Введение к работе
Актуальность темы. Традиционно теоретико-групповые методы применяются для изучения комбинаторных объектов — здесь уместно упомянуть теорию графов, комбинаторную топологию. Обширные исследования связаны с различными классами графов на поверхностях, часто называемых картами, эскизами или детскими рисунками. В настоящей работе развивается теоретико-групповой подход к изучению плоских деревьев — частного случая детских рисунков.
В работе Александра Гротендика "Esquisse d'un programme", написанной в 1984 г. (опубликованной лишь в 1997г. в 2', указано вытекающее из теоремы Г.В. Белого соответствие между комбинаторными объектами — детскими рисунками — и арифметико-алгебраическими — парами Белого (Х,/3), где X — алгебраическая кривая над Q, /? — непостоянная рациональная функция на ней с не более чем 3 критическими значениями. Идеи Гротендика, высказанные в "Esquise d'un programme", положили начало новому направлению исследований, иногда называемому "программой Гротендика". С современным состоянием предмета можно ознакомиться по сборникам !' и 2'.
В настоящей диссертации рассматриваются некоторые аспекты вышеупомянутого соответсвия Гротендика, а именно сопоставление связного одноклеточного детского рисунка на С (плоского дерева) и полинома Ша-бата — многочлена из C[z] с не более чем двумя критическими значениями.
Один из способов описать детский рисунок — задать на нем действие картографической группы. В настоящей работе такой подход применяется к плоским деревьям — они рассматриваются как конечные множества (ребер) с заданным действием универсальной группы вращений ребер П ~ Z * Z.
Изучается круг вопросов, связанный с группой вращений ребер плоских деревьев. С одной стороны, группа вращений ребер представляет самостоятельный интерес: например, получены реализации групп Матье
'The Grothendicck Theory of Dessins d'Enfants (ed. L.Schneps) // London Math. Soc. Lecture Notes Series, 200 (1994).
'Geometric Galois Action IJI(eds. L.Schneps, P.Lochak) // London Math. Soc. Lecture Notes Series, 242, 243 (1997).
Мп.Мгз как групп вращений ребер. С другой, группа вращений ребер играет вспомогательную роль в геометрической теории Галуа, поскольку она является одним из инвариантом действия группы Галуа на детских рисунках (в частности, плоских деревьях).
В ряде случаев именно группа вращений ребер позволяет разделять орбиты Галуа. Так, для выделенных четырех деревьев с группой вращения ребер, изоморфной группе Матье Мгз, Ю. В. Матиясевич вычислил полиномы Шабата, определенные над биквадратичным расширением Q.
Цель работы:
Изучить соответствие Гротендика между одноклеточными детскими рисунками на сфере - плоскими деревьями и полиномами Шабата.
Исследовать группы вращений ребер плоских деревьев, в частности, импримитивные группы вращений ребер, группы вращений ребер композиции плоских деревьев.
Основные методы исследования. Используются различные методы и результаты теории групп и их представлений, теории графов, теории римановых поверхностей.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них:
Построение трех эквивалентных категорий плоских деревьев. (Теоерема 1.37 стр. 22)
Построение деревьев с группой вращений ребер М2з и PSL5(2). (Теорема 2.16 стр. 31)
Результаты о группе вращений ребер плоских двукрашенных деревьев с нетривиальной группой автоморфизмов.
(Теорема и следствия 3.29 -3.33 стр. 48-52)
Применение классических результатов Ритта о разложимых полино
мах к задаче определения порядка группы вращений ребер компози
ции плоских двукрашенных деревьев.
(Теорема 3.43 стр.60)
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в некоторых задачах теории графов и геометрической теории Галуа.
Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на семинаре Г.Б.Шабата "Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями", на семинаре кафедры Высшей алгебры механико-математического факультета МГУ.
Публикации. Основные результаты опубликованы в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, приложения и списка литературы. Основные результаты опубликованы в четырех работах. Полный объем диссертации — 76 страниц, библиография включает 41 наименование.