Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Анализ математических объектов, применяемых как в приложениях, так и в теоретических исследованиях, позволяет сделать вывод, что одними из важнейших объектов являются те, которые получаются заданием на множестве нескольких математических структур, согласованных между собой. Среди них значимое место занимают те множества, на которых заданы алгебраическая и топологическая структуры, согласованные, как правило, между собой. Ярким примером этого могут служить такие объекты, как топологические группы или топологические векторные пространства.
После впечатляющих результатов, связанных с развитием тополо-гическігх групп и их применениями, в том числе и в области гармонического анализа, теории представлений групп (достаточно упомянуть работы Понтря-гина Л.С., Вейла А.), возрос интерес к более общему классу объектов - топологическим полугруппам. Этот интерес подогревается тем, что топологические полугруппы возникают естественным образом при исследовании топологических групп (так называемые сверточиые алгебры).
Начало изучения топологических полугрупп положил в 1926 г. Шрейрер О., к настоящему времени вышли ряд монографий, посвященных теории топологических полугрупп, в частности, монографин Tserpes N.A, Mukherjea A.1, Carruth J.H., Hildebran J.A., Koch R.J.2
Одной из важных задач теории топологических полугрупп является задача топологического вложения топологической полугруппы в топологическую группу, то есть отыскание таких условий, при которых существует взаимно непрерывный полугрупповой мономорфизм данной топологической полугруппы в топологическую группу. Важность проблемы обусловлена тем, что при условии такого вложения к исследованию топологических полугрупп сразу же можно применять развитую теорию топологических групп.
1 Mukherjea A.. Tserpes N.A. Measures on topological semigroups // Lecture notes in mathematics. - 1976. - Vol 547. -197 с
! Carruth J.H., Hildebrant J.A., Koch R.J. The theory of topological semigroups.-New york and Basel.-V.l.-198J, V.2.-1986.
В 1970 году Ф.Т.Христоф нашел необходимые и достаточные условия топологического вложения произвольной топологической полугруппы в группы. Однако, эти условия чрезвычайно громоздки и труднопроверяемы в приложениях. Поэтому до сих пор актуально нахождение классов полугрупп, топологически вложимых в группы, с достаточно простыми условиями, накладываемыми на этот класс. Об этом говорят работы Шнепермана Л.Б., Ри-гельхофа Р., Тсерпеса Н.А., Мухерджеа А-, Мухина В.В., Миротина А.Р.
В частности, Ригельхоф исследовал случай абелевых полугрупп, Тсерпесом и Мухерджеем получено топологическое вложение реверсивных полугрупп, Мухиным и Миротиным была раскрыта роль инвариантной меры для топологического вложения полугрупп в группы. Однако, это только раскрывает широту задачи топологического вложения бинарных полугрупп- в топологические группы и подчеркивает важность этой проблемы и ее актуальность.
Другими естественными обобщениями понятия топологической группы являются понятия n-арной топологической полугруппы и п:арной топологической группы.
n-Арные полугруппы и n-арные группы относятся к специальным классам алгебраических систем - n-арным системам, которые определяются, как универсальная алгебра с одной главной n-арной операцией.
С работой Дерите в 1928 году и началось, по существу, развитие этой ветви алгебры. Из основных работ развития этого молодого направления отметим обширную работу Поста Е.Л. по n-арным группам, монографию Бело-усова В.Д. по n-арным квазигруппам, работы Артамонова В.А., Глазика К., а также работы Глускина Л.Н. и Колесникова О.В. по n-арным полугруппам. В 1992 году вышла в свет весьма обширная, интересная монография С.А. Русакова по n-арным группам и n-арным полугруппам, являющаяся пионерской работой в Республике Беларусь и странах СНГ.
Кромбез и Сикс (в своей работе) дали определение n-арной топологической группы для n "і. 3. С.А. Русаковым было введено новое определение n-арной топологической группы так, что при п > 3 оно эквивалентно определение Кромбеза и Сикса, а при n = 2 совпадает с классическим определением топологической группы.
3 Русаков Cj\. Алгебраические n-арные системы: Силовская теория n-арных групп. - Минск: Навука і ташіка, 1992. - 264 с.
Чупона (в своей работе) построил обертывающую топологическую группу для топологической п-арной группы.
Мухиным В.В. была получена характеризация топологий на п-арных группах, согласованных с алгебраической операцией, в терминах отклонений. Им же получено распространение теоремы Эллиса Р. на случай п-арных групп с локально компактной топологией; и было введено понятие инвариантной меры на п-арных полугруппах и группах. Теория топологических п-арных полугрупп находится к настоящему времени в стадии становления.
Таким образом, вопросы, рассматриваемые в диссертационной работе, такие как изучение п-арных топологических полугрупп; нахождение условий, при которых топология на n-арной полугруппе, порождаемая семейством отклонений или норм, согласована с алгебраической операцией; характеризация п-группоидов Менгера и топологических п-арных полугрупп; получение условий топологического вложения п-арных и бинарных полугрупп в бинарные топологические группы; выяснение роли инвариантной меры для топологического вложения п-арных и бинарных локально компактных полугрупп с открытыми сдвигами в локально компактные группы, актуальны, перспективны и определяются логикой развития математической теории алгебраических систем с топологией (в теоретическом плане).
Связь работы с крупными научными программами, темами. Изучение топологических полугрупп, их топологического вложения является одним из важных направлений, разрабатываемых в рамках Гомельского государственного университета по теме "Исследоваїше аддитивных функций множества, непрерывных функций и их аппроксимаций", вьшоліиемой в'соответствии с республиканской программой фундаментальных и прикладных исследований в области математики, широкому применению методов математического моделирования в отраслях народного хозяйства республики на период до 2000 года, утвержденной постановлением президігума АН БССР от 2 января 1989 г. N2 (раздел 1, шифр научного направления 1.1.8). Результаты автора этой работы представлены в итоговом отчете по данной НИР, раздел 5.
Цель и задачи исследования. Основная цель диссертации - построите начал теории п-арных топологических группоидов и полугрупп, нахождение классов топологических п-арных полугрупп, топологически вкладывающихся в бинарные топологические группы.
4 Cupona Ci. On topological n-gioups II Билгек на Друшт. На мат. н фщ. Од .
Для достижения этой цели решаются следующие задачи:
найдены условия, при которых топология на п-арной полугруппе, порождаемая семействами отклонений, норм, согласована с алгебраической операцией;
для топологических n-арных полугрупп, являющихся производными от бинарных полугрупп, даны условия непрерывности бинарной операции;
дана характеристика топологических п-группоидов Менгера;
даны необходимые и достаточные условия топологического вложения п-арных абслевых топологических и полутопологических полугрупп в бинарные топологические группы;
» найдены классы n-арных, в том числе, и,бинарных, топологических полугрупп, вкладывающихся в бинарные топологические группы' в качестве открытых множеств, а также в локально компактные бинарные топологические группы, и выяснена роль инвариантной меры для такого вложения. ч
Научная новизна полученных результатов. Все полученные результаты являются новыми.
Практическая значимость полученных результатов. Результаты диссертации могут быть использованы при изучении n-арных топологических полугрупп и групп, в теоретических исследованиях в области топологической алгебры, абстрактного гармонического анализа, а также при чтении спецкурсов, преподаваемых в университетах и пединститутах.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
1)Характеризация топологий на n-арных полугруппах, согласованных с п-арной операцией, в терминах отклонений.
-
Описание топологических бинарных групп в терминах норм, квазшюрм и отклонений.
-
Описание п-группондов Менгера с топологией.
-
Характеризация топологических n-арных полугрупп, являющихся производными от бинарных полугрупп.
-
Построение обертывающих топологических полугрупп для n-арных полутопологических полугрупп с сокращениями.
. б) Необходимое и достаточное условие топологического вложения п-арных абелевых топологических полугрупп с сокращениями в бинарные топологические группы.
-
Выяснена роль инвариантной меры для топологического вложения п-арных топологических полугрупп в локально компактную топологическую группу в качестве открытого подмножества.
-
В терминах равномерных структур дано, необходимое и достаточное условие топологического вложения бинарной полугруппы, наделенной локально компактной топологией такой, что сдвиги в ней открыты и непрерывны, в локально компактную бинарную топологическую группу в качестве открытого множества.
Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.
Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры алгебры и геометрии Гомельского государственного университета (руководитель семинара член-корреспондент АН Республики Беларусь Шеметков Л.А.), на научных семинарах кафедры математического анализа Гомельского государственного университета, на семинаре под руководством профессора Русакова С.А. "п-арные алгебраические системы и их приложения" Белорусского государственного университета транспорта, на Третьей международной конференции по алгебре памяти М.И.Каргополова (Красноярск, 1993 год), на Международной математической конференции, посвященной 25-летию Гомельского государственного университета (Гомель, 1994 год), на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева (Казань, 1994 год), на Международной конференции, посвященной памяти академика С.А.Чунихина (Гомель, 1995 год), на VII Белорусской математической конференции (Минск-1996).
Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1], [2], препринтах [3], [4], в тезисах [5], [6], [7], [8], [9], [Ю], ["I-
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, пяти глав основной части, выводов и списка использованных источников в алфавитном порядке на русском языке, затем в алфавитном порядке на английском и других языках в количестве 109 наименований. Объем диссертации - 76 страниц.