Введение к работе
Актуальность темы. Теория многообразий, изучающая алгебраические структуры (ассоциативные и лиевы алгебры, группы, полугруппы и т.п.) с точки зрения выполняющихся в них тождеств, является одной из важнейших ветвей современной алгебры. Начало ей было положено в середине 30-х годов нашего века в работах Г. Биркгофа и Б. Неймана, однако период бурного развития этой теории начался позже — в конце 50-х — начале 60-х годов. Одной из центральных ігри исследовании тождеств алгебраической структуры или многообразия структур (класса всех алгебраических структур данного типа, удовлетворяющих данному набору тождеств) является проблема конечности базиса тождеств: эхви-валентны ли все тождества этой алгебраической структуры или многообразия структур конечному множеству тождеств? Если ответ на этот вопрос положительный, то говорят, что тождества алгебраической структуры (многообразия структур) имеют конечный базис (или являются конечно базируемыми).
В теории многообразий групп с самого начала, в пионерской работе Б. Неймана [14], была поставлена проблема: Верно ли, что тождества любой группы допускают конечный базис? Эта проблема более 30 лет оставалась нерешенной. В процессе исследований было доказано, что конечный базис имеют тождества любой нильпо-гентной (Р. Линдон), любой конечной (Ш. Оутс-М. Пауэл) и любой метабелевой (Д. Коэн [4]) группы, многих других групп и многообразий. В общем случае, однако, эта проблема в 1970 году была решена отрицательно А. Ю. Ольшанским, С. И. Адяном и М. Воон-Ли.
После того, как существование групп без конечного базиса то-
ждеств было доказано, в центре внимания оказалась проблема конечности базиса тождеств групп, "хороших" в том или ином смысле, прежде всего — матричных групп над полем и, в частности, полициклических групп. Так как каждая группа матриц над полем, удовлетворяющая нетривиальному тождеству, как заметил В. П. Платонов [16], почти разрешима, и потому (в силу теоремы Колчина-Мальцева) является конечным расширением группы с нильпотент-ным коммутантом, то особую актуальность приобрела следующая проблема, впервые поставленная М.Воон-Ли [18] в 1970 г.:
ПРОБЛЕМА 1. Верно ли, что конечный базис имеют тождества любой группы с нилъпотентнъш хоммутантом?
Важность этой проблемы определялась также и ее связью с задачей уточнения "границы" между шпехтовыми и нешпехтовы-ми многообразиями групп (многообразие называется шпехтовым, если тождества любой содержащейся в нем группы имеют конечный базис). Дело в том, что, как доказал М. Воон-Ли [18], группы, не допускающие конечного базиса тождеств, встречаются уже среди метанильпотентных групп (групп, являющихся расширениями нильпотентных групп с помощью нильпотентных). В течение нескольких последующих лег было приведено большое число систем тождеств метанильпотентных групп, не эквивалентных никакой конечной подсистеме [1], [10], [15] (недавно такая система то-' ждеств была найдена даже для групп, у которых факторгруппа по центру является расширением абелевой группы с помощью нильпо-тентной ступени 2 [5]). В то же время тождества любой метабеле-вой группы (группы, являющейся расширением абелевой группы с помощью абелевой) имеют конечный базис (см. выше), поэтому тождества расширений нильпотентных групп с помощью абелевых (то
есть групп с нильпотентным коммутантом) привлекли повышенное . внимание специалистов.
Исходным пунктом для исследований, связанных с пробле
мой 1, являлась упоминавшаяся выше работа Д. Коэна [4], в которой
существенно использовалась техника, ранее развитая Г, Хигмэном
[8]. Усиливая результат Д. Коэна о конечности базиса тождеств
любой метабелевой группы, М. Воон-Ли [19] доказал, что конеч
ный базис имеют тождества всякой группы, являющейся расшире
нием нильпотентной группы с помощью абелевой и одновременно
расширением абелевой группы с помощью нильпотентной. Следу
ющий шаг был сделан С. Маккай [13], доказавшей конечную бази-
руемость тождеств любой центрально-метабелевой группы и, более
того, конечную базируемость любой группы, удовлетворяющей для
некоторого п > 5 тождеству . ,
[[хі,Х2],[хз,Ха],Хі,... ,Хп] = 1
(при п = 5 получаем тождество, определяющее многообразие всех центрально-метабелевых групп). В этой же работе С. Маккай доказала, что если группа с нильпотентным ступени 2 коммутантом допускает базис, состоящий из тождеств от ограниченного в совокупности числа переменных, то эта группа допускает и конечный базис тождеств (отсюда еще не следует существование конечного базиса у тождеств любой группы с нильпотентным ступени 2 коммутантом; более того, основная сложность при доказательстве конечной базируемости тождеств группы обычно как раз и состоит в доказательстве существования базиса тождеств от ограниченного в совокупности числа переменных). Наконец, Р. Брайнт и М. Ньюмен [2], упростив и усовершенствовав технику С. Макки, доказали
конечность базиса тождеств любой группы, которая имеет нильпо-тентный коммутант и одновременно является расширением нильпотентной ступени не выше 2 группы с помощью нильпотентной. В частности, ими была доказана конечность базиса тождеств любой группы с нилыютентным ступени не выше 2 коммутантом. В [12] с помощью техники из [2] была доказана конечность базиса тождеств любого расширения нильпотентной группы с помощью абе-левой группы ограниченного периода, в частности, любой сверхразрешимой группы. В [11] было доказано, что конечный базис имеют тождества группы с нилыютентным коммутантом, допускающей базис тождеств от ограниченного в совокупности числа переменных. Некоторые частные случаи проблемы рассматривались также И. Д. Иванютой и Г. В. Шейной. Однако в общем случае проблема 1 оставалась открытой.
Для представлений групп проблему конечности базиса тождеств принято рассматривать в случае, когда основное кольцо является нетеровым. В отличие от теории многообразий групп, в теории многообразий представлений групп, которая начала активно развиваться в 70-х годах в работах Б.И.Плоткина и его учеников, проблема существования объектов без конечного базиса тождеств никогда не стояла, поскольку существование таких представлений легко вывести из существования групп, тождества которых не допускают конечного базиса. В то же время проблема конечности базиса тождеств различных представлений (представлений конечных групп, конечномерных представлений (разрешимых) групп над полем, конечномерных триангулируемых представлений и т.п.) постоянно привлекала внимание специалистов. Было доказано, что конечный базис имеют тождества любого представления конечной группы над
полем (С. М. Вовси [21] для немодулярных представлений, Нгуен Хунг Щон [22] в общем случае) и тождества некоторых других представлений. Остается, однако, неизвестным, всегда ли конечен базис тождеств конечномерного представления группы над полем. Даже для разрешимых групп до сих пор нет ответа на этот вопрос. В связи с этим Б. И. Плоткиным [17] была поставлена проблема, которая может быть переформулирована следующим образом:
ПРОБЛЕМА 2. Верно ли, что (над нетеровым ассоциативным коммутативным кольцом с единицей) конечный базис имеют тождества любого представления группы, хоторое удовлетворяет тождеству
(хі Х2 — Х2Х\ ) ... {х2п-1 Х2п - 2п22п-1 ) = 0? (1)
Актуальность этой проблемы определялась тем, что тождеству (1) удовлетворяют все конечномерные триангулируемые представления групп, а над полем для любого конечномерного представления р разрешимой группы G группа p(G) содержит триангулируемую подгруппу конечного индекса.
Вопрос о конечности базиса тождеств различных многообразий алгебр Ли интенсивно изучался с начала 70-х годов в работах М. Воон-Ли, Р. Врайнта и М. Воон-Ли, В. С. Дренски, Ю. А. Бах-турина и А. Ю. Ольшанского, И. Б. Воличенко, Ю. П. Размысло-ва, А. В. Ильтякова, и многих других. Над полем характеристики 0 проблема конечности базиса тождеств произвольной алгебры Ли остается открытой, однако для многих классов алгебр, и, в частности, для любой конечномерной алгебры, существование конечного базиса тождеств доказано (А. В. Ильтяков [9J). Существенно другой оказалась ситуация для алгебр Ли над полем конечной характери-
стики. М. Boon-Ли [20] заметил, что техника Д. Коэиа позволяет доказать конечность базиса тождеств любой метабелевой алгебры Ли над любым полем. С алгебрами Ли с нильпотентным ступени 2 коммутантом дело обстоит сложнее: над полем характеристики 2 существуют такие алгебры Ли, тождества которых не допускают конечного базиса (М. Воон- Ли [20)), в то время как над полем характеристики, не равной 2, тождества любой алгебры Ли с нильпотентным ступени 2 коммутантом имеют конечный базис (Р. Брайнт и М. Воон-Ли [3]). Позднее B.C. Дренски [7] построил надполем произвольной простой характеристики р алгебры Ли с нильпотентным ступени р коммутантом, не допускающие конечного базиса тождеств, обобщив этим результат М. Воон-Ли [20]. Оставалось, однако, неизвестным, можно ли распространить результат Р.Брайнта и М.Воон-Ли [3] на алгебры Ли над полем произвольной простой характеристики р, со-отвествующая проблема была поставлена Ю. А. Бахтуриным (см. [6, вопрос 2.11])::
ПРОБЛЕМА 3. Верно ли, что любая алгебра Ли с нильпотентным ступени с коммутантом над полем простой харахтеристики р, р > с, допускает конечный базис тождеств ?
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: доказательство конечной базируемое тождеств любой группы с нильпотентным коммутантом, тождеств любого удовлетворяющего (1) представления группы над нетеровым ассоциативным коммутативным кольцом с 1, тождеств любой алгебры Ли над полем простой характеристики р с нильпотентным ступени с,с<р, коммутантом (то есть решение проблем 1-3), а также конечности базиса тождеств некоторых других алгебраических структур.
Общая методика исследований. В работе используются методы теории групп, теории алгебр Ли, теории колец и модулей, а
также метод Хигмэна-Коэна доказательства нетеровости операторных колец многочленов от счетного числа переменных и модулей над ними, основанный на использовании техники вполне предупо-рядоченных множеств.
Кроме того, в работе развит новый метод доказательства нетеровости операторных модулей над кольцами многочленов от счетного числа переменных. Этот метод включает в себя использование техники Хигмзна-Коэна, подходящим образом усовершенствованной, но главную роль в нем играют новые соображения и конструкции.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Центральным результатом диссертации является доказательство конечности базиса тождеств любой группы с нильпотентным коммутантом (теорема 1).
Кроме того, к основным результатам данной работы можно отнести следующие:
Доказательство конечности базиса тождеств любого удовлетворяющего (1) представления группы над нетеровым ассоциативным коммутативным кольцом с единицей (теорема 2).
Доказательство конечности базиса тождеств любой алгебры Ли над полем простой характеристики р с нильпотентным ступени с, с < р, коммутантом (следствие 4.1).
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация
носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в научных исследованиях по теории групп, линейных алгебр и их, представлений в МГУ, МПГУ, Уральском университете, многих других алгебраических центрах. Кроме того, результаты дис-
сертации могут использоваться при чтении специальных курсов для студентов и аспирантов.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались с 1986 года на Всесоюзных алгебраических конференциях, симпозиумах и научных школах, на Международных конференциях по алгебре в Новосибирске в 1989 г. и в Красноярске в 1993 г., на специальной сессии "Тождества и сгруктура алгебр"в рамках 886 заседания Американского математического общества в Колледж Стей-шн, США, в 1993 г., а также на семинарах по теории групп и теории колец МГУ, МПГУ и на алгебраических семинарах в ряде университетов Канады и США.
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 статьях и 7 тезисах докладов, список которых приведен в конце автореферата.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация изложена на 154 страницах и состоит из введения и 3-х глав. Библиография содержит 86 наименований.