Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМИ. В диссертации рассматривается задача построения аналога теории Галуа.для дедекиндовых структур и его применение к псследован.'зо подгрупп линейных групп.
Классическая теория Галуа устанавливает соответствие между подгруппами груши автоморфизмов расширения полей и промежуточными полями. Наличие этого соответствия позволяет многие вопроси теории полей сводить к теоретико-групповым вопросам и решать их. Так, вопрос об условиях разрешимости уравнения в радикалах удалось решить только при помощи группы Гатуа расширения.
Естественной поэтому является попытка установить аналогичное соответствие в других:' ситуациях. Хорошо известны не только такие классические соответствия Галуа, как теория Галуа бесконечных расширений, теория двойственности Понтрягина, соответствие между накрытиями топологического пространства и подгруппами его фундаментальной группы и другие, но и теория Галуа для различных классов колец, теория Галуа для пучков множеств.
Однако не всегда удается построить хорошую теори»'Галуа для всех подобъектов данного объекта и всех подгрупп его группы автоморфизмов. Иногда приходится прибегать к установлению соответствия между малыми частям: - решетки подобъектов и решетки подгрупп. Подобная теория Галуа может помочь либо в исследовании подобъектов, либо в исследовании подгрупп группы,автоморфизмов. Такая постановка не 'является искусственной: она встречается, например, при описании подполей расширения поля, не являющегося нормальным расширением. Теория Галуа расширений полей, не являющихся нормальными, разрабатывалось, например, М.Краснером, и им же была предложена абстрактная теория Галуа, во многом похожая на описанную ситуацию.
Разумеется, поиски аналогов теории Галуа нельзя считать завершенными, и поэтому построение теории Галуа для структур явля- ется актуальной задачей.
ЦЕЛЬ РАБОТА. Целью работы является построение аналога теории Галуа для дедекиндовых структур, т.е. установление соответствия между подструктурами дедекиндовых структур и подгруппами их групп автоморфизмов, а также его применение к исследовании подгрупп линейных групп.
ЖГОДЛіхА ЛССЛЕ,Ц0ЛА1Ш, 3 работе использованы методы и рз-эуль--
таты из теории структур и теории групп.
'НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми. Из них отметим следующие:
-
Для трех классов дедекиндовых структур, а именно, для структур длины 2,'для структур длины 3, тлеющих специальный вид, и для дедекиндовых структур конечной длины построен ана- ' лог теории Галуа.
-
В терминах структур получено описание подгрупп полной линейной группы над полем, содержащих группу диагональных матриц. Показано, как из этого описания следует известный результат 3. И. Боревича.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в теории структур и в теории групп, в частности, при изучении подгрупп групп автоморфизмов структур.
АПРОБАЦ/И РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на совместном семинаре лаборатории алгебраических методов'Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАН"и кафедры высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета, а также на XVIII Всесоюзной алгебраической конференции (Кишинев, 1985 ) и на II Междуиа- " родной конференции по алгебре памяти А.И.Ширшова (Баргаул, 1991) .
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликованы Ь работ: [і] -
ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и трех глав и занимает 73 страницы машинописного тенета. Библиография содержит 28 наименований.