Введение к работе
Актуальность темы
Задача классификации чисто-инъективных (в другой терминологии — алгебраически компактных) модулей яаіяется классической и восходит к работе Капланского ', в которой он описал алгебраически компактные абелевы группы. Этот результат определил устойчивый интерес, к проблеме исследования свойства алгебраической компактности для модулей. Тем не менее довольно долго он оставался обособленным в рамках теории абе-левых групп и не имел развития в общей теории модулей.
Положение существенно изменилось, когда одновременно появились книга А. П. Мишиной и Л. А. Окорнякова2, где развивался гомологический подход к исследованию тесно связанного с алгебраической компактностью понятия чистоты в категории модулей, и статья Уорфилда 3, в которой было дано определение алгебраически компактного модуля над произвольным кольцом и доказана эквивалентность топологического и алгебраического определений агебраической компактности для модулей.
Эти две работы являются рубежными — после них собственно и произошел отход от чистой теории абелевых групп и началось исследование алгебраической компактности для модулей в общей постановке. Алгебраически компактные модула могут быть определены как модули инъективные относительно специального класса вложений модулей, которые называются чистыми (по Кону). Поэтому алгебраически компактные модули часто называют чисто-инъективными.
Отметим существенное продвижение Марубаяши 4 в классификации чисто-инъективных модулей над ограниченными дедекиндовыми первичными кольцами — которая по духу и используемой технике близка к описанию Капланского для случая абелевых групп.
Достаточно важным явился цикл работ Циммерманна 5, 6 и Циммерманн-Хуисген 7, в которых введено понятие матричной подгруппы. Это дало наглядную интерпретацию
'Kaplansky I. Infinite abeliari groups.— Ann. Arbor, Michigan. — 1954.
'Мишина А. П., Скорняков Л. А. Абелоны группы и модули. — М.: Наука. — 1969.
3Warneld R. В. Purity and algebraic compactness for modules. — Pacif. J. Math. — 1969.
— v. 28. — P. 699-719. .
''Marubayashi H. Modules over Dedekind prime rings. II. — Osaka J. Math. —1972. — v. 9, N 3. — P. 427-445.
''Zimmermann W. Rein injektive direkte Summer) von Moduln. — Comm. Algebra. — 1977.
— v. 5, N 10. — P. 1083-1117.
"Zimmermann W. (E)-algebraic compactness of rings. — J. Pure Appl. Algebra. — 1982.
— v. 23, N3. - P. .119-328.
'Zimmermann-Huisgen В., Zimmermann W. Algebraically compact rings and modules. — Math. Z. — 1978. — v. 161. — P. 81-93.
некоторых категорных понятий на "элементном" уровне. В частности, были получен общие теоремы локальности кольца эндоморфизмов произвольного неразложимого чио-то-инъективного модуля и разложимости произвольного Е-чисто-инъективного модуля в,прямую сумму неразложимых.
Силу и универсальность алгебраического (категорного) подхода к изучению алгебраически компактных модулей показал А. И. Генералов в цикле работ 8, 9, 10, ". В частности, ему удалось получить описание всех чистот над конечномерной ручной наследственной алгеброй и полуцепным нетеровым кольцом. Это позволило во многом прояснить структуру чисто-инъективных модулей над перечисленными классами колец вплоть до полной классификации.
Параллельно с алгебраическим развитием теории чисто-инъективных модулей возникает интерес к этому понятию, идущий из логики и теории моделей. Шмелева 12 прямой элиминацией кванторов доказала разрешимость теории абелевых групп. Но только позднее Эклоф и Фишер 13 фактически построили теорию моделей для абелевых групп и смогли продвинуться несколько дальше. В частности, расширяя результат Капланского, они описали чисто-инъективные модули над коммутативными дедекиндовыми областями и показали, как теория моделей может быть использована для изучения вопросов разрешимости в этом случае. Применяемая при этом техника казалась все же довольно громоздкой и практически не оставляла шансов на успех в случае достаточно произвольного кольца.
Каравалья u, 15 использовал теоретико-модельный вариант понятия матричной подгруппы Циммерманна и передоказал ряд его теорем. Матричные подгруппы определя-
8Генералов А. И. Собственные классы коротких точных последовательностей над Неверовыми полуцепными кольцами. В кн.: Пред. теор. теор. вер. Вып. 1. Ленинград: 1986.
— С. 87-102.
9Генералов А. И. Индуктивно замкнутые собственные классы над ограниченными hnp-кольцами. — Алгебра и логика. — 1986. — т. 25, N 4. — С. 384-404.
"Генералов А. И. Алгебраически компактные модули над ограниченными дедекиндовыми первичными кольцами. -—Деп. ред. Сиб. матем. ж. в ВИНИТИ. — 12.09.89. — N 5805-В89.
"Генералов А.И. Алгебраически компактные модули и относительная гомологичегкая алгебра над ручными наследственными алгебрами. — Алгебра и логика. — 1991. — т. 30, N 3. - С. 259-292.
uSzmielev W. Elementary properties of abelian groups. — Fund. Math. — 1955. — v. 41.
— P. 20:5-271.
uEk!of P., Fisher E. The elementary theory of abelian groups. — Ann. Math. Logic. — 1972.
— v. 4, N 1. — P. 115-171.
HGaravaglia S. Direct product decomposition of theories of modules. — J. Syrob. Logic. — 1979. — v. 44, N 1. — P. 77-86.
15Garavaglia S. Decomposition of totally transcendental modules. — J. Symb. Logic. — 1980.
— v. 45, N 1.- P. 155-164.
ю'гся позитивно-примитивными формулами и поэтому получили более употребимое сейчас название позитивно-примитивных подгрупп.
Активное внедрение теоретико-модельных методов в теорию модулей началось после доказательства Монком 16 теоремы о пп-элиминации кванторов для теории всех модулей над кольцом — любая формула в теории модулей эквивалентна булевой комбинации специального вида предложений и позитивно-примитивных формул. Роль этой теоремы трудно переоценить. Именно после нее многие теоретико-модельные понятия получили алгебраическое звучание.
Ключевая роль чисто-инъективных модулей (особенно неразложимых) в теории моделей для модулей была осознана после пионерской работы Циглера17. Он ввел понятие спектра (Циглера) как топологического пространства на множестве неразложимых чисто-инъективных модулей и показал, что изучение этого пространства является определяющим 8 решении множества вопросов, например, вопроса о разрешимости теории модулей над фиксированным кольцом. Он же фактически создал синтаксический подход к исследованию чистр-инъективных модулей, заменив изучение самих модулей изучением пп-тнпов, то есть множеств позитивно-примитивных формул.
В частности, Циглер полностью описал неразложимые чисто-инъективные модули над коммутативными областями нормирования и показал, что любой неразложимый чисто-инъективный модуль над коммутативным кольцом локализуется — то есть естественным образом становится чисто-инъективным модулем над некоторой локализацией основного кольца по простому идеалу. Последнее означает, что описание неразложимых чисто-инъективных модулей над коммутативным кольцом редуцируется к локальному случаю.
Чисто алгебраический подход к изучению чисто-инъективных модулей над коммутативной областью нормирования применили Фукс и Сальче18. В частности, они дали простую геометрическую интерпретацию классификации Циглера неразложимых чисто-инъективных модулей над коммутативной областью нормирования и получили некоторые продвижения в общем (не обязательно неразложимом) случае.
Любопытную категорную технику использовал Факкини19 для описания чисто-инъективных модулей над коммутативными кольцами нормирования (возможно, с делителями нуля). Он получил теорему представления для неразложимых чисто-инъективных модулей в этом случае.
leMonk I. Elementary-recursive decision procedures. — Doctoral thesis. — Berkley. — 1975.
17Ziegler M. Model theory of modules. — Ann. Pure Appl. Math. — 1984. — v. 26, N 2. — P. 149-213.
'"Kurhs L., Salce L. Modules over valuation domains. — Lect. Notes Pure Appl. Math. — 1985. - v. 97.
14Facrhini A. Relative injectivity and pure-injective modules over Prufer rings. — J. Algebra. 1987. — v. 110, N 2. — P. 380-406.
Наконец, фундаментальная книга Престаго собрала все, или почти все, что было известно о чисто-инъективных модулях на момент ее выхода. Важным новым понятием, используемым в ней, явилось понятие свободной реализации пп-фор.мулы .
Недавно, вышла статья Эклофа и Херцога21, где они, используя теоретико-модельные методы, существенно продвинулись в изучении неразложимых чисто-инъективных модулей над произвольным полуцепным кольцом.
Таким образом, изучение чисто-инъективных модулей яаадется сейчас интенсивно развивающимся направлением, находящимся на стыке теории моделей и теории колец и модулей. '
Цель работы
Целью работы является развитие теоретико-модельного подхода к исследованию чисто-инъективных модулей, чистот в категории модулей, а также колец, определяемых этими чистотами. В сравнение с предшествующими работами, использующими теорию моделей в теории колец и модулей, предложенная в диссертации техника позволяет существенно задействовать аппарат теории колец и теории категорий и получить результаты в максимальной- общности для некоммутативных колец. С другой стороны, используемые в работе методы привносят теоретико-модельную интуицию в стандартные методы теории колец и модулей. При этом некоторые достаточно сложные теоретико-кольцевые вопросы получают прозрачные формулировки на языке теории моделей, что открывает возможность их эффективного исследования.
Структура и объем диссертации