Введение к работе
Актуальность теки. Топологические (голу)грушовнв кольца и алгебры занимают как Он промежуточное положение между дискретными (полу)групповыми кольцами.и алгебрами, с одной сторона и такими часто используемыми в функциональном анализе объектами, как сверточные алгебры типа алгебры регулярных бореловских мер и алгебры абсолютно интегрируемых по мере Хаара функций на топологической группе.
Что касается первых, то интерес к ним в теории колец
традиционно велик. Отметим работы и монографии таких авторов, как
G.Hlgman1, D.S.Passman2, А.Е.Залесский и А.В. * Михалев-*,
J.Ctalnskil4, А.А.Бовди5. — -
На другом полюсе, как уже говорилось, находятся различные аналоги полугрупговнх (а чаще всего грушових) алгебр, используемые в функциональном анализе (их краткое ' описание можно * найти, например) в книге А.А.Кириллова6. Как правило при работе с такими объектами возникают определенные проблема. Например, для алгебр L1(G,cL) и H(G) нельзя указать непрерывное вложение в них топологической группы G. Также отметим, что ряд трудностей возникает при использовании алгебр этого типа в теории двойственности Фурье.
Топологические (палу)группоше кольца и алгебры конечных сумм
1Higman G. The units of group rings. Proc. London Math. Soc. Ser. 2, 1940, 46, J6 3, 231-248.
2D.S. Passman. The algebraic structure of group rings. H.-Y., Wiley, 1977.
-"Залвсский A.E., Михалев А.В. Групповые кольца. Итоги науки и .техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т.2, И.:ВИНИТИ, 1973, с.5-118. 4J. MminsM.. Seralgroup Algebras. N-Y., Marcel Dekker Inc, 1990.
-'Вовди А.А. Групповые кольца. Ужгород, Изд-во Ужгородского Университета. 1974.
Кириллов А.А. Элементы теории представлений, 1978, Ы.:"Наука".
начинают втрать большую роль в таких областях, как . теория представлении, гармонический анализ, нвархимедов функциональный анализ и т.д. Однако до недавнего времени топологические полугруткете кольца оставались-, практически ... нбнсслвдованнши. Решавдую роль, поэтому сыграли в- последние годы работы В.И.Арнаутова и А.Е.Михалвва, по сути открывшие эту интереснейшую область.
Цель работы. Исследование топологических полугрупповых колец.
Научная новизна. Основные результаты являются новыми:
1) Для строго сжимающих моноидов получены критерии
псевдонормнруемости топологического шлугруппового кольца,
одновременного продолжения псевдонормы и .топологии моноида и
кольца коэффициентов до топологии и псевдонормы полугруппового
кольца, продолжения метрики моноида и псевдонорма кольца
козфїнцивніов до псевдонормы их голу грушового кольца;
2) Получено представление пополнения неархимедово нормированной
полугрупповой алгебры как пространства обобщенных рядов;
3) Для коммутативных, компактных нульмерных моноидов и
-нэархимёдово нормированного поля получены критерии существования
неархимедово нормированной полугрушовой алгебры и существования разделяющей системы полухарактеров. Показано, что эти два случая являются взаимно исключающими;
-
Доказана полупростота (по Джэкобсону) локально-выпуклых групповых алгебр над полем комплексных чисел и компактными группами, а также их пополнений;
-
Показано, что на групповой алгебре компактной группы с 'комплексный! коэффициентами и на алгебре представляющих функций данной грушш можно так задать локально-выпуклые топологии и структуры алгебр Хопфа, что они окажутся взаимно сопряжены.
Метода исследования. В диссертации используются методы топологической алгебры и функционального анализа.
Практическая и .теоретическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Результата могут найти применение в топологической алгвбрз, теории представлений, гармоническом анализе..
Аппробация диссертации. Результата докладывались на
2.
международных конференциях по алгебре в Барнауле (1991г.), в Иркутске (1992), а также на симпозиуме по алгебрам, кольцам и модулям во Львове (1990).
. . .Публикации. Основные результаты опубликованы в 8-ми работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объеы диссертации. Изложение основного материала-диссертации разбито на 5 глав, содержащих в общей сложности 13 параграфов. Объем диссертации 117 страниц.