Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению основных теоретико-модельных проблем для модулей, полилинейных отображений, конечномерных алгебр и унилотентных груші.
Упор сделан на проблемы: построения систем аксиом полных теорий; элементарной классификации; описание систем с разрешимой элементарной теорией; алгебраической характериза-нии систем, теория которых со - стабильна, ^0.- категорична или тлеет конечный ранг Морли. Выбор этих проблем обусловлен двумя причинами. С одной стороны, именно данные проблемы привлекали и привлекают до сих пор наибольшее внимание специалистов по теоретико-модельной алгебре, а с другой - эти задачи достаточно разноплановы, что позволяет продемонстрировать эффективность предложенной техники.
Кратко о полученных результатах мояно сказать, что все указанные выше задачи в данных классах допускают удовлетворительное решение при естественных ограничениях на исследуемые объекты. Для первых трех проблем требуется наложить условие конечномерности, а для изучения вопросов теории стабильности достаточно потребовать отсутствие кручения ( т.е. характерис-. тику нуль).
Изучение теоретико-модельных проблем алгебры началось практически одновременно с развитием абстрактной теории моделей. До сих пор эти направления взаимосвязаны и сильно влияют друг на друга. В этом содружестве алгебра-часто выступает своеобразным полигоном и источником новых идей и методов общей теории моделей. С другой стороны, изучение алгебраических объектов с логической точки зрения оказалось очень полезным и для самой алгебры: значительно распшрился круг идей и понятий, возникли новые интересные направления исследований, с помощью логических методов были решены некоторые старые чисто алгебраические задачи.
Первоначально внимание специалистов привлекли ставшие теперь классическими проблемы элементарной классификации алгебраических систем из данного класса УС и алгоритмической разрешимости теории Т-і Ж
или конечного ранга Морлн групп я колец, помило всего проче
го, вызван таюке и тем обстоятельством, что эта понятия :із
теории стабильности являются в некотором смысле обооцекияга
известных алгебраических понятий. Так, например, стабиль
ность кольца влечет условие иинпглалькостп для левых (или
правых) идеалоз. л, как было показано з работах ["13 , 39,
40 , **5 7 . глогло результаті: класснческс.'і теории 2ед-дерберяа-Артпна перекосятся на стаб;шьнне кольца. Условие конечности ранга ?.'орлн - зто хер;^зе об сбое кис понятая размерности из алгебраической гзометв::;' ( см., например, Е3.с}
С 23 1 ) .
Цель работа.Создать единые обпде методы теоретихо-цо-дзльного изучения ;,:одулеЗ ( з двусортнеп языке), полилинейных отсбра.»,е:с-іЗ, а~геср н клльпотенткых групп, удевлетзорязь екх некстор!2.і естественном уелсеням конечномерности. На основе ргзьитнх г/етодэз .для указанных в ідеє объектов описать их элементарные ;жї?рлактн, построить спстены аденом полных теорий, дать чО.~~Л ^„лте-гл разрзілт.'остл этил теорий, а в слу-даэ характери стики нуль (глл отсутствия кручения)-чисто алгебраически сзараг.тэряповать об.^кты, теорія которых <~-\-категорична или имеет конечный ранг Морли.
Общая методика нссле/овакия. В основе , предложенной схеглы исследования легнт прямой метод, восходящий к работам [ М1
57 ] . Суть qvo состоит з следующем. При изучении элементарной теорти системы ОЬ сначала указывается некоторая совокупность алгебраических инвариантов 1^~ [ i(0^)lu-lj этой системы, затем показывается, что каздый инвариант 1(01) полностью описывается некоторым множеством предложений языка системи ОЪ , после чего, обычно в качестве следствия, решаются конкретные теоретико-модельные задачи. Принципиальным моментом является удачный выбор самого множества инвариантов Тд^ (если вообще таковой возможен). Технически наиболее трудное дело - это характеризация выбранных инвариантов формулами, ключевую роль здесь играет метод интерпретаций, и особенно техника регулярной интерпретации, предложенная аз-тором з главе I.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и обоснованы строгими доказательствами. Нозшл
представляется само изучение основных теоретико-модельных проблем для двусортшх модулей и полилинейных отображений, а такке рассмотрение с единой точки зрения логических вопросов для произвольных конечномерных алгебр ( степенных нильпотент-ных групд). Кроме того, заслуживает внимание и метод регулярной интерпретации, активно используемый в работе.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты и методы могут найти применение как в алгебре, так и в теории моделей. Полученные результаты дают решение основных теоретико-модельных проблем как для новых интересных классов алгебраических систем (дву-сортные модули, полилинейные отображения), так и обобщают ряд ранее известных теорем для конечномерных алгебр и нильпо-тентных групп.
Апробация. Результаты работы докладывались в разное время на алгебраических и логических семинарах ИГУ, НГУ, УрГУ, ОмГУ, ЛОМИ, ИМСО РАН, на Всесоюзных алгебраических конференциях (1983, 1985, IS87) .Всесоюзных симпозиумах по теории групп (1982, 1984, 1986), Всесоюзных конференциях по математической логике (1984, 1906, 1988, 1990), Международных конференциях по алгебре (Новосибирск 1989, Барнаул 1991) и теории моделей (Берлин 1990, Караганда 1990).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2.&-36].
Структура диссертации, диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Названия глав следующие: "Интерпретация", "Теория моделей модулей в двусортном языке", "Теория моделей полилинейных отображений", "Теория моделей алгебр и унипотентных групп". Объем работы 34о страниц, список литературы включает 95" наименований.