Введение к работе
Актуальность темы. Более 100 лет топология и алгебраическая гео-етрия развиваются в тесном контакте. В результате их взаимодействия эявились, например, теоремы Лефшеца и их обобщения в алгебраиче-сой геометрии, основные когомологические операции в топологии, значи-зльная часть теории характеристических классов и К -теории, теорема имана-Роха-Хирцебруха и ее обобщения.
Главной специфической областью этого взаимодействия является то-элогия комплексных алгебраических многообразий, занимающая про-ежуточное положение между алгебраической геометрией и топологией ногообразий и развивающаяся вместе с ними. Она состоит из общей теши, включающей в себя теорию Ходжа, теоремы лефшецева типа и т.п., структурной теории, охватывающей специальные классы комплексных ігебраических многообразий. (Отметим, что в последнее десятилетие эоизошел взрыв, связанный с открытием возможности существования гзличных гладких структур на алгебраических поверхностях, чем еще із подтверждается важность той роли, которую играет топология ал-ібраических многообразий, однако мы рассматриваем в первую очередь ногомерные многообразия.)
Вопросы, касающиеся топологии неособых многообразий, в послед-;е время интенсивно исследовались. Наиболее полно изучены неособые шерповерхности комплексных проективных пространств и регулярные элные пересечения (Браудер, Вуд, Кулкарни, Либгобер и другие; см. іботьі [18, 1, 13, 15, 16, 24, 12] а также [3] и приведенные там ссыл-ї). Продолжение этих исследований и по возможности столь же полное зпологическое исследование более широких классов комплексных проек-4вных многообразий — актуальная и остро стоящая проблема.
Что касается многообразий с особенностями, то, например, гиперпо-;рхности и полные пересечения с изолированными особенностями (ГПИО ППИО) представляют собой классический объект алгебраической геоме-эии. Естественным современным фундаментом для их изучения являет-[ стремительно развившаяся в последние десятилетия локальная теория юбенностей (акад. В. И. Арнольд и его школа, Р. Том, Дж. Милнор,
Лоойенга, Эбелинг и многие другие) с огромной литературой.
О "глобальных" гомотопических и гомологических свойствах особь многообразий также получено большое количество результатов (по пов ду ГПИО и ППИО упомянем здесь в первую очередь работы Либгобера Димки (см. библиографию в [3]). Кроме того, имеются глубокие результ ты, использующие, в частности, теорию смешанных структур Ходжа, дающие, например, оценки количества особых точек: для гиперповерхн стей лучшие оценки принадлежат Варченко, а в случае поверхностей -Мияоке. Для полных пересечений подобные оценки следуют из последш результатов Стинбринка и Эбелинга.
На этом фоне явно не достает результатов о глобальной топологич ской структуре особых многообразий, прежде всего, гиперповерхностей изолированными особенностями. Изучение этой проблемы дает импулі и развитию дифференциальной топологии НЕособых многообразий (к; дифференцируемых, так и алгебраических).
Цель работы. Целью работы является (основанное на специал
но разработанной дифференциально-топологической технике) тополог
ческое исследование классов комплексных проективных алгебраическі
многообразий (в первую очередь — размерности большей двух) более о
щих, чем неособые гиперповерхности и регулярные полные пересечет
в комплексном проективном пространстве CPN . N
Это, во-первых, неособые многообразия, следующие по сложности 3 дания за регулярными полными пересечениями,— такие, как детерм: нантальные многообразия, сечения проективных многообразий гиперп верхностями, нуль-многообразия алгебраических векторных расслоений т.д. Во-вторых, это — гиперповерхности в CPN , имеющие только из лированные (например, квадратичные) особенности. (Совмещение двз указанных направлений обобщения представляется, в основном, техпич ской проблемой, и в настоящей работе такая цель не ставится.)
Некоторые более конкретные цели:
для неособых многообразий рассматриваемого типа найти поддающі еся вычислению инварианты (алгебро-топологической природы, напр: мер гомотопические), определяющие (дифференциально-)топологическі:
a;
в том числе, найти достаточные условия диффеоморфпости таких мно-эбразий;
продолжить топологическую классификацию регулярных полных пе-сечепий.
найти возможно более широкие условия, при которых топологический л гиперповерхности с квадратичными особенностями определен про-ейшими и вычислимыми инвариантами (такими как размерность, степь, количество особых точек, их расположение в проективном про-рапстве и т.д.),
дать при этих условиях возможно более конкретное и точное ( "явное") [іологическое описание многообразия.
Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:
-
Доказано, что если иеособое проективное многообразие регулярно іано системой уравнений, количество уравнений в которой "ненамного" евосходит его коразмерность, то это — полное пересечение.
-
Доказаны теоремы сокращения для разложения односвязных диф-ренцируемых многообразий в связную сумму специального вида.
-
Получены новые критерии диффеоморфпости односвязных диффе-:щируемых многообразий и неособых алгебраических многообразий, за-іших тем или иным "конкретным" способом. Доказано,- что во многих гуациях дифференциально-топологический тип такого алгебраического огообразия определен чисто топологическими характеристиками зада-я.
-
Получен ряд новых результатов о топологическом строении двух ассов иеособых комплексных алгебраических многообразий, следующих сложности задания за регулярными полными пересечениями: сечений юсвязных проективных многообразий гиперповерхностями и полными "улярпыми пересечениями и детерминантальных многообразий.
-
Доказано, что если степень гиперповерхности с изолированными Ценностями достаточно велика (по сравнению с количеством и пеко-эыми характеристиками особых точек), то ее группы гомологии устро-л стандартно.
-
Описано топологическое строение гомологически стандартной п перповерхности с квадратичными особенностями посредством ее разл( жения в связную сумму.
-
Дано прямое геометрическое объяснение функционального урашн ния Хирцебруха для виртуальной сигнатуры, чем решена вторая част известной проблемы Тома-Хирцебруха.
Методы. В работе применяются методы алгебраической и диффереї циалыюй топологии, теории особенностей и алгебраической геометрш применяется также теория целочисленных билинейных форм. Из cm циальных результатов теории комплексных проективных многообрази применяются теоремы лефшецева типа и оценки на число особенностей
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теореті ческий характер. Основные результаты могут найти применение в далі нейших исследованиях топологических свойств и строения комплексны и вещественных проективных многообразий, алгебраической геометри) дифференциальной топологии и теории особенностей, а также в други областях математики, где может понадобиться информация о тополоп ческом строении гладких и алгебраических многообразий.
Апробация работы. Основные результаты диссертации были долі жены па следующих всесоюзных и международных конференциях:
XIX всесоюзная алгебраическая конференция (Львов, 1987);
Международная алгебраическая конференция памяти А. И. Мальцеї (Новосибирск, 1989);
"Бонн-Берлин" (Берлин, Свободный университет, 1990);
"Топология" (Обервольфах, 1991);
"Семестр Лобачевского'' (С.-Петербург, ММИ им. Л. Эйлера, 1992);
"Топологический симпозиум западного побережья" (Стэнфорд, 1993
1 иіЮЛиГИИ КОМПЛЕКСНЫХ иСииеННиСТеИ (iVOJlL-idliU, ЧТ1 , i.W4),
"Вещественные и комплексные особенности" (Ливерпуль, 1996); Саратовские математические чтения памяти М. Я. Суслина (1989); на научной конференции в СПбГУ, посвященной 30-летию ФМШ г 45 при СПбГУ (1992);
на XXIX Научной конференции РУДН (1993);
в Математическом институте им. В. Л. Стеклопа РАН на семинаре )д руководством акад. РАН И. Р. Шафаревпча (19!К>);
в МГУ на семинарах под руководством акад. РАН А. Т. Фоменко 99G), проф. М. М. Постникова (1990), проф. А. С. Мищенко и проф. ). П. Соловьева (1996);
на С.-Петербургском городском алгебраическом семинаре им. Д. К. аддеева (199G);
на С.-Петербургском городском топологическом семинаре им. В. А. эхлина (1988-1993);
в университетах Германии на семинарах под руководством проф. Э. огта (Берлин, Свободный университет, 1990, 1994); проф. X. Цишанга юхум, 1991), проф. Гекльбери (Бохум, 1991); проф, Э. Эно (Эссен, 1991), на общефакультетских семинарах (Гёттлнген, 1990; Ганновер, 1994);
в университетах США па семинарах под руководством проф. А. Либ-ібера (Чикаго, Иллннойский, 1993), проф. Акбулута (Лэпсинг, Мнчи-інский, 1993), проф. Дж. Левина (Бостон, Брэндайс, 1993).
на семинаре в Страсбургском университете (1996);
на следующих школах-конференциях:
XIII Школа по теории операторов (Куйбышев-Астрахань, 1988);
XXII Воронежская зимняя математическая школа (1989);
III Сибирская школа "Алгебра и анализ" (1989);
XIV Школа по теории операторов (Новгород, 1989);
IV Саратовская зимняя школа по теории функций (1990);
XI и XII Зимние школы "Геометрия и физика" (Срнп, ЧССР, 1991, »92);
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в іботах автора 1-24, перечисленных в конце автореферата.
Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 220 стра-щ машинописного текста и состоит из введения, десяти глав, приложе-ія и списка литературы из 98 наименований.