Введение к работе
Актуальность темы. Булевы алгебры являются одним из фундаментальнейших объектов современной математики. Точно также, как действительные числа являются математической формализацией количества, булевы алгебры являются формализацией меры истинности. Булевы алгебры исследуются и применяются во многих областяі математики — в алгебре и математической логике, в функциональном анализе, кибернетике и др. Большой материал, накопленный к настоящему времени в исследованиях булевых алгебр представлен в трехтомной справочной книге по булевьш алгебрам [23]. Там же содержится обширная библиография. Результаты по булевым алгебрам и их использованию в математической логике содержатся в монографиях [5,12,13, 21, 22, 24].
При исследовании алгебраических систем большое значение имеет изучение их теоретико-модельных свойств. В частности, представляет особый интерес исследование таких свойств как w-категоричность и конечная аксиоматизируемость елементарних теорий, характеризация однородных, универсальных, простых и счетно-насыщенных моделей. Важно также изучение алгоритмических свойств алгебраических систем — разрешимости елементарних теорий, конструктивизи-руемости и сильной конструктивизируемости моделей.
Исследование теоретико-модельных свойств булевых алгебр начато в работах А.Тарского [32] и Ю.Л.Бршова [9]. Ю.Л.Ершов [9] положил начало исследованию теоретико-модельных свойств булевых алгебр с выделенными идеалами.
В дальнейшем булевы алгебры и их обогащения пшроко исследовались многими авторами [1-4, 6-8,10,11,14-20, 24-31, 33-67].
Большое внимание исследователей привлекают различные обогащения булевых алгебр — булевы алгебры с выделенными идеалами, (которые, в дальнейшем мы будем для краткости называть /-алгебрами) [15, 25, 27, 30, 33-37, 40-62, 64-67] булевы алгебры с выделенными подалгебрами и автоморфизмами [6-8,14, 26, 31, 39, 63], элементарные теории булевых алгебр в различных вариантах логики второго порядка [18, 20,29, 38].
В [9] Ю.Л.Ершовым и в [32] А.Тарским приведена елементарная классификация булевых алгебр.
М.Рубия [31] показал неразрешимость теории класса булевых алгебр с одной выделенной подалгеброй. Элементарные теории булевых алгебр с выделенными подалгебрами изучались в [6, 7, 26, 63]. В [14] показана неразрешимость теории булевых алгебр с выделенным автоморфизмом.
Большой интерес представляют исследования теорий булевых алгебр в языках с обобщенными кванторами (см., например, [20, 24, 29, 38]).
В [9, 15, 30, 41, 46] исследовалась разрешимость теорий булевых алгебр с выделенными идеалами. В частности, Ю.Л.Ершовым [9] показана разрешимость элементарной теории /-алгебры (8, /) при одном из следующих условий:
(a) 8J1 конечна; (б) В атомна и существует ssp{z | г 6 /}.
В [9] доказана также разрешимость класса алгебр, обладающих свойством (б).
М.Рабином [30] установлена разрешимость теории класса /-алгебр. А.С.Морозов [15] привел примеры булевых алгебр с одним выделенным идеалом и неразрешимой влементаряой теорией для любой ненулевой первой характеристики Ершова — Тарского. В [41] показано, что в булевой алгебре можно выделить идеал с неразрешимой алеменгаряой теорией тогда и только тогда, когда она не
является сулератомяой, В [46] дан критерий разрешимости элементарных теорий /-алгебр.
В [25, 27, 33-37, 40-62, 64-67] изучались теоретико-модельные свойства /-алгебр. В [27, 42, 57] описаны счетно категоричные /-алгебры, а в [45, 46] — конечно аксиоматизируемые /-алгебры. В [25, 40, 41] показано, что существует континуум елементарно неэквивалентных /-алгебр. В [25, 41] охарактеризованы как несуператомные счетные булевы алгебры, имеющие континуум елементарно невквивалентных обогащений выделенным идеалом. Автором [45, 46] и А.Тураем [33,34] получены критерии элементарной эквивалентности /-алгебр. А.Турай [33, 34] предложил обогащение языка /-алгебр, допускающее элиминацию кванторов. Автором [43, 47, 49, 52, 53, 58, 59, 67] изучались простые и счетно насыщенные /-алгебры.
Результаты, полученные при исследовании /-алгебр, применяются также для изучения более широкого класса алгебраических систем — псевдобулевых алгебр.
Цель работы. Диссертация посвящена исследованию теоретико-модельных свойств булевых алгебр с выделенными идеалами. Изучаются конечно аксиоматизируемые и счетно-категоричные /-алгебры; исследуется проблема существования простых и счетно-насыщенных моделей у элементарных теорий /-алгебр. Описана алгебра Линденбаума—Тарского класса /-алгебр.
Общая методика исследования. Результаты по элементарным теориям булевых алгебр с выделенными идеалами можно условно разделить на две группы. В [25, 27,33-37], начиная с А.Макинтаира и Д.Роэенштейна, булевы алгебры с выделенными идеалами изучаются на основе исследования псевдобулевой алгебры идеалов булевой алгебры и ее подалгебры формульно определимых идеалов; ббльшая часть результатов сформулирована на языке псевдобулевых алгебр
формульных идеалов. Одной из основных сложностей втого подхода является то обстоятельство, что пока не получено описание елементарних теорий псевдобулевых алгебр.
В работах автора диссертации [40-62, 64-67] при исследовании булевых алгебр с выделенными идеалами используются только понятия теории булевых алгебр, /-алгебры изучаются начиная с элементарных: двухэлементной булевой алгебры, единица которой принадлежит (не принадлежит) идеалу; безатомной булевой алгебры, которая не содержит ненулевых элементов, принадлежащих идеалу и т.д. Для построения более сложных /-алгебр введены конструкции и-смешивания и ij-смешивакия [41, 42, 57]. В втих конструкциях обобщается идея построения булевых алгебр по линейным порядкам. Одновременно приведены формулы, описывающие простейшие /-алгебры, а также конструкции над этими формулами, позволяющие описать и-смепшвание и ^смешивание /-алгебр. Таким образом автором были построены последовательность формул Vn и характеристика /-алгебр г, при помощи которых получены критерии элементарной эквивалентности /-алгебр и разрешимости их элементарных теорий [42, 44-46, 57]. Эти конструкции и критерии являются основным инструментом исследования булевых алгебр в настоящей диссертации.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
В диссертации получены следующие основные результаты:
1) Доказано, что елементарная теория любой суператомной булевой алгебры с выделеннным идеалом имеет счетно-насыщенную модель. Показано, что для любой характеристики J-алгебры существует простая модель с данной характеристикой. Приведен пример булевой алгебры с выделенными идеалами, теория которой не имеет простой модели. Доказано, что у каждой счетной несуператом-
ной булевой алгебры существует континуум обогащений одним идеалом, теории которых имеют счетно-насыщенную модель; континуум обогащений, теории которых имеют простую, но не имеют счетно-насыщенной модели и континуум обогащений, теории которых не имеют простой модели.
2) Дано описание локальности, конечной аксиоматизируемости и w-ка-тегоричности булевых алгебр с выделенными идеалами на языке элементарной эквивалентности и прямых разложений.
J) Дано описание алгебры Линденбаума-Тарского класса булевых алгебр с выделенными идеалами, /-алгебры, конечно аксиоматизируемые относительно фильтров Фреше данной алгебры, охарактеризованы на языке премых разложений и элементарной эквивалентности.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении специ-альных курсов и при подготовке монографий. Они могут применяться в исследованиях по теории моделей, теории булевых и псевдобулевых алгебр.
Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации были
представлены автором в пленарных докладах на К (Ленинград, 1988), X (Алма-Ата, 1990), XI (Казань, 1992) Всесоюзных конференциях по математической логике, в лекциях автора в университете Влез Паскаль (Кяермон-Ферран, Франция, 1991), в Международном Банаховском центре (Варшава, Пальша, 1991), в университете г.Иннсбрука (Австрия, 1992).
Результаты диссертации излагались автором в докладах на УШ (Москва, 1987) и К (Упсала, Швеция, 1991) конгрессах по логике, методологии и философии науки, Логических Коллоквиумах в Хельсинки (1990) и Клермон-Ферране
(Франция, 1994), международной алгебраической конференции (Новосибирск, 1989), международной конференции "Клини-90" (Варна, Болгария, 1990), Советско-французском коллоквиуме по теории моделей (Караганда, 1991), УШ Всесоюзной конференции по математической логике (Москва, 1986), XIX Всесоюзной алгебраической конференции (Львов, 1987), ЕС (Харьков, 1986) и X (Минск, 1990) Всесоюзных совещаниях по логике, методологии и философии науки, в лекциях на Всесоюзных школах по прикладной логике в Орджоникидзе (1987) и Владивостоке (1988).
Автор докладывал результаты диссертации на семинарах "Алгебра и логика", "Теория моделей", "Конструктивные модели", "Прикладная логика", "Булевы и гейтинговы алгебры", "Неклассические логики" Новосибирского университета, на научных семинарах Омского и Уральского университетов.
Часть результатов диссертации вошла в материал спецкурса "Булевы алгебры", прочитанного автором в 1991-1993 гг. в Новосибирском государственном университете.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в [47- 56, 58- 67 ].
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 229 страницах. Она состоит из введения и трех глав, разбитых на 18 параграфов. Во введении приведен обзор результатов диссертации, в первой главе исследуются простые и счетно-насыщенные модели, а во второй главе счетко-категоричные и конечно-аксиоматизируемые модели теории /-алгебр. В третьей главе изучается алгебра Линденбаума—Тарского класса булевых алгебр с выделенными идеалами. Библиография содержит 83 наименования, включая работы автора по теме диссертации.