = R* = R = 5R, Ф* = .F*).

5 линейной квазигруппе с группой умножения (?(), то есть с группой, порожденной левыми и правыми трансляциями квазигруппы (Q, )

L = L* = I = 3, R = R* = R = ?R, Ф = ^, Ф* = .Г\ ФПФ* = Ф = ЗПЭг<<3(-).

Предложение 1.3.2. Пусть (Q, ) - алинейная квазигруппа:

ху = (рх + с + гру. Тогда

L = R* =]ft, R = L* = 3, Ф = F\ Ф* == JF, Z = 7! = =Sn5R

Следующая теорема устанавливает критерий нормальности конгруэнции линейной (алинейной) квазигруппы посредством автоморфизмов <р, гр Є Aut(Q_} +) (антиавтоморфизмов (р и гр).

Теорема 1.4.1. Пусть (Q, ) - линейная (алинейная) квазигруппа:

ху — (рх + с 4- фу (ху = (рх + с + -0?/),

ту - конгруэнция группы (Q,+) w (р\Кегг),гр\Кегг) (<р\Кегг),ф\Кегг)) -сужение автоморфизмов (р,гр (антиавтоморфизмов <р,гр) на группу К err). Тогда г) конгруэнция квазигруппы (Q,-) тогда и только тогда, когда (р\Кегг),гр\Кегг) (<р\Кегг),гр\Кегг)) -эндоморфизмы (антиэндоморфизмы) группы Kerr). Далее, г) - нормальная конгруэнция на (Q, ) тогда и только тогда, когда (р\Кегг),гр\Кегг) (

Как известно, решетка нормальных конгруэнции квазигруппы содержится в решетке нормальных конгруэнции лупы, главно изотопной данной квазигруппе, а именно, справедлива

Теорема 1.4.2. [55]. Пусть (Q, ) - квазигруппа, (Q,o)- ее LP-изотоп: х о у = R~^lx Lfr^ly, пСоп(-) (пСоп(о)) - решетка нормальных конгруэнции квазигруппы (Q, ) (лупы (Q, о)). Тогда

пСоп(-) С пСоп(о).

Из этого предложения, в частности, следует, что линейная квазигруппа над простой группой является простой.

Пример. Пусть (Q, ) - линейная квазигруппа: ху = (рх + гру, (Q,+) = А$ - знакопеременная группа, ср,ф Є AutA^. Тогда (Q, ) -простая квазигруппа.

Однако, простой может оказаться и квазигруппа, линейная над группой, не являющейся простой.

Установим необходимое и достаточное условие простоты линейной (алинейной) квазигруппы. Сначала дадим

Определение 1.4.1. Пусть ip - подстановка множества Q. Группу (Q,+) назовем (р-простой, если в (Q, +) не существует нетривиальной нормальной подгруппы Н такой, что <рН = Н.

Из теоремы 1.4.2 легко вытекает

Следствие 1.4.1. Пусть (Q, ) - линейная (алииейная) квазигруппа:

ху — (рх + с + фу (ху = фх + с + фу).

Квазигруппа (Q, ) проста тогда и только тогда, когда группа (Q, +) (р -простая или ф-простая (ф-простая или ф-простая).

Замечание 1. Если (р,ф - внутренние автоморфизмы группы(Q, +), то

пСоп(-) = пСоп(о)

Замечание 2. Если группа (Q,+) имеет нетривиальный центр (коммутант), то любая линейная (алинейная) над ней квазигруппа непростая.

Существенную информацию о нормальности конгруэнции линейных квазигрупп можно извлечь посредством автоморфизмов (риф. Дело в том, что как доказано в работе [101], если автоморфизмы (р, ф абелевой группы (Q, +) имеют конечное порядки, то всякая конгруэнция Т-квазигруппы (Q, ) : ху = (рх + с + фу является нормальной. Этот факт верен также для линейных (алинейных) квазигрупп, а именно

Теорема 1.4.3. Пусть (Q, ) - линейная (алинейная) квазигруппа: ху = (рх + с+фу (ху = фх + с+фу), причем (р, ф (ф,ф) имеют конечные порядки. Тогда всякая конгруэнция на (Q, ) нормальна.

Следующие утверждения верны для произвольной, необязательно линейной квазигруппы.

Предложение 1.6.1. Полугруппы эндоморфизмов параетрофных квазигрупп совпадают: End (Q, ) = End (Q,^a ()), где (Q, ) - некоторая квазигруппа, (Q ()) - ее парастроф, End (Q, ) (End (Q,^a ())) - полугруппа эндоморфизмов квазигруппы (и соответственно полугруппа эндоморфизмов ее парастрофа).

Следствие 1.6.1. Группы автоморфизмов параетрофных квазигрупп совпадают: Aut (Q, ) = Aut (Q,^a ()).

Напомним, что тройка Т — (а, /3,7) отображений квазигруппы (Q,-) в себя называется эпдотопией квазигруппы (Q, ), если выполняется равенство

Ч(ху) = ах (Зу,

для любых х, у є Q.

В случае, когда а — j3 — j, то тройка Т = (7)7>7) называется эндоморфизмом квазигруппы (Q, ).

Очевидно, что множество всех эндотопий квазигруппы (Q, ) образуют полугруппу с единицей. Обозначим эту полугруппу через Ent(Q, ).

Теорема 1.6.2. Если квазигруппы (Q, ) и (Q,) изотопны: ^{хоу) = ах /Зу, (о) = (-)Т, Т = (а,/?,7)_; то их полугруппы эндотопий сопряжены:

Ent{Q, ) = T~^lEnt(Q, о)Т

Теорема 1.6.3. Любой квазиэндоморфизм 7 группы (Q, +) имеет вид

7 = Raloi (8)

где 7о Є End(Q,+), s Є Q, и обрат,но, отобраэюение 7; определяемое равенством (8), будет квазиэндоморфизмом группы (Q, +).

Следствие 1.6.2. [2] Любой квазиавтоморфизм 7 группы (Q, +) имеет вид

7 = ЯЛо, (9)

где 7о Є Ait(Q,+), 5 Є Q, и обратно, отобраэюение 7; определяемое равенством (9), будет квазиавтоморфизмом группы (Q, +)

Следствие 1.6.3. Пусть 7 ~ квазиэндоморфизм группы (Q, +). Тогда

7 Є #nd(Q_}+) 4* 70 = 0>

где # - нулевой элемент группы (Q, +).

В следующих утверждениях устанавливаются строения эндотопий, автотопий произвольных линейных, алинейных, смешанных линейных квазигрупп и Т-квазигрупп.

Теорема 1.6.4. Любая эндотопия линейной квазигруппы (Q, ) ху — срх + с + ^у имеет вид:

р = (RcL^ifiOip-¹^ Щъфв'ф-¹,1_ай_ьв), (10)

где Aut(Q,+), 0 є End(Q,+), a,b,ceQ.

Аналогично можно показать, что любая эндотопия алинейной квазигруппы

(Q, ) : ху = (рх + с + 'фу имеет вид:

Р = (ад^уГ¹ Д__с, Ц_ьфвф~\ L_aRbO) , (11)

где (р, ф - антиавтоморфизмы группы (Q,+), 9 Є End(Q,+), a,b,c,d Є Q, d = <^a + с.

Следствие 1.6.4. Любая автотопия линейной квазигруппы (Q, ) ху = (рх + с + "02/ имеет вид:

Р = {R^aipOif-¹JL_C, Ёфъфвф-¹, L_aR_b0) (12)

где Є Aut(Q,+), a,b,ceQ.

Аналогично можно показать, что любая автотопия алинейпой квазигруппы (Q,-) : ху = (рх + с + 'фу имеет вид:

Р = (Rsp^lR-._c, ЦіІфвїГ¹, LaRbB) - (13)

Следствие 1.6.5. Любой эндоморфизм 7 Т-квазигруппы (Q, ) ху = (рх + с + ^у можно представить в виде

7 = R_c+va(p9(p~^l R_c = кфь'фО'ф'¹ = L_aR_bO,

где (Ь_ав,&_ь9, L_aR_b9j - некоторая эндотопия группы (Q,+).

Предложение 1.6.2. Пусть (Q, ) ^и (Qi) -линейные над группой (Q,+) квазигруппы: ху = (р\Х + Сі + ^і2/, х о у = ip₂x + с₂ -\- ^22/, и 'у Є End (Q, +). Тогда эндоморфизм 7 группы (Q, +) является гомоморфизмом квазигрупп (Q,-) и (Q, о) тогда и только тогда, когда

Wi = 4>2l,l$i = ^27,7 (сі) = с₂.

Предложение 1.6.3. Пусть (Q, ) u (Q, о) - линейные над группой (Q,+) квазигруппы: ху = (р\Х + Сі + ^іу, х о у — (р₂х + с₂ + ^22/,7 " гомоморфизм (Q,-) в {Qi): "У (ху) = ч^х 1У- Тогда гомоморфизм 7 можмо представить в виде

7 = (f2^l R-_C2L_aeR-_Cl(pi = ip2^lR_bef3ipi = L_aR_b9.

Предложение 1.6.4. Пусть (Q, ) - Т-квазигруппа: ху — (рх + с + "0г/. Квазиэндоморфизм 7 — -^ квазигруппы (Q, ) является эндоморфизмом квазигруппы (Q, ) тогда и только тогда, когда

6єС_Вц_?і+)<їз^>, 0c-c=5d, 5 =

Теорема 1.7.2. Любая антиавтотопия группы (Q, +) имеет вид:

T={L_a,R_hL_aR_b)9, (14)

где #- антиавтоморфизм группы, а,Ь- фиксированные элементы из

Q-