Содержание к диссертации
Введение
1 Основные понятия 7
1.1 Категории толерантных пространств 7
1.2 Симплициальные гомологии толерантных пространств . 10
1.3 Толерантные расслоения 12
2 Теория толерантных кубических сингулярных гомологии 21
2.1 Построение групп толерантных кубических сингулярных гомологии 21
2.2 Нульмерные толерантные кубические сингулярные гомологии 24
2.3 Толерантные кубические сингулярные гомологии стягиваемых пространств 26
2.4 Простые толерантные кубические сингулярные гомологии. 28
2.5 Гомологии нормализованных толерантных кубических сингулярных цепей различной вырожденности 46
2.6 Полное двойное замедление толерантного сингулярного куба. 50
2.7 Пунктированные толерантные сингулярные кубические гомологии 54
3 Спектральная последовательность толерантного расслоения 80
3.1 Основная теорема о сингулярных кубах толерантных расслоений 80
3.2 Действие фундаментальной группы базы на группе гомологии слоя толерантного расслоения 99
3.3 Уточнение основной теоремы о сингулярных кубах толерантных расслоений 120
3.4 Построение спектральной последовательности толерантного расслоения 125
Заключение 147
Литература 148
- Симплициальные гомологии толерантных пространств
- Толерантные кубические сингулярные гомологии стягиваемых пространств
- Гомологии нормализованных толерантных кубических сингулярных цепей различной вырожденности
- Действие фундаментальной группы базы на группе гомологии слоя толерантного расслоения
Введение к работе
Методы гомологической алгебры в теории отношений впервые были применены Доукером в работе [28] 1956 года, в которой он определил группы гомологии произвольных отношений. Затем Зиман в работе [33] 1962 года определил отношения толерантности, весьма перспективные как с математической, так и с прикладной точки зрения, для которых гомологическая алгебра оказалась естественным инструментом исследования. Зиман, применяя алгебро- топологические методы для моделировани работы зрительного анализатора, предложил в качестве наиболее общей математической модели понятия схожести использовать рефлексивные и симметричные бинарные отношения, которые он назвал отношениями толерантности. Пару, состоящую из множества и заданного на этом множестве отношения толерантности, Зиман назвал толерантным пространством. Типичными примерами толерантных пространств, естественно возникающих при приближенных измерениях и вычислениях, являются метрические толерантные пространства. Такие пространства состоят из множеств, на которых имеются метрики, а толерантность пары точек имеет место по определению, если они удалены друг от друга менее чем на некоторую фиксированную величину, связанную с точностью измерений или вычислений. Конечно же, метрические пространства далеко не исчерпывают все примеры и применения толерантных пространств. Так, например, особый интерес к конечным толерантным пространствам с толерантностями, не связанными с метриками, был проявлен со стороны специалистов по теории автоматов (см. работы [1], [27], [29] - [32]) и специалистов по математической лингвистике (см. [24], [25]).
В 1970 году была опубликована программная статья Зимана и Бью-немана (см. [3]). В этой статье некоторые важные и интересные вопросы, связанные с математическим моделированием в области теоретической кибернетики и биологии, были сформулированы на языке теории толерантных пространств в виде конкрентых математических задач. Однако, решение этих задач затруднялось неразвитостью гомологической теории толерантных пространств и практическим отсутствием теории толерантной гомотопии. Достаточно отметить, что к середине 80-х годов име-
лось несколько совершенно различных (и даже не изоморфных) способов определения групп гомологии толерантных пространств, и одновременно не было предложено ни одного способа построения фундаментальных групп толерантных пространств, не говоря уже о высших гомотопических группах. Все это, в частности, тормозило развитие теории толерантных накрытий и толерантных расслоений, которые, согласно идее Зимана и Бьюнемана [3], являются подходящим инструментом описания неоднозначности в поведении сложных систем.
Начиная с конца 80-х годов, в серии работ Небалуева СИ. (см. библиографию в [16] и [8], [10], [11], [13]) была построена достаточно развитая гомологическая и гомотопическая теория толерантных пространств, с помощью которой был решен ряд задач, в том числе и некоторые задачи, сформулированные в работе [3]. В упомянутых выше работах Небалуева, в частности, были получены стандартные точные гомологические последовательности (пары, Майера-Виеториса), формула Кюннета, были определены фундаментальная группа и высшие гомотопические группы толерантных пространств и доказаны теоремы о точных гомотопических последовательностях пары и толерантных расслоений. Была также доказана теорема Пуанкаре для толерантных пространств об изоморфизме группы 1-мерных гомологии и фактора фундаментальной группы по \ коммутанту. После того как были получены эти результаты, стали актуальными следующие задачи: посторение и изучение спектральных последовательностей и доказательство теоремы Гуревича для толерантных пространств о связи высших гомотопических групп с группами гомологии. В классическом алгебро-топологическом случае одной из наиболее важных спектральных последовательностей является спектральная последовательность расслоения, или спектральная последовательность Лере-Серра, с помощью которой получается одно из доказательств теоремы Гуревича. Поэтому наиболее актуальной задачей описываемого направления в теории толерантных пространств стала задача построения спектральной последовательности Лере-Серра толерантного расслоения, изучения ее свойств и вычисления первых ее членов. Решение этих задач является основной целью представленной диссертации.
При построении спектральной последовательности Лере-Серра толерантного расслоения необходимо было выбрать подходящее определение групп гомологии толерантного пространства. В алгебраической топологии при классическом способе построения спектральной последовательности Лере-Серра используются кубические сингулярные гомологии (см. [22], [23]). В работе [29] был предложен вариант определения толерант-
ных кубических сингулярных (ТКС) гомологии. Однако, эти гомологии имеют ряд серьезных недостатков: во-первых, ТКС гомологии из [29] не инвариантны относительно толерантной гомотопии, определяемой по классической схеме; во-вторых, они не изоморфны группам гомологии Зимана и Небалуева и, следовательно, не удовлетворяют упомянутой выше теореме Пуанкаре. Это делает группы ТКС гомологии из работы [29] непригодными для решения поставленных задач. Поэтому вторая глава диссертации полностью посвящена построению теории ТКС гомологии, подходящих для получения толерантной спектральной последовательности Лере-Серра.
При построении подходящей теории ТКС гомологии решалось две задачи: во-первых, эти гомологии должны быть естественно изоморфны гомологиям Зимана, а, во-вторых, группы таких гомологии должны порождаться пунктированными толерантными сингулярными (ТС) кубами, все вершины которых отображаются в отмеченную точку. Для этого сначала определяются группы ТКС гомологии Н(Х) и простых ТКС гомологии HS(X) толерантного пространства (Х,т). Важность гомологии HS(X) заключается в том, что для них доказывается их естественная изоморфность гомологиям Зимана Н{Х). Недостаток гомологии HS(X) состоит в том, что пунктированные простые ТС кубы тривиальны, то есть являются постоянными отображениями. Чтобы в последствии иметь нетривиальные пунктированные ТС кубы, мы должны перейти к гомологиям Н{Х). При этом доказывается теорема о естественной изоморф-ности HS(X) и Н(Х). От гомологии Н(Х) перейти к пунктированным ТКС гомологиям Н'(Х) удается с помощью конструкции полного двойного замедления ТС кубов и весьма громоздкой теоремы 2.8. Конструкция полного двойного замедления позволяет экспоненциально увеличивать размеры ТС кубов, сохраняя группы гомологии, порождаемые этими кубами. С помощью конструкции полного двойного замедления доказывается естественная изоморфность групп Н(Х) и вспомогательных групп HW(X) замедленных ТКС гомологии. С помощью теоремы 2.8 доказывается естественная изоморфность замедленных ТКС гомологии НУ{Х) и пунктированных ТКС гомологии Н'(Х) . В результате на категории толерантных пространств получаем гомологический функтор пунктированных ТКС гомологии Н'(Х) , подходящий для построения толерантной спектральной последовательности Лере-Серра, и изоморфный функтору гомологии Зимана Н(Х).
Построение спектральной последовательности Лере-Серра пунктированного толерантного расслоения р : ((E,t),xq) —> ((?,т),&о) начинает-
ся с доказательств ряда важных свойств ТС кубов пространств (Е, т) и (В, г), связанных В- и Т- проекциями. Одним из следствий этих свойств является задание представления фундаментальной группы 7г(В, &о) базы (В,т) расслоения в группе автоморфизмов AutH(F) группы гомологии H(F) слоя F = p-1(fro)> что позволяет определить важные для дальнейшего группы Н(В; H(F)) гомологии базы (В,т) с локальными коэффициентами в группе гомологии слоя (F,t).
В заключительной части диссертации с помощью полученных свойств ТС кубов толерантного расслоения строится в терминах точных нар спектральная последовательность { ф ^sAn^i- Доказываются свойства
s,ieZ
этой последовательности, из которых следует ее сходимость. Затем вычисляется первый член этой последовательности 8Sjt — СР(В)
s,ieZ
Лере-Серра толерантного расслоения.
Симплициальные гомологии толерантных пространств
Методы гомологической алгебры в теории отношений впервые были применены Доукером в работе [28] 1956 года, в которой он определил группы гомологии произвольных отношений. Затем Зиман в работе [33] 1962 года определил отношения толерантности, весьма перспективные как с математической, так и с прикладной точки зрения, для которых гомологическая алгебра оказалась естественным инструментом исследования. Зиман, применяя алгебро- топологические методы для моделировани работы зрительного анализатора, предложил в качестве наиболее общей математической модели понятия схожести использовать рефлексивные и симметричные бинарные отношения, которые он назвал отношениями толерантности. Пару, состоящую из множества и заданного на этом множестве отношения толерантности, Зиман назвал толерантным пространством. Типичными примерами толерантных пространств, естественно возникающих при приближенных измерениях и вычислениях, являются метрические толерантные пространства. Такие пространства состоят из множеств, на которых имеются метрики, а толерантность пары точек имеет место по определению, если они удалены друг от друга менее чем на некоторую фиксированную величину, связанную с точностью измерений или вычислений. Конечно же, метрические пространства далеко не исчерпывают все примеры и применения толерантных пространств. Так, например, особый интерес к конечным толерантным пространствам с толерантностями, не связанными с метриками, был проявлен со стороны специалистов по теории автоматов (см. работы [1], [27], [29] - [32]) и специалистов по математической лингвистике (см. [24], [25]).
В 1970 году была опубликована программная статья Зимана и Бью-немана (см. [3]). В этой статье некоторые важные и интересные вопросы, связанные с математическим моделированием в области теоретической кибернетики и биологии, были сформулированы на языке теории толерантных пространств в виде конкрентых математических задач. Однако, решение этих задач затруднялось неразвитостью гомологической теории толерантных пространств и практическим отсутствием теории толерантной гомотопии. Достаточно отметить, что к середине 80-х годов имелось несколько совершенно различных (и даже не изоморфных) способов определения групп гомологии толерантных пространств, и одновременно не было предложено ни одного способа построения фундаментальных групп толерантных пространств, не говоря уже о высших гомотопических группах. Все это, в частности, тормозило развитие теории толерантных накрытий и толерантных расслоений, которые, согласно идее Зимана и Бьюнемана [3], являются подходящим инструментом описания неоднозначности в поведении сложных систем.
Начиная с конца 80-х годов, в серии работ Небалуева СИ. (см. библиографию в [16] и [8], [10], [11], [13]) была построена достаточно развитая гомологическая и гомотопическая теория толерантных пространств, с помощью которой был решен ряд задач, в том числе и некоторые задачи, сформулированные в работе [3]. В упомянутых выше работах Небалуева, в частности, были получены стандартные точные гомологические последовательности (пары, Майера-Виеториса), формула Кюннета, были определены фундаментальная группа и высшие гомотопические группы толерантных пространств и доказаны теоремы о точных гомотопических последовательностях пары и толерантных расслоений. Была также доказана теорема Пуанкаре для толерантных пространств об изоморфизме группы 1-мерных гомологии и фактора фундаментальной группы по \ коммутанту. После того как были получены эти результаты, стали актуальными следующие задачи: посторение и изучение спектральных последовательностей и доказательство теоремы Гуревича для толерантных пространств о связи высших гомотопических групп с группами гомологии. В классическом алгебро-топологическом случае одной из наиболее важных спектральных последовательностей является спектральная последовательность расслоения, или спектральная последовательность Лере-Серра, с помощью которой получается одно из доказательств теоремы Гуревича. Поэтому наиболее актуальной задачей описываемого направления в теории толерантных пространств стала задача построения спектральной последовательности Лере-Серра толерантного расслоения, изучения ее свойств и вычисления первых ее членов. Решение этих задач является основной целью представленной диссертации.
При построении спектральной последовательности Лере-Серра толерантного расслоения необходимо было выбрать подходящее определение групп гомологии толерантного пространства. В алгебраической топологии при классическом способе построения спектральной последовательности Лере-Серра используются кубические сингулярные гомологии (см. [22], [23]). В работе [29] был предложен вариант определения толерантных кубических сингулярных (ТКС) гомологии. Однако, эти гомологии имеют ряд серьезных недостатков: во-первых, ТКС гомологии из [29] не инвариантны относительно толерантной гомотопии, определяемой по классической схеме; во-вторых, они не изоморфны группам гомологии Зимана и Небалуева и, следовательно, не удовлетворяют упомянутой выше теореме Пуанкаре. Это делает группы ТКС гомологии из работы [29] непригодными для решения поставленных задач. Поэтому вторая глава диссертации полностью посвящена построению теории ТКС гомологии, подходящих для получения толерантной спектральной последовательности Лере-Серра.
При построении подходящей теории ТКС гомологии решалось две задачи: во-первых, эти гомологии должны быть естественно изоморфны гомологиям Зимана, а, во-вторых, группы таких гомологии должны порождаться пунктированными толерантными сингулярными (ТС) кубами, все вершины которых отображаются в отмеченную точку. Для этого сначала определяются группы ТКС гомологии Н(Х) и простых ТКС гомологии HS(X) толерантного пространства (Х,т). Важность гомологии HS(X) заключается в том, что для них доказывается их естественная изоморфность гомологиям Зимана Н{Х). Недостаток гомологии HS(X) состоит в том, что пунктированные простые ТС кубы тривиальны, то есть являются постоянными отображениями. Чтобы в последствии иметь нетривиальные пунктированные ТС кубы, мы должны перейти к гомологиям Н{Х). При этом доказывается теорема о естественной изоморф-ности HS(X) и Н(Х). От гомологии Н(Х) перейти к пунктированным ТКС гомологиям Н (Х) удается с помощью конструкции полного двойного замедления ТС кубов и весьма громоздкой теоремы 2.8. Конструкция полного двойного замедления позволяет экспоненциально увеличивать размеры ТС кубов, сохраняя группы гомологии, порождаемые этими кубами. С помощью конструкции полного двойного замедления доказывается естественная изоморфность групп Н(Х) и вспомогательных групп HW(X) замедленных ТКС гомологии. С помощью теоремы 2.8 доказывается естественная изоморфность замедленных ТКС гомологии НУ{Х) и пунктированных ТКС гомологии Н (Х) . В результате на категории толерантных пространств получаем гомологический функтор пунктированных ТКС гомологии Н (Х) , подходящий для построения толерантной спектральной последовательности Лере-Серра, и изоморфный функтору гомологии Зимана Н(Х).
Толерантные кубические сингулярные гомологии стягиваемых пространств
Толерантное отображение Хм {Вм,т У. СВ) — (Ц$м(В) Е) будем называть накрывающей функцией для р длины М.
Пусть р : (Е,т) - (В, т) - толерантное отображение, и пусть для любого М Є N существует накрывающая функция Хм для р длины М. Тогда отобраэюение р являлется толерантным расслоением (в смысле Гуревича). Доказательство этого предложения приводится в статье [15]. Рассмотрим теперь линейно связное толерантное пространтво (X, г) и пространтво $$(Х, XQ), КХ) толерантных путей в пространстве (Х,т) с началом в точке XQ є X. Определим отображение р : $(Х, XQ) — X р(шп)=шп{1). (1.9) Следующая теорема содержит важный пример толерантного расслоения. ТЕОРЕМА 1.2. Толерантное отобраэюение р : ( $(Х, х0),нх) —» (X, т), определенное формулой (1.9), является толерантным раслоени-ем (в смысле Гуревича). При этом слойр 1(хо) этого расслоения над точкой XQ Є X представляет собой пространство (D(X,XQ), CX) толерантных петель простарнства (Х,т) в точке XQ. Доказательство данной теоремы можно найти в статье [15]. Другие примеры толерантных расслоений можно найти в работе [14], где определено понятие расслоеного толерантного пространства, приведены примеры таких пространств, включая толерантные накрытия, и доказано, что проекция расслоенного пространства является толерантным расслоением. Всюду далее мы будем иметь дело с пунктрированными толерантными расслоениями: р : ((Я,т),ж0) - ((В,т),Ъ0), х0 є Я, бо Є В, х0 Є р &о) = F, (1.10) в которых база {В,т) и слой (F,r) являются линейно связными толерантными простанствами. Следующее предложение показывает, что и пространство расслоения {Е,т) и все слои Рь, где Fb = р г(Ь), также являются линейно связными. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.2. Пусть в пунктированном толерантном расслоении р:((,т),.то)- ((,т)Л), Ь0ЄВ, x0ep-1{bQ)=FcE база (В,т) и слой (F,T) являются линейно связными толерантными пространствами, тогда и пространство расслоения (Е, г) и слой {Fb,r) в любой точке b є В являются линейно связными. Доказательство Чтобы доказать линейную связность пространства (Е,т), покажем, что всякая точка х Є Е может быть соединена толерантным путем с отмеченной точкой XQ. В самом деле, рассмотрим точки &0 = р(хо), Ь — р{х) в пространстве (В,г). Так как пространство (В, т) - линейно связное, то имеется толерантный путь, соединяющий точки b и Ьо: LJ:IN- В, ы(0) = 6, ш(1) = 60. (1.11) Рассмотрим толерантный путь ш как толерантную гомотопию двух одноточечных отображений, принимающих значения Ъ и &о, и поднимем первое отбражение b до отбражения со значением .т, что можно сделать ввиду того, что р(х) — Ь. По свойству накрывающей гомотопии для толерантного расслоения р существует толерантный путь в (Е,т), накрывающий путь со: ш : IN — Е, w(0) = х, рош — to. (1-12) Из (1.13)и (1.12) в частности следует, что х — ш{1) Є p l{bo) = F. А так как слой (F,T) является линейно связным, то найдется толерантный путь в (F,T), соединяющий точки X ,XQ Є F: Ш: IN - F С E, ЩО) = x , Щі) = x0. (1.13) Из (1-12) и (1.13) следует, что толерантный путь ш ш в Е (см. (1.2)) соединяет точку х с точкой XQ, ЧТО доказывает линейную связность про-странтва (Е,т). Возьмем теперь произвольную точку 6 Є В и покажем, что слой Еь = р_1(6) является линейно связным подпространством в (Е,т). Так как (В, т) - линейно связное пространство, то существует толерантный путь ьо : IN — В, соединяющий точку &о = w(0) с точкой 6 = си(1). Точки bk — со (- ) , к = О, N, составляющие траекторию этого пути, таковы, что Ь тЬк+і, к — О, N — 1. Поэтому, если мы покажем, что из линейной связности слоя F = Fb0 = р-1(&о) следует линейная свзность слоя Fbl = p 1{b{), то индуктивно это утверждение распространяется на все точки траектории пути ш и влечет линейную связность слоя FbN = Fb. Итак, нам надо показать, что толерантность &іт&о влечет линейную связность пространства (Fbl =р_1(61),г). Возьмем произвольно точки у, у Є Fbl. Толерантный путь /3 : її — В единичной длины, определяемый условиями Р(0) = bi, /5(1) = b0l по свойству накрывающей гомото-пии имеет два накрывающих пути frp -.h- E, Ж0)=У,Р (Р) = і/,РР = РР, = Р- (1-14) Обозначим х = /3(1), х — J3 (1). Тогда из (1.14) следует: р{х) = р(х ) =b0, T.e.x,x eF = Fbo = р-1(ьо); 15ч хту, х ту Линейная связность (F, т) влечет существование толерантного пути -Y-.IM-+F, 7(0) = х, 7(1) = z , с траекторией [х — j (- ) \к = 0, М}, в которой х тх к+1\ и при этом мы не будем исключать случай xSk = х к+1\ Поднимая путь /З-1 из В в Е с началами в точках хк, получим конечные точки поднятых путей (м /?_1 , удовлетворяющие следующим свойствам: Отметим, что точки у и у также можно рассматривать как конечные точки дополнительных поднятий пути (3 1 с началами в х = х и в х = х м\ Итак, в слое Fbl имеем набор точек где .т -1) =х = .т(), x(M+lS = х1 = .т(м), (Vfc = -1,М+1) гс та 1). Если мы покажем, что для всех А; = — 1,М точки т/ ) и у(к+1 можно соединить толерантным путем в Fbl, то линейная связность слоя (Fbl, т) будет доказана. Для этого нам достаточно доказать следующие два свойства: (Уж Є Fb0 = F) т (х) П Fbl - линейно связно;
Гомологии нормализованных толерантных кубических сингулярных цепей различной вырожденности
В настоящей главе проведем сравнение групп гомологии толерантного пространства, построенных различными способами. Основная цель -получить наиболее удобный гомологический функтор, который станет инструментом для построения спектральных последовательностей толерантных расслоений.
Будем рассматривать категорию То, объектами которой являются толерантные пространства (X, г), состоящие из базисных множеств X и определенных на них отношений толерантности т С X х X со свойствами рефлексивности и симметричности. Морфизмами в этой категории являются отображения, сохраняющие толерантность. В этой категории имеются прямые (декартовы) произведения с покомпонентной толерантностью.
Как уже было ранее отмечено, в гомотопической теории толерантных пространств, толерантные отрезки (Im, tm), m є N, играют роль единичного отрезка. Для п Є N и га = (гаї,..., mn) Є х N толерантное пространство / п п \ {ImiLm) — [ х An,) х Ч будем называть толерантным кубом (Т ку \г=1 г=1 J бом) размера га = (гаї,..., гап). Т кубы размера га = 1 = (1,..., 1) будем называть простыми. Определение 2.1. Толерантное отображение и : (Іт ш) {Х т), где m — (mi,... ,гап) Є х N, п Є N, назовем n-мерным толерантным сингулярным кубом (ТС кубом) пространства (X, г). Если т\ = ... = тпп — 1, то ТС куб и : (iy, ty) — (X, т) назовем простым, -мерным ТС кубом пространства (X, т) будем называть любую точку в X и считать такой ТС-куб простым. Для п 0 обозначим через Qn(X) абелеву группу, свободно порожденную над Z всеми n-мерными ТС кубами пространства (Х,т), и положим Qn(X) — 0 для п 0. Элементы этой группы Qn(X) будем называть n-мерными толерантными кубическими сингулярными цепями (ТКС цепями) в (X, т). Для каждого п Є N определим граничный гомоморфизм дп Qn(X) — Qn_i(X), задаваемый на свободных образующих Обычным способом доказывается, что (V п е Z) 9n_i о ЭП = 0, что позволяет говорить о цепном комплексе {Qn(X),dn} ТКС цепей пространства (X,т). Любое толерантное отображение / : (X,т) — (У,"!?) индуцирует цепное отображение {Qn(/) : Qn{X) — Qn(Y)}n o3 которое на образующих задается формулой Цепное свойство дп о Qn(f) = Qn-i{f) дп легко следует из определения граничного гомоморфизма и предыдущей формулы. Так же очевидны свойства функториальности Следовательно, мы имеем ковариантный функтор из категории толе-раньтных пространств в категорию цепных комплексов. Теперь можно взять композицию этого функтора с гомологическим функтором. Однако пользоваться такими гомологиями неудобно по той причине, что n-мерные гомологии точки при п 0 оказываются ненулевыми. В самом деле, если возьмем одноточечное пространство (X — {х}, т) и для любого п Ов группе Qn(X) возьмем образующую :и : 1т — {х}, то для п 0 очевидно получим df-u = G W (\/г = 1,п). Следовательно дпи — О, т.е. любой ТС куб является циклом. Кроме того, границы могут быть только нулевыми, а это означает, что n-мерная группа гомологии совпадает с Qn(X) ф 0. Но определенные в п.1.2 гомологии для одноточечного пространства являются тривиальными в положительных размерностях. Поэтому, если хотим, чтобы цепной комплекс {Qn(- O) dnjn o определял гомологии, изоморфные тем, что были раньше, мы должны произвести "нормирование"этого комплекса способом, который используется в алгебраической топологии. Определение 2.2. ТС куби размерности п 0 назовем вырожденным по j-му аргументу (j = 1,п), если Обозначим через Dn(X) подгруппу в Qn(X), свободно порожденную всеми вырожденными кубами. Так как dn(Dn(X)) С Dn_i(X), то имеем цепной фактор-комплекс {Сп(Х) — Qn(X)/Dn(X),dn}n o. При этом толерантные отображения / : (X, г) — (У, tf) индуцируют цепные отображения {Cn(f) : Сп{Х) — Cn(Y)}, действующие на свободные образующие и + Dn(X), и ( Dn(X) по формуле В результате получается функтор С — {Сп} из категории толерантных пространств в категорию цепных комплексов. Комплекс {Сп(Х), дп} назовем традиционно цепным комплексом нормализованных толерантных кубических сингулярных цепей пространства (X, т). Зададимся вопросом: являются ли группы Сп(Х) свободными, и чем они порождаются. Так как эти группы являются фактор-группами Сп(Х) = Qn(X)/Dn(X), а группы Qn(X) по построению свободно порождаются ТС кубами и : x"=1/TOi —» X, то значит группы Сп(Х) должны порождаться классами (и + Dn(X)). Если и Є Dn(X) является вырожденным, то для всех таких и получаем нулевой класс (u + Dn(X)) = Dn(X) — 0 + Dn(X). Покажем, что всевозможные классы и + Dn(X), когда и пробегает все невырожденные ТС n-мерные кубы, образуют свободный базис группы Сп(Х). В самом деле, эти классы порождают Сп(Х). Убедимся в их линейной независимости над Z. От противного, пусть для некоторого набора невырожденных кубов wi,..., us Это значит, что аіиг Є Dn(X). Но группа Dn(X) свободно порождена г=1 вырожденными кубами, следовательно либо всег і,..., щ є Dn(X), либо все а\ — ... = as = 0. Таким образом, каждая из групп Сп(Х) является свободной и имеет систему свободных образующих: {и + Dn(X)\u -невырожденный куб из Qn{X)}. Это в частности означает, что всякий гомоморфизм группы Сп(Х) однозначно определен своими значениями на классах невырожденных кубов и эти значения могут быть произвольными. Полученный функтор С = {Сп} в композиции с гомологическим функтором позволяет определить функтор толерантных кубических сингулярных гомологии (ТКС гомологии), сопоставляющий каждому пространству (X, г) группу
Действие фундаментальной группы базы на группе гомологии слоя толерантного расслоения
Т.о., в случае невырожденного ТС куба v в качестве искомого ТС куба w — W(u, v) можно взять построенный ТС куб w(s — 1)ом(з)/ч = W(u, v) — w.
Теорема 3.1 доказана. Замечание. В доказательстве теоремы 3.1 выполнение шага индукции мы начинали с согласования набора ТС кубов (3.22), для чего потребовалось однократное полное двойное замедление по t последним аргументам (см.(3.30)). Затем мы выполняли ряд построений , каждое из которых сопровождалось 2-кратным полным двойным замедлением, касающихся в том числе и ТС кубов набора (3.22). Это делает излишним предварительное 1-кратное замедление и позволяет формулу (3.18) в формулировке теоремы переписать в следующем виде
Отметим, что 1-мерными пунктированными ТС кубами являются замкнутые толерантные пути, другими словами - петли с вершинами в отмеченной точке. Пусть со : {lm(w)i т(ш)) — (В, т) - толерантная петля с вершиной в точке со(0) = со(1) = Ьо- Ее можно рассматривать как толерантную гомотопию точечных отображений, и поэтому, согласно определению толерантного расслоения, имеется ш : /m(w) — Е - толерантный путь, накрывающий со, то есть р о со = со, и такой, что со(0) = XQ. Так как со - петля, то П7(1) Є р_1(о;(1)) = _1(&о) = F. В линейно связном пространстве (F, т) возьмем толерантный путь со : 1т/щ — F из cJ(0) = со(1) в ctJ(l) = XQ. Тогда толерантный путь и ш = о7 а7 является петлей в (Е,т) с вершиной в XQ. При этом петля wu накрывает продленную петлю Ші)ГП(ш)+т(Ш)- Значит для каждой петли со : Jm(w) —» В с вершиной в &о имеется натуральное число М т(со) и толерантная петля гиш : 1м — Е с вершиной в точке XQ такая, что р о іиш = соі м. Среди таких натуральных М возьмем минимальное М(ш) = min{M Є N (3 петля и)ш : Ім — Е) р о иіш = OJ M} (3.53) Очевидны свойства ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.2. Пусть со : /m(w) — (В, г) - произвольная толерантная петля с вершиной в точке &о = (0) = w(l)- Пусть v (wit1)(w),...,m(»)(t;)) F - произвольный n-мерный пунктированный ТС куб. Тогда существует пунктированный ТС куб в котором М(ш) определено в (3.53), (V j = l,n) M \v) = 2n w) (m (v) + 1)-1, 1(ш) = 2M(UJ) и, (w.4) v — вырожденный ТС куб = \ (у) — вырожденный ТС куб. Доказательство Утверждение предложения 3.2 является частным случаем теоремы 3.1, которая применяется к случаю, когдаu = WI,M(W) h(,u) = 0, а в (3.18) отсутствует последняя единица в качестве слагаемого (см.замечание после доказательства теоремы 3.1). Замечание 1) к предложению 3.2. Из предложения 3.2. и свойства (3.54) следует: т{ш) N М{ш) \ш = W N = WUliUlu). (3.56) 100 Замечание 2) к предложению 3.2. Прямое доказательство предложения 3.2 должно повторять пошаговые построения іщ в доказательстве теоремы 3.1. При этих построениях, в случаях когда Ш1 ш) \АЩ) = bk+1 =h = Wl- (ми) можно не использовать свойство накрывающей толерантной гомотопии для расслоения р. В этих случаях для построения к-\-1 -го шага можно взять построения предыдущего шага с учетом 2-кратного замедления. В результате будем иметь дополнительное свойство: Отсюда в частности следует, что а при условии (3.55) , еще, что: Замечание 3) к предложению 3.2. При прямых построениях отображения \УШ можно потребовать выполнения дополнительного свойства: Свойство (3.60) обеспечивается , если при построении Ww, после задания Wuiy), удовлетворяющего свойствам (w.l)-(w.4) предложения 3.2, ТС куб Wu(vyl) определяется формулой (3.60). Для доказательства корректности (3.60) рассмотрим случай vyl = vNl. Пусть для определенности V I. Тогда v — v v(l 1\ Применим (3.60):