Содержание к диссертации
Введение
1 Свойства экстремальных многообразий 40
1 Лемма Лввова и ее приложения 40
2 Многообразия, удовлетворяющие свойству Z 44
3 Экстремалвноств многообразий колец и аддитивное кручение 58
2 Свойства производных полугрупп 60
4 Почти перестановочные многообразия алгебр над бесконечнвім полем 60
4.1 Вспомогателвнвіе резулвтатві 60
4.2 Доказателвство теоремві 4.1: необходимоств 64
4.3 Доказателвство теоремві 4.1: достаточноств 68
4.4 Доказателвство теоремві 4.1. Следствия 76
5 Почти перестановочнвіе многообразия, не порождаемвіе конечной алгеброй 77
5.1 Однороднвіе почти перестановочнвіе многообразия 77
5.2 Неоднороднвіе почти перестановочнвіе многообразия 79
5.3 Неоднороднвіе почти перестановочнвіе многообразия: случай конечного поля 82
5.4 Доказателвство теоремві 5.1 90
6 Кроссовві почти перестановочнвіе
многообразия алгебр над конечнвім полем 98
7 Почти перестановочнвіе многообразия колец 103
8 Полугрупповвіе тождества многообразий
алгебр над конечнвім полем 110
8.1 Многообразия с полугрупповвіми тождествами специалвного вида 111
8.2 Многообразия с "првігающими степенями" 116
8.3 Доказателвство теорем
8.1-8.3 129 Полугрупповые тождества многообразий колец 130
10 Присоединенная регулярность кольца матриц 143
3 Тождества ассоциированной алгебры Ли 149
11 Почти энгелевы многообразия 149
11.1 Элементарные свойства почти энгелевых многообразий 149
11.2 Доказательство теорем 11.1, 11.2 и 11.3 150
11.3 Некоторые следствия 157
12 Почти лиево нильпотентные многообразия 159
12.1 Алгебры над произвольным коммутативным
кольцом операторов 159
12.2 Алгебры над полем положительной характеристики 164
12.3 Кольца. Следствие 168
13 Почти разрешимые многообразия 170
4 Примеры некоторых классов
алгебр и колец 175
14 Псевдомногообразия 175
14.1 О неявных операциях 175
14.2 Базисы псевдотождеств некоторых псевдомногообразий 177
15 Базисы тождеств и порождающие алгебры некоторых
многообразий 181
Литература
- Экстремалвноств многообразий колец и аддитивное кручение
- Доказателвство теоремві 4.1: достаточноств
- Неоднороднвіе почти перестановочнвіе многообразия: случай конечного поля
- Алгебры над полем положительной характеристики
Введение к работе
Актуальность темы. Исследованию связей между эквациональными свойствами универсальной алгебры и эквациональными свойствами ее производных объектов посвящено множество работ, составляющих одно из традиционных направлений теории многообразий. К наиболее естественным и изучаемым производным объектам в случае ассоциативных колец относятся ассоциированное кольцо Ли и две полугруппы, мультипликативная и присоединенная. Тождества производного объекта, будь то одна из указанных полугрупп или ассоциированное кольцо Ли, являются тождествами исходного кольца специального вида: в случае полугрупп
равенствами вида и = v, где и и v суть различные слова, записанные с помощью сигнатурного умножения рассматриваемой полугруппы, в случае кольца Ли
равенствами вида / = 0, где / есть многочлен, записанный с помощью обычного сложения исходного ассоциативного кольца и коммутирования [х, у] = ху — ух. К числу последних и активно изучаемых относятся, например, тождества энгеле-вости, лиевой нильпотентности, разрешимости, а в случае полугрупп — тождества перестановочности и некоторые другие известные полугрупповые тождества. Таким образом, изучение эквациональных свойств ассоциативных колец, у которых один из указанных производных объектов обладает некоторым тождеством, — хорошо известная и актуальная задача теории многообразий. Отметим, что современная теоретическая алгебра наряду с вопросом, что изучать, выдвигает на первый план и вопрос, как именно проводить изучение. Во многом это вызвано возросшим с конца прошлого века влиянием алгоритмического подхода (см., например, известные обзоры [3,4,34]), который заставляет интересоваться не только описаниями изучаемого свойства, но и возможностью эффективно проверять, удовлетворяет ли произвольное многообразие этому свойству. Одним из наиболее удобных в этом плане типов описаний является индикаторная характеризация [28, 0], т. е. утверждение следующего вида:
Многообразие обладает свойством в тогда и только тогда, когда не содержит ни одной из алгебр А\, Аг,...
Понятно, что нас интересуют только нетривиальные описания подобного сорта, в которых, например, ни одна из “запрещенных” алгебр Ai,A2,... не может быть отброшена или заменена алгеброй меньшей мощности. Подобные характеризации будем называть минимальными. Предположим, что для свойства в найдена такая индикаторная характеризация. В этом случае убедиться, что многообразие, заданное конечным набором тождеств Е, удовлетворяет свойству в, достаточно легко: нужно проверить, что ни одна алгебра Аі,Аг,... не удовлетворяет системе тождеств Е. Как правило, такая проверка может быть выполнена эффективно.
Одна из наиболее естественных стратегий, приводящая к появлению индикаторных характеризаций, связана с поиском почти 9-многообразий. Многообразие V будем называть почти ^-многообразием, если оно само не удовлетворяет свойству в, в то время как любое его собственное подмногообразие этим свойством обладает. Другими словами, такие многообразия суть в точности минимальные (относительно включения) элементы в множестве не-0-многообразий. Пусть свойство в таково, что все подмногообразия любого ^-многообразия также ^-многообразия. Тогда решетку всех многообразий можно изобразить следующим образом:
не--многообразия
,, YES ^У #-многообразия
почти (/-многообразия \ / .
\У
Предположим, изучаемое свойство в задается тождествами, т.е. указано семейство таких многочленов {fig}, S , что многообразие V удовлетворяет свойству в в том и только в том случае, когда для некоторого <5 равенство hg = 0 есть тождество многообразия V. Тогда полурешетка NO удовлетворяет лемме Цорна вниз, а значит, каждое не-0-многообразие содержит почти ^-многообразие. В этой ситуации наше свойство обладает индикаторной характеризацией: достаточно в качестве запрещенных алгебр взять порождающие алгебры почти ^-многообразий. Легко видеть, что такая характеризация будет минимальной. Нетрудно убедиться и в обратном: если А\, Аг,... — запрещенные алгебры из минимального индикаторного описания, то многообразия var Ai, var А2,... и только они, являются почти ^-многообразиями. В настоящей диссертации индикаторный подход применяется к тем свойствам многообразий ассоциативных колец и алгебр, которые задаются на языке тождеств производных объектов. Помимо указанной связки актуальной тематики (свойства, задаваемые в терминах производных объектов) и эффективного метода изучения (поиск индикаторных характеризаций) стоит выделить еще одну важную для теории многообразий алгебр составляющую — выбор кольца операторов, над которым рассматриваются изучаемые алгебры. Здесь традиционно возникают три естественных случая: алгебр над полем нулевой характеристики, алгебр над бесконечным полем положительной характеристики и случай алгебр над конечным полем. Ответы, найденные в указанных ситуациях, как правило, позволяют разрешить проблему для многообразий колец и даже для многообразий алгебр над произвольным разумно устроенным коммутативным кольцом операторов (например, над кольцом Джекобсона). Наиболее отточенная техника, плодотворно использующая, например, теорию представлений симметрических групп, и развитая структурная теория, решающий вклад в создание которой внес А. Р. Ке-мер [14,15,35], сформирована в случае многообразий алгебр над полем нулевой характеристики. Не вдаваясь в подробности, отметим, что многообразия алгебр над бесконечным полем положительной характеристики обладают гораздо более слабыми свойствами, соответствующая техника теряет часть инструментов, например, работа с полилинейными тождествами перестает приносить исчерпывающую информацию, а структурная теория не прояснена в полной мере. Тем не менее, многообразия алгебр над бесконечным полем задаются полиоднородными тождествами, на которых опять-таки естественным образом действует симметрическая группа, часть структурных результатов, например, утверждение о локальной представимости [16], остаются верными. Наиболее трудоемкий случай касается многообразий алгебр над конечным полем. Здесь, помимо сложностей предыдущего случая, появ-
ляются свои. В частности, не все многообразия задаются полиоднородными тождествами, что приводит к необходимости кропотливого анализа сложно устроенных тождеств. Свойство локальной представимости выполняется в таких многообразиях в гораздо более слабой форме, чем в предыдущем случае [2]. В целом, несколько упрощая ситуацию, можно отметить, что разработанные в теории многообразий общие подходы применимы к данному случаю лишь отчасти и чаще всего тогда, когда многообразие близко по своим свойствам к многообразиям алгебр над бесконечным полем. В теории многообразии колец, наследующей в полной мере трудности всех перечисленных выше случаев, ситуацию еще более усугубляет возможное нетривиальное аддитивное кручение. В свете сказанного становится ясно, что развитие методов исследования для случая алгебр над конечным полем и для случая колец приобретает в теории многообразий ассоциативных алгебр самостоятельную ценность.
Постановка задач. Всюду далее мы считаем, если не сказано иное, что F — произвольное ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, а слово “алгебра” есть сокращение фразы “унитарная ассоциативная алгебра над кольцом F”. При этом в самой алгебре наличия единицы не требуется.
С каждой алгеброй (А, +,), можно связать две полугруппы: мультипликативную (А,-) и присоединенную (А, о), где присоединенное умножение о задается формулой аоЪ = а-\-Ъ — аЪ для всех а,Ъ Є А. Понятие присоединенной полугруппы возникло в теории колец в конце 1940-х гг. в работах Джекобсона и сыграло важную роль в построении теории радикалов. Для удобства мы будем называть мультипликативную и присоединенную полугруппы производными полугруппами алгебры. Если алгебра А содержит единицу, то ее производные полугруппы изоморфны: требуемым изоморфизмом, как нетрудно проверить, в этом случае является отображение а \—у 1 — а. В алгебрах без единицы производные полугруппы изоморфными быть не могут, так как присоединенная полугруппа является моноидом, где роль нейтрального элемента играет 0 алгебры. Более того, в этом случае полугруппы могут существенно отличаться, как структурно, так и эквационально: например, если алгебра (А,+,) нильпотентна, то полугруппа (А,-) нильпотентна, а полугруппа (А, о) является группой.
По-видимому, первой была найдена индикаторная характеризация нильпотентности, свойства, задаваемого тождеством х\ хп = 0 [20]. Это свойство имеет смысл рассматривать лишь для мультипликативной полугруппы, поскольку, как уже было сказано, присоединенная полугруппа всегда является моноидом. Были найдены все почти нильпотентные многообразия алгебр над произвольным нетеро-вым кольцом операторов. М.В. Волковым в [5] были всесторонне изучены периодические многообразия колец, т.е. многообразия, в которых выполняется тождество периодичности х = х при к ф І. В частности, была найдена индикаторная характеризация этого свойства. Заметим, что выполнение указанного тождества в одной из производных полугрупп влечет выполнение какого-нибудь тождества периодичности и в другой. Точно так же происходит с другим известным свойством — коммутативностью. Почти коммутативные многообразия колец подробно изучались Ю.Н. Мальцевым. В частности, оказалось, что каждое такое многообразие порождено конечным кольцом. В [22] получено полное описание ненильпотентных
почти коммутативных многообразий колец. Позже оно было перенесено на случай алгебр над произвольным нетеровым коммутативным кольцом Джекобсона с единицей [37]. Нильпотентные же почти коммутативные многообразия, как выяснилось, достаточно сложно устроены. Их специфика была выявлена и исследовалась во многих работах, например, в [9,22,24,25,37], но задача полного описания таких многообразий открыта до сих пор и представляется весьма трудной.
Естественным обобщением тождества коммутативности являются тождества, в которых каждая переменная входит и в левую, и в правую часть ровно по одному разу. Они имеют следующий вид
ЖіЖ2 Хп = ХіаХ2а Хпо , (0.1)
где п — произвольное натуральное число, а а — нетривиальная перестановка множества {1,2,...,те}, и называются перестановочными. Для удобства будем называть многообразия, алгебры или кольца, удовлетворяющие тождеству (0.1), перестановочными. (Легко заметить, что любой перестановочный моноид является коммутативным, поэтому под тождеством перестановочности мы будем понимать только тождество, записанное с помощью обычного умножения.) Тождества такого вида начали изучаться в теории полугрупп в конце пятидесятых годов [44]; в теории колец их впервые рассмотрел, по-видимому, В. Н. Латышев в [19], доказав шпехтовость любого перестановочного многообразия алгебр над полем характеристики 0. Позже этот результат был обобщен на случай алгебр над произвольным нетеровым коммутативным кольцом с единицей [18]. Индикаторных характериза-ций свойства перестановочности не было найдено ни в случае алгебр над полем, ни в случае колец.
Задача 1 Описать почти перестановочные многообразия алгебр над различными полями.
Задача 2 Описать почти перестановочные многообразия колец.
Разрешив переменным входить в тождество больше одного раза, мы столкнемся с полугрупповыми тождествами произвольного вида. Полиномиальное тождество и = v будем называть полугрупповым, если и, v — различные слова, записанные с помощью операции , и присоединенным полугрупповым, если и, v — различные слова, записанные с помощью операции о. Если и и v начинаются с разных букв и заканчиваются разными буквами, тождество и = v будем называть приведенным.
Многообразия алгебр, чьи мультипликативные полугруппы удовлетворяют каким-либо нетривиальным тождествам, начали изучаться в случае поля нулевой характеристики И.З. Голубчиком и А.В. Михалевым в [7]. В этой работе, в частности, доказано, что единственной запрещенной алгеброй для свойства “удовлетворять полугрупповому тождеству” является алгебра верхнетреугольных матриц UT2 (F) над основным полем F. Данный результат был обобщен на случай бесконечного поля произвольной характеристики Л.М. Самойловым [27]. Присоединенные полугрупповые тождества для алгебр над бесконечным полем изучались М. Вилсоном и Д.М. Райли в работе [42]. В ней, в частности, было доказано, что в случае бесконечного поля наличие полугруппового тождества любого из трех типов (приведенного,
присоединенного или приведенного присоединенного) эквивалентно выполнимости в алгебре тождества вида [[... [х,у],у,...],у] = 0. Многообразия и алгебры, удовлетворяющие таким тождествам, называются энгелевыми. Подробнее мы обсудим их чуть позже. Отметим только, что описание почти энгелевых многообразий алгебр над полем характеристики 0 найдено Ю.Н. Мальцевым в [21]. Таким образом, индикаторную характеризацию многообразий, удовлетворяющих тождеству любого из трех перечисленных выше типов, можно считать в этом случае известной. Для бесконечного поля положительной характеристики такого описания получено не было.
Задача 3 В случае алгебр над бесконечным полем положительной характеристики найти индикаторную характеризацию многообразий, удовлетворяющих приведенному полугрупповому тождеству.
Ситуация колец и алгебр над конечным полем оставалась практически не изученной. Непонятно было даже, всегда ли среди кольцевых следствий присоединенных тождеств обязаны находиться обычные полугрупповые тождества и наоборот. Открытым оставался вопрос и об эквивалентности энгелевости алгебры и наличия нетривиального тождества в одной из производных полугрупп этой алгебры.
Задача 4 В случае алгебр над конечным полем найти индикаторную характеризацию многообразий:
удовлетворяющих полугрупповому тождеству;
удовлетворяющих присоединенному полугрупповому тождеству;
удовлетворяющих приведенному полугрупповому тождеству;
удовлетворяющих приведенному присоединенному полугрупповому тождеству.
Задача 5 Найти индикаторные описания многообразий колец каждого из четырех перечисленных в задаче 4 типов.
Обсудим еще один вопрос, связанный с производными полугруппами. Напомним, что полугруппа называется регулярной, если для любого ее элемента а найдется элемент Ъ, для которого aba = а. Кольца, обладающие такой мультипликативной полугруппой, были введены Дж. фон Нейманом в работе [38] и названы регулярными кольцами. Они играют важнейшую роль в теории колец и интенсивно изучаются с разных позиций (см., например, [33,43]). Кольца, в которых регулярна присоединенная полугруппа, называются присоединенно регулярными. Класс таких колец весьма широк, он включает в себя как все регулярные кольца [32, теорема 1], так и в некотором смысле антиподы регулярных колец — кольца, совпадающие со своим радикалом Джекобсона. Важным и используемым в приложениях фактом является утверждение о том, что свойство “быть регулярным кольцом” наследуется полными матричными кольцами [30]. Аналогичную гипотезу о наследуемости свойства присоединенной регулярности кольцами матриц высказал Ду Ксиянкун [32] в 1988. Данная задача привлекла внимание специалистов, и гипотеза получила подтверждение в нескольких частных случаях. Так, например, доказано, что присоединенно регулярным будет кольцо матриц над кольцом, чья присоединенная полугруппа
есть объединение групп [32], а также над кольцом, которое само является суммой радикала Джекобсона и регулярного подкольца [6]. Но в общем случае вопрос более 20 лет оставался открытым.
Задача 6 Выяснить, всегда ли кольцо матриц над присоединенно регулярным кольцом является присоединенно регулярным.
На каждой алгебре (А,+,) можно определить билинейную операцию [х,у] = ху — ух. Множество А относительно операций + и [,], как легко видеть, становится алгеброй Ли. Она называется ассоциированной алгеброй Ли и является одним из наиболее изучаемых производных объектов исходной алгебры. Структурные и эквациональные связи алгебр и ассоциированных с ними алгебр Ли — интенсивно изучаемая тема как в теории ассоциативных алгебр, так и в теории алгебр Ли (см., например, монографии Ю.А. Бахтурина [1] и Ю.П. Размыслова [26]). Наиболее известными и изучаемыми свойствами алгебр Ли являются свойства энге-левости, лиевой нильпотентности и лиевой разрешимости. Договоримся опускать внутренние скобки в записи слова алгебры Ли при левонормированной их расстановке, т.е. [ [[[xi,Х2],хз] ],хп] будет упрощаться до [хі,Х2,хз,. .. ,хп]. Напомним, что алгебры или многообразия называются энгелевыми, если удовлетворяют тождеству [х, у,... , у] = 0, лиево нильпотентными, если удовлетворяют тождеству [xi ,Х2,..., хп] = 0 при некотором натуральном числе те. Для того, чтобы определить свойство разрешимости, положим Уі(жі,Ж2) = [жі,Ж2], и
V„(xi,. . . Ж2") = [Vn-l(xi, . . . Ж2п-і), Уп-і(ж2п-1 +1, . . . Ж2")].
Алгебры или многообразия называются лиево разрешимыми, если удовлетворяют тождеству Vn(xi,... ,Х2п) = 0 при некотором натуральном те. Интерес к свойствам указанных трех типов во многом был инспирирован задачами бернсайдовского типа (см., например, [17]). Одна из наиболее известных проблем данной тематики — задача о локальной нильпотентности энгелевых многообразий. Она была положительно решена Е. И. Зельмановым: каждая конечнопорожденная энгелева алгебра Ли над полем положительной характеристики является нильпотентной [11,12]. Над полем нулевой характеристики любая, а не только конечнопорожденная, энгелева алгебра Ли нильпотентна [10]. Для алгебр Ли, ассоциированных с ассоциативными алгебрами, последний результат был получен ранее А. Р. Кемером [13].
В случае алгебр над полем характеристики 0 индикаторные характеризации были найдены для всех трех указанных свойств [13,21]. Отметим, что в силу сформулированного выше результата, описания энгелевости и лиевой нильпотентности в этом случае совпадают. В случае поля положительной характеристики почти энгелевых многообразий, найдено не было. Случай колец рассматривался в [23]. Там доказано, что локально конечные почти энгелевы многообразия колец суть в точности ненильпотентные почти коммутативные многообразия. Вопрос о существовании других почти энгелевых многообразий, а тем более о полном их описании, оставался открытым.
Задача 7 Описать почти энгелевы многообразия алгебр над произвольным полем положительной характеристики.
Задача 8 [8, вопрос 3.53] Описать почти энгелевы многообразия колец.
Прежде чем переходить к свойству лиевой нильпотентности, напомним следующее определение. Многообразие алгебр М называется первичным, если для любых Т-идеалов 1\ и І2 из включения 1\ І2 С Г(Л/!) следует либо 1\ С Г(Л/!), либо І2 С Г(Л/!). Первичные многообразия очень важны: во многих случаях они выполняют роль строительных блоков, из которых собираются многообразия. Такие многообразия алгебр над полем характеристики 0 полностью описаны А.Р. Кеме-ром на языке порождающих алгебр. В случае бесконечного поля положительной характеристики, а тем более в случае конечного поля, полного списка таких многообразий пока не найдено. Заметим только, что такой список будет, по-видимому, весьма обширен даже в случае бесконечного поля [36]. Среди почти лиево нильпо-тентных многообразий над полем положительной характеристики есть и первичные, и непервичные многообразия. Полного описания не имелось ни для первых, ни для вторых многообразий.
Задача 9 Описать почти лиево нильпотентные непервичные многообразия алгебр над полем положительной характеристики.
Задача 10 Описать почти лиево нильпотентные непервичные многообразия колец.
В случае алгебр над полем характеристики 0 почти лиево разрешимое многообразие единственно. Оно имеет конечный базисный ранг, поскольку порождено алгеброй всех матриц второго порядка над основным полем, т.е. конечнопорожденной алгеброй [13]. Было бы естественно начать изучение почти лиево разрешимых многообразий алгебр над другими кольцами операторов с исследования именно таких многообразий.
Задача 11 Описать почти лиево разрешимые многообразия алгебр над коммутативным нетеровым кольцом с единицей, являющиеся многообразиями конечного базисного ранга.
Индикаторные характеризации позволяют продвинуться еще в одном направлении близкой тематики. Речь идет о сравнительно недавно появившейся и успешно развиваемой теории псевдомногообразий.
Псевдомногообразием называется непустой класс конечных универсальных алгебр одной сигнатуры, замкнутый относительно взятия подалгебр, гомоморфных образов и конечных прямых произведений. Аналогично тому, как многообразия задаются тождествами, псевдомногообразия могут быть заданы так называемыми псевдотождествами. Определим это понятие. Под п-арной неявной операцией її понимается отображение, сопоставляющее каждой конечной алгебре К в классе всех конечных алгебр п-арную операцию іїк
ж к .К —У К ,
такую, что для любых конечных алгебр А, В и для любого гомоморфизма ф : А— В
Ф{тТа(о,1, , Яп)) = 7ГВ (Ф(іі), , Ф(іп)).
Псевдотождеством в классе А называют пару неявных операций; при этом говорят, что псевдотождество її = р выполнено в А, если іїк = рк для любой конечной алгебры. Рейтерман [41] доказал для псевдомногообразий аналог классической теоремы Биркгофа: псевдомногообразия суть в точности классы, определяемые псевдотождествами. В силу этого можно говорить о базисах псевдотождеств псевдомногообразий.
Исследуя псевдомногообразия в теории колец, мы естественно ограничиваемся классами конечных колец и конечномерных алгебр над конечным полем. Заметим, что очень многие кольцевые свойства наследуются на подкольца, гомоморфные образы и конечные прямые произведения, не переносясь при этом на бесконечных прямые произведения. Именно так происходит с большинством из тех свойств, которые мы обсуждали выше. Действительно, в силу специфики тождеств, это, очевидно, работает для энгелевости, лиевой нильпотентности, лиевой разрешимости. Для свойств, задаваемых полугрупповыми тождествами, можно воспользоваться, например, результатом Р. Дина и Т. Эванса из [31], утверждающим, что конечное прямое произведение полугрупп, удовлетворяющих каждая своему (приведенному) полугрупповому тождеству, также удовлетворяет какому-нибудь (приведенному) полугрупповому тождеству. Кроме того, как показано В.Н. Латышевым [19] и независимо П. Перкинсом [40], в любой перестановочной полугруппе выполняется некоторое тождество специального вида:
XI ХпХуХп^1 Х2п = Х\ ХпуХХп^1 Х2п-
Поэтому и свойство перестановочности распространяется с сомножителей на все конечное прямое произведение. Эти замечания показывают, что для каждого из перечисленных выше свойств 9 класс всех конечных колец (алгебр), удовлетворяющих в, является псевдомногообразием. Естественным выглядит вопрос о нахождении базиса псевдотождеств таких псевдомногообразий. Отметим, правда, что некоторые из них совпадают. Так, например, класс всех конечных энгелевых колец совпадает с классом всех конечных лиево нильпотентных колец. Кроме того, как хорошо известно, каждая конечная полугруппа удовлетворяет тождеству вида х" = х ", поэтому класс всех колец, удовлетворяющих (присоединенным) полугрупповым тождествам, есть просто класс всех конечных колец.
Задача 12 Найти базис псевдотождеств псевдомногообразия всех конечных энгелевых (лиево разрешимых, перестановочных, удовлетворяющих приведенному полугрупповому тождеству, удовлетворяющих приведенному присоединенному полугрупповому тождеству) колец или алгебр над конечным полем.
Цель работы — исчерпывающее решение задач 1 - 12. Сопутствующей целью является разработка методов работы с экстремальными многообразиями алгебр над произвольным полем, в том числе и конечным, и экстремальными многообразиями колец.
Методы исследований. В работе применены и развиты основные методы теории многообразий колец: комбинаторная техника исследования идеалов тождеств,
в особенности, T-идеалов экстремальных многообразий, для изучения которых разработана широкая гамма новых общих подходов, и структурный анализ алгебр и колец, порождающих изучаемые многообразия.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми; новыми являются и практически все вспомогательные результаты.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты проясняют эквациональные связи алгебр и их производных объектов и обеспечивают исследователя алгоритмом, который позволяет эффективно проверить в многообразии выполнимость изучаемого свойства. Разработанная в диссертации схема построения индикаторных характеризаций может быть реализована при описании других свойств многообразий колец. Спорадические и сериальные экстремальные многообразия, их базисы тождеств и порождающие алгебры, найденные в работе, обогащают существующий список примеров многообразий с известным базисом тождеств и носителем и могут быть использованы для исследования смежных вопросов теории многообразий ассоциативных алгебр.
Апробация результатов работы. Результаты работы докладывались на многих международных конференциях и симпозиумах, а также на научных семинарах в Москве, Новосибирске, Екатеринбурге, Барнауле, Сан-Паолу (Бразилия).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 28 работах, в том числе в 10 статьях в изданиях, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий ВАК, и 18 тезисах докладов международных конференций. Работы автора по теме диссертации приведены в списке литературы [45]– [73]. Статья [45] написана в соавторстве с М. В. Волковым и М. В. Сапиром. Результаты из этой работы, используемые в данной диссертации, принадлежат автору диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 193 страницы. Список литературы содержит 106 наименований.
Экстремалвноств многообразий колец и аддитивное кручение
Всюду в диссертации мы считаем, если не сказано иное, что F — произвольное ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, а слово "алгебра" есть сокращение фразы "унитарная ассоциативная алгебра над кольцом F". При этом в самой алгебре наличия единицы мы не требуем.
С каждой алгеброй (А, +, ), можно связать две полугруппы: мультипликативную (А, ) и присоединенную (А, о), где присоединенное умножение о задается формулой aob = а + Ъ — ah для всех a, b Є А. В некоторых работах под присоединенным умножением понимается операция о , задаваемая правилом а о Ь = а + Ъ + oh. Между этими операциями нет существенной разницы, поскольку отображение а н —а задает изоморфизм полугрупп (А, о ) и (А, о). Понятие присоединенной полугруппы возникло в теории колец в конце 1940-х гг. в работах Джекобсона и сыграло важную роль в построении теории радикалов. Для удобства мы будем называть мультипликативную и присоединенную полугруппы производными полугруппами алгебры. Если алгебра А содержит единицу, то ее производные полугруппы изоморфны: требуемым изоморфизмом, как нетрудно проверить, в этом случае является отображение а \— 1 — а. В алгебрах без единицы производные полугруппы изоморфными быть не могут, так как присоединенная полугруппа является моноидом, где роль нейтрального элемента играет 0 алгебры. Более того, в этом случае полугруппы могут существенно отличаться, как структурно, так и эква-ционально: например, если алгебра (А, +, ) нильпотентна, то полугруппа (А,-) нильпотентна, а полугруппа (А, о) является группой.
Нас интересуют индикаторные описания свойств многообразий алгебр, формулируемых в терминах тождеств производных полугрупп. Тождества полугрупп естественно распадаются на два класса: / — тождества, у которых состав переменных в левой и правой частях не совпадает, и II — тождества с одинаковым составом левой и правой части. Нетрудно проверить, что в нашем случае любое тождество из первого класса независимо от того, какая из производных полугрупп ему удовлетворяет, обеспечивает нильность алгебры, т.е. выполнение в ней тождества х х = 0. Почти ниль-многообразия исчерпываются многооб п
разием всех коммутативных алгебр в случае бесконечного поля, и атомами решетки многообразий, порождаемыми конечным полем, в случае колец или алгебр над конечным полем. Сформулированный результат, по-видимому, является фольклорным. Важный подкласс более сильных полугрупповых тождеств составляют тождества нильпотентности вида х\- хп = 0. Это свойство имеет смысл рассматривать лишь для мультипликативной полугруппы, поскольку, как уже было сказано, присоединенная полугруппа всегда является моноидом. Почти нильпотентные многообразия алгебр описаны И. В. Львовым в [30] в случае произвольного нетерова кольца операторов. Отметим, что указанное описание является, по-видимому, одной из первых нетривиальных индикаторных ха-рактеризаций свойств многообразий алгебр.
Тождества из класса II, зависящие от одной переменной, имеют вид хк = х1 при к ф I. Они играют значительную роль в теории многообразий колец и полугрупп. Многообразия, удовлетворяющие тождествам указанного типа, называются периодическими. М. В. Волков в [7] всесторонне изучил периодические многообразия колец, указав в в том числе и все почти периодические многообразия. Из полученного описания легко извлекается характеризация таких многообразий в случае алгебр на конечным полем. В случае бесконечного поля любое периодическое многообразие алгебр является ниль-многообразием в силу однородности идеала тождеств. Найденное для обычного умножения описание является характеризацией периодичности и для присоединенного умножения, поскольку, как нетрудно показать, производные полугруппы могут удовлетворять или не удовлетворять тождеству периодичности лишь одновременно.
Важным и в некотором смысле минимальным примером тождества класса II от двух букв является тождество коммутативности. Так же, как и периодичность, коммутативность одной из производных полугрупп эквивалентна коммутативности другой. Почти коммутативные многообразия колец подробно изучались Ю. Н. Мальцевым. В частности, оказалось, что каждое такое многообразие порождено конечным кольцом. В [35] получено полное описание ненильпотентных почти коммутативных многообразий колец. Позже оно было перенесено на случай алгебр над произвольным нетеровым коммутативным кольцом Джекобсона с единицей (см. [65]). Нильпотентные же почти коммутативные многообразия, как выяснилось, достаточно сложно устроены. Их специфика была выявлена и исследовалась в [13,35,36,41,43,65,71]. Найдено множество примеров, накоплена содержательная информация о строении алгебр, их порождающих. Несмотря на это, задача полного описания таких многообразий открыта до сих пор и представляется весьма трудной.
Естественным обобщением тождества коммутативности являются тождества, в которых каждая переменная входит и в левую, и в правую часть ровно по одному разу. Они имеют следующий вид где п — произвольное натуральное число, ас — нетривиальная перестановка множества {1,2,... ,п}, и называются перестановочными. (Легко заметить, что любой моноид, удовлетворяющий такому тождеству, является коммутативным, поэтому под тождеством перестановочности мы будем понимать только тождество, записанное с помощью обычного умножения.) Тождества такого вида начали изучаться в теории полугрупп в конце пятидесятых годов [77]; в теории колец их впервые рассмотрел, по-видимому, В. Н. Латышев в [27]. Им доказана шпехтовость любого перестановочного многообразия алгебр над полем характеристики 0. Позже этот результат был обобщен на случай алгебр над произвольным нетеровым коммутативным кольцом с единицей [23]. Помимо комбинаторных рассмотрений, перестановочные тождества играют заметную роль и при изучении структурных аспектов теории колец (см., например, [69]). Индикаторных же характеризаций свойства перестановочности не было найдено ни в случае алгебр над полем, ни в случае колец. Для удобства будем называть многообразия, алгебры или кольца, удовлетворяющие тождеству (0.1), перестановочными.
Разрешив переменным входить в тождество больше одного раза, мы столкнемся с полугрупповыми тождествами произвольного вида. Очевидно, что каждое такое нетривиальное полугрупповое тождество, выполняемое в производной полугруппе, является для самой алгебры полиномиальным тождеством специального типа. Таким образом, любая алгебра, чья производная полугруппа удовлетворяет нетривиальному тождеству, является PI-алгеброй. Обратное в общем случае не верно: например, легко проверить, что алгебра верхнетреугольных целочисленных матриц второго порядка удовлетворяет тождеству [x,y][z,t] = 0. Эта алгебра имеет единицу, поэтому ее производные полугруппы изоморфны. Кроме того, известно, что для w нетривиалвным тождествам.
Полиномиалвное тождество и = v будем назвшатв полугрупповым, если и, v — различнвіе слова, записаннвіе с помощвю операции , и присоединенным полу групповым, если и, v — различные слова, записаннвіе с помощвю операции о. Если unv начинаются с разных букв и заканчиваются разными буквами, тождество и = v будем назвшатв приведенным.
Многообразия алгебр, чвя мулвтипликативные полугруппві удовлетворяют каким-либо нетривиалвным тождествам, начали изучатвся в случае поля нулевой характеристики И. 3. Голубчиком и А В. Миха-леввім в [10]. В этой работе, в частности, доказано, что единственной запрещенной алгеброй для свойства "удовлетворятв полугрупповому тождеству" является алгебра верхнетреуголвнвіх матриц UT2{F) над основ-нвім полем F. Данный резулвтат бвш обобщен на случай бесконечного поля произволвной характеристики Л. М. Самойловвім в [45]. Присоединенные полугрупповвіе тождества для алгебр над бесконечным полем изучалисв М. Вилсоном и Д. М. Райли в работе [73]. В ней, в частности, было доказано, что в случае бесконечного поля наличие полугруппового тождества любого из трех типов (приведенного, присоединенного или приведенного присоединенного) эквивалентно выполнимости в алгебре тождества вида [[... [х,у],у,.. .],у] = 0. Многообразия и алгебры, удовлетворяющие таким тождествам, называются энгелевыми. Подробнее мы обсудим их в следующем разделе. Отметим толвко, что описание почти энгелевых многообразий алгебр над полем характеристики 0 найдено Ю. Н. Малвцевым в [34]. Таким образом, индикаторную характеризацию многообразий, удовлетворяющих тождеству любого из трех перечислен-нвіх ввіше типов, можно считатв в этом случае известной. Для бесконечного поля положителвной характеристики такого описания получено не было.
Доказателвство теоремві 4.1: достаточноств
Апробация результатов Основные результаты диссертации докладывались на III международной алгебраической конференции (Красноярск, 1993), международной конференции, посвященной 100-летию Н. Г. Чеботарева (Казань, 1994), третьей Суслинской конференции (Саратов, 1994), международной конференции по теории колец (Мишкольц, Венгрия, 1996), IV международной алгебраической конференции (Санкт-Петербург, 1997), международном семинаре "Универсальная алгебра и ее применения" (Волгоград, 1999), международной алгебраической конференции (Екатеринбург, 2005), международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша (Москва, 2008), международной конференции по теории колец, посвященной 90-летию со дня рождения А. И. Ширшова (Новосибирск, 2011), международной конференции "Полиномиальные тождества в алгебрах. II" (Сент-Джонс, Ньюфаундленд, Канада, 2011), международной конференции по алгебре "Маль-цевские чтения" (Новосибирск, 2012, 2015), международной конференции "Алгебра и линейная оптимизация", посвящ. 100-летию со дня рожд. С.Н.Черникова. (Екатеринбург, 2012), XII международной конференции "Алгебра и теория чисел: соврем, проблемы и приложения", посвященной 80-летию проф. В.Н.Латышева (Тула, 2014), международной конференции "Группы и кольца: теория и приложения" (София, Болгария, 2015), международной конференции "Группы и графы, алгоритмы и автоматы" (Екатеринбург, 2015), заседаниях семинара "Алгебраические системы" (Екатеринбург, 1996-2015), заседаниях семинара "Теория колец" СО РАН (1996, 1997, 2003), заседаниях семинара "Алгебра и логика" СО РАН (1997, 2003), заседаниях семинара по теории колец кафедры высшей алгебры МГУ (1997, 2014), заседаниях семинара "Многообразия колец" кафедры алгебры и теории чисел АлтГУ (1995, 1996, 1997) и кафедры алгебры АлтГПУ (2008), заседании семинара "Лиевы и йордановы алгеб ры и их представления" университета Сан Паулу (Сан Паулу, Бразилия, 2014).
Материал диссертации опубликован в 28 работах, в том числе в 10 статвях в изданиях, включенных в Переченв рецензируемвіх научных изданий ВАК, и 18 тезисах докладов международных конференций. Ра-ботві автора по теме диссертации приведены в списке литературы [78]-[106]. Статвя [78] написана в соавторстве с М. В. Волковвім и М. В. Са-пиром. Резулвтаты из этой работы, исполвзуемые в данной диссертации, принадлежат автору диссертации.
Автор выражает глубокую признателвноств научному консулвтанту профессору М.В. Волкову за многолетнюю всестороннюю поддержку, постоянное внимание к работе, плодотворнвіе обсуждения, помощв при оформлении резулвтатов и умение внушитв оптимизм и вдохновение.
Автор искренне благодарна участникам семинара "Алгебраические системы" (г. Екатеринбург) и его руководителю профессору Л.Н. Шев-рину за неослабевающий интерес к деятелвности автора и бесценные замечания.
Автор глубоко благодарна профессору Ю.Н.Малвцеву, познакомившему ее с теорией колец и на протяжении многих лет проявляющему неизменную заинтересованноств в работе автора. Список обозначений и терминов Как обычно, [х, у] — коммутатор ху — ух элементов хну, [А, А] — коммутаторный идеал алгебры А, J (А) — радикал Джекобсона алгебры А, А1 — алгебра с формально присоединенной единицей (определение дано на стр. 25), F(X) — свободная ассоциативная алгебра над кольцом F со множеством свободных порождающих X, Т-идеал — идеал алгебры F(X), замкнутый относительно всех эндоморфизмов этой алгебры, varA обозначает многообразие, порожденное алгеброй А, т.е. класс алгебр, удовлетворяющих всем тождествам алгебры А, varS — многообразие, задаваемое системой многочленов Е С F(X), т.е. класс алгебр, удовлетворяющих всем тождествам вида / = 0, / Є Е, Т(М) — идеал тождеств многообразия ЛІ, Т(А) — идеал тождеств алгебры А, Т(Е) — Т-идеал свободной счетнопорожденной алгебры, порожденный множеством многочленов Е. При этом для упрощения вместо Т({/}) мы будем писать T(f). Если F — подкольцо кольца G, а / есть Т-идеал алгебры F(X), то запись IG будет обозначать Т-идеал в алгебре G(X), порожденный множеством многочленов I. Кроме того, через к будем обозначать набор символов к\, fc2,..., будь то переменные или индексы. Из контекста при этом всегда будет ясно, каким мы его считаем — упорядоченным или нет. Для упорядоченных наборов одной длины запись к s будет означать, что (ki, fc2,...) меньше (si, s2, ) относительно естественного лексикографического порядка (т.е. если существует такой индекс г, что К\ = S\, , Кі—1 = Si— і, a Ki Si). Указанный порядок и двойственный к нему, при котором координаты начинают сравниваться справа, будем называть стандартными лексикографическими. Через Л4 мы обозначаем многообразие, двойственное к ЛЛ, т. е. класс, состоящий из алгебр, антиизоморфных алгебрам из Л4; в случае алгебр А — алгебра, антиизоморфная А. Пусть / — произвольное подмножество F(X), a f(x,t) — многочлен. Будем называть / линейным по переменной х по модулю I, если f(x + y,t)-f(x,t)-f(y,t)eL Многочлен называется существенным по х, если буква х присутствует в каждом его одночлене. Многочлен называется существенным, если он существенен по всем своим переменным.
Многочлен называется однородным по х, если буква х присутствует в каждом его одночлене одинаковое число раз. Многочлен называется полиоднородным, если он однороден по всем своим переменным. Каждый многочлен / однозначно представим в виде суммы своих полиоднородных компонент, т.е. полиоднородных многочленов, состоящих из максималього числа попарно различных слагаемых из /.
Многообразие Л4 называется однородным, если вместе с любым многочленом в Т(Л4) содержится и все его полиоднородные компоненты.
Для произвольного множества многочленов / С F(X) обозначим F lI = {/ Є F(X)\ mf Є / при некотором me F\ {0}}. Многообразие F-алгебр М, для которого F 1T(A f) = Т(М), будем называть многообразием без аддитивного кручения.
Многообразие алгебр Л4 называется первичным, если для любых Т-идеалов 1\ и І2 из включения 1\ І2 С Т(Л4) следует либо 1\ С Т(Л4), либо 12 С Т{М). Многообразие имеет конечный базисный ранг, если оно может быть порождено конечнопорожденной алгеброй.
Алгебра называется критической, если она не лежит в многообразии, порожденном всеми ее собственными подалгебрами и собственными гомоморфными образами.
Многообразие колец (алгебр над конечным полем) называется кроссовым, если все его кольца (алгебры) локально конечны, оно содержит лишь конечное число критических колец (алгебр) и может быть задано конечным числом тождеств. И.В Львов [29] доказал, что кроссовы многообразия суть в точности многообразия, порожденные конечным кольцом (конечной алгеброй). В дальнейшем термин "кроссово" будет использоваться как сокращение фразы "порождено конечным кольцом (конечной алгеброй)".
Неоднороднвіе почти перестановочнвіе многообразия: случай конечного поля
Многообразие V не содержит полной матричной алгебры второго порядка Мг(А) ни для какой F-алгебры А с единицей, поскольку Мг(А) порождает многообразие, в котором содержатся собственные неперестановочные подмногообразия (например, подмногообразие, порожденное верхнетреугольными матрицами).
По лемме 2.5 и предположению в начале данного доказательства каждая конечнопорожденная алгебра из V порождает собственное, и значит, перестановочное подмногообразие. В частности, 6—ти порожденная приведенно свободная алгебра из нашего многообразия перестановочна. Поэтому xku[y,z]vtk Є T(V) при некотором к. В наших условиях отсюда следует включение хк Є T(V). В любом многообразии из тождества хк = 0 следует
Поскольку в любой ниль-алгебре из равенства z + zt = 0 следует z = О, то хк 1ухк 1 = 0.
По лемме 5.4 многообразие V удовлетворяет тождеству (5.2). Сделаем подстановку U \— Xitk lyi (і = 0,1,...), где к — минимальное натуральное число со свойством хк Є T(V). В каждом одночлене из х после подстановки возникнет подслово вида vk lwvk l. Следовательно, в T(V) после подстановки попадет многочлен, являющийся произведением Xitk lyi и коммутатора вида
Неоднородные почти перестановочные многообразия: случай конечного поля До конца этого раздела считаем, что F — конечное поле характеристики р и порядка q, V — неоднородное почти перестановочное многообразие F-алгебр, не порождаемое конечной алгеброй. Мы покажем, что V лежит в одном из многообразий TTZ(q,p)1 /TZ(q,p)1 С(р, q, q m ) или C(pAAm ) Наличие тождества [ж, w]t[y, z] = 0 (лемма 5.5), а вместе с ним и его следствия xy3z = yxy2z + xy2zy — yxyzy, обеспечивает локально финитную аппроксимируемость многообразия V (см. [25]). Отсюда, в частности, следует, что многообразие V порождается своими конечномерными подпрямонеразложимыми алгебрами.
Изучим их строение. Любая конечномерная алгебра порождает собственное подмногообразие в V, и значит, является перестановочной. Пусть А — такая подпрямонеразложимая алгебра, J (А) — ее радикал Джекобсона, [А, А] — коммутаторный идеал. Тогда, учитывая, что в V нет матричных алгебр, имеем А = В\ ф Bk+J(A), где В\,..., Вк — конечные поля, содержащие поле F. Пусть ЄІ — единица ВІ. Тогда для любого г подкольцо е [Д А] — идеал в А. Действительно, [ж, w]t[y, z] = О — тождество А и поэтому
Объединение конечного числа перестановочных многообразий по лемме 4.1 — также перестановочное многообразие. Поэтому все три подмногообразия одновременно не могут быть собственными, т.е. одно из них должно совпадать с многообразием V. Осталось показать, что если V = Л4, то V = variVy. Предположим, что это не так, т.е. V = Л4, но variVM собственное, а значит, перестановочное подмногообразие. Mсть тождество этого подмногообразия. Возьмем алгебру А = В + J, где J = J (А), элемент е есть единица поля В, и е[Д А] = [Д AJe = 0. Поскольку J є iVy, имеем Jn[J, J]JS = 0. Тогда An[A, A]AS+1 с Jn[A, J]JS+1 с Jn[AJ, J]JS + JnA[J, J]JS с Jn[J, J]JS = 0. Это означает, что каждая из алгебр, порождающих мно гообразие M, удовлетворяет одному и тому ж;е тождеству рестановочно. Противоречие доказывает, что variVy не может быть собственным подмногообразием многообразия V. Лемма 5.8 Любое подмногообразие многообразия V, удовлетворяющее тождеству вида [y,z]x = xm[y,z]xk при т 1 и к 1 или двойственному к нему, перестановочно.
Доказательство. Согласно лемме 5.7 многообразие V порождается од ним из семейств Ly, Ry или Ny. Для любой нильпотентной алгебры тож дество из условия влечет тождество [у, z]x = 0. Поэтому V ф variVy. Кро ме того, для любой алгебры А из Ly выполнение указанного тождества гарантирует равенство [A, A]J(A) = 0, и значит, выполнение тождества [у, z]x = 0. Следовательно, V ф varLy. Кроме того, для любой алгебры А и любого ее идемпотента е выполнение тождества [y,z]x = xm[y,z]xk приводит к равенству [А, А]е = е[А,А]е. Последнее не выполняется ни в одной алгебре из Ду в силу определения класса Ду. Поэтому V ф vari?y. Аналогично решается вопрос с двойственным тождеством. Лемма 5.9 Многообразие V удовлетворяет тождеству [x,u][y,z] = 0 и не удовлетворяет тождеству [[ж,г/], z] = 0. Доказательство. Предположим, что [ж, w][y, z] ф T(V). По леммам 4.1 и 1.1 ti--n[t0,ts+i]tn+i--s Є T([x,u][y,z]) +T(V). Подстановка to н u[x,y]v, а также применение леммы 5.5 и пункта а) леммы 4.2 приводит к включению [u[x,y]v,t]eT(V). (5.4) Подстановка t0 ь- [x,y][u,v] и последующее применение леммы 5.5 и пункта а) леммы 4.2 приводит к включению
Пусть А є Ly. Тогда А = В + J (А), где В — поле, элемент е — единица поля В, и е[А,А] 0, [ДА]е = 0. Учитывая (5.4), получаем е[А, А]А = е2[А, А]А = е[А, А]Ае = 0. Легко видеть, что [А, А] А П е[А, А] = 0. При этом алгебра А подпрямонеразложима, а значит, [А, А] А = 0. Таким образом, в многообразии varLy выполняется тождество [x,y]z = 0. Противоречие. Аналогично показывается, что в многообразии vari?y выполняется тождество z[x,y] = 0. Согласно лемме 5.7 осталось рассмотреть случай V = varA y. По лемме 5.4 многообразие V удовлетворяет тождеству (5.2). Сделаем в (5.2) подстановку t0 — z[x,y], ts+\ і— [u,v] и применим лемму 5.5 и включение (5.5). Это приведет нас к тождеству многообразия V вида [х,у][и, v](zt\ ts + w) = О, где все одночлены из w имеют степень, большую, чем s +1. В любой нильпотентной алгебре из такого тождества следует [x,y][u,v]zt\ s = 0. Следовательно, variVy удовлетворяет этому тождеству. Осталось воспользоваться пунктом а) леммы 4.2 и получить тождество [ж, у][и, г»] = 0.
Алгебры над полем положительной характеристики
Доказательство. Любое почти энгелево многообразие порождается произвольной своей неэнгелевой алгеброй. В частности, такой алгеброй является двупорожденная приведенно свободная алгебра этого многооб разия. Ни одна полная матричная алгебра над полем порядка 2 не может лежать в многообразии V, так как подалгебра верхнетреуголь ных матриц порождает собственное неэнгелево подмногообразие. Следо вательно, по леммам 2.5 и 11.1 многообразие V удовлетворяет тождеству [x,y][z,t] = 0. ш До конца этого параграфа считаем, что F — либо поле положительной характеристики р, либо F = Z, а V — почти энгелево многообразие F-алгебр. Из лемм 11.1 и 11.2 мы знаем, что многообразие V обладает свойством Z и удовлетворяет тождеству [x,y][z,t] = 0.
Замечание 11.1 Напомним, что по лемме 8.5 для алгебр над полем положительной характеристики р выполняется равенство
Лемма 11.3 Если F — бесконечное поле, то многообразие V лежит в одном из многообразий Л или Л. Если F — конечное поле из q элементов, то многообразие V лежит в одном из многообразий Л, C(qm), T7Z(qm) или в одном из двойственных к перечисленным.
Доказательство. Предположим, что [x,y]z ф T(V). Тогда по леммам 1.1 и 11.2 в многообразии V выполняется тождество [у,х,... ,х] + д(х,у) = 0, где д(х,у) Є T([x,y]z). Заметим, что в данном тождестве ровно одно слагаемое вида хп[у,х] не лежит в T([x,y]z). Следовательно, подстановка у — [у, z] превращает это тождество в тождество f(x, [y,z]) = 0, где многочлен f(x, [y,z]) нетривиален по модулю T([x,y][z,і]). По лемме 2.2 в многообразии V выполняется одно из тождеств (2.5)-(2.9).
Теперь отметим следующий факт. Если для полилинейного по х по модулю Т{у) многочлена f(x, [у, z\) верно включение f(xp , [у, z\) Є T(V), то f{x, [y,z]) Є T(y). Действительно, в противном случае по лемме 1.1 и замечанию 11.1 в многообразии V выполняется тождество вида [y,%pt] = 2aif(bi,[x,y])d, где щ, bi, СІ — одночлены. Понятно, что подстановка у — [y,z] обратит в тождества, а точнее, в следствия многочлена [M,w][z,t], все слагаемые, где у встречается в одночлене bi. Таким образом, после этой подстановки справа появится сумма слагаемых вида kf(x8i,[x,[y,z]])ci Подстановка х \— хр обратит теперь правую часть в следствие многочлена f(xp ,[y,z\). Левая же примет вид [[y,z],xp ]. Итак, [[ж, z],yp ] Є T(V), что согласно замечанию 11.1 противоречит неэнге-левости многообразия V. 151 Используя этот факт, нетрудно показать, что из каждого тождества (2.5)-(2.9) получается одно из тождеств вида
Первое тождество в неэнгелевом многообразии выполняться не мо жет. Выполнение же остальных доказывает лемму. Для этого нужно лишь заметить, что подстановка х \— Ах (А Є F) в любое тождество, начиная с четвертого, приводит либо к заключению, что рк — степень q, либо к тождествам [у, z]x = 0 или х[у, z] = 0. Согласно лемме 11.3 поиск экстремальных многообразий нужно вести среди подмногообразий в многообразиях A, C(qm) или TlZ(qm) или в двойственных к перечисленным. Покажем, что на роль экстремальных не годятся те собственные подмногообразия, которые порождаются своими нильпотентными алгебрами.
Лемма 11.4 Пусть F — поле, М. — одно из многообразий A, C(qm) или двойственное к данным. Предположим, что N — собственное подмногообразие многообразия Л4, порождаемое нильпотентными алгебрами. Тогда, если многообразие N удовлетворяет свойству Z, то оно энгеле-во.
Доказательство. Пусть М. = А или М. = C(qm). Оставшиеся случаи рассматриваются двойственным образом. Наша цель — найти в многообразии N тождество вида Xs[у, z] = 0. Тогда [y,z]xpS - xpS[y,z] Є T(xs[y,z])+T(M) С Т(Л0, что по замечанию 11.1 эквивалентно энгелевости многообразия N. Прежде всего отметим, что в многообразии Лч выполняется тождество [х, у][z, t] = 0. Таким образом, многообразие N удовлетворяет условию
В многочлене / наборы степеней (/ь ...,/„) у Х\,... ,хп, стоящих перед коммутатором [ЖІ,ЖІ], различны. Поэтому в /j все наборы ( + 1,... ln) попарно различны. Осталось воспользоваться леммой 2.1 и получить семейство тождеств PijXi+ ж22 Xі [у, z] = 0, выполняющихся для любых г, I. По крайней мере один коэффициент /3 отличен от нуля. Наша цель достигнута.
Пусть теперь ЛІ = C(qm). Перепишем многочлен f{x) по модулю Т(Л4) так, чтобы в коммутаторах встречалось наименьшее число переменных. Можно считать без ограничения общности, что среди них есть х\. Так как благодаря тождеству Якоби в М. выполняется тождество
Среди /, при которых /ЗІj ф 0, выберем наборы с наибольшим 1\ и обозначим это наибольшее число буквой с. Понятно, что все такие наборы различны между собой. Следовательно, наборы (с + qm, /2, ) отличаются не только друг от друга, но и от наборов вида (s\,...), поскольку S\ qm. Теперь осталось воспользоваться леммой 2.1, чтобы получить тождество
Сами многообразия из условия леммы 11.3, тем не менее, неэнгелевы. Мы сформулируем этот несложный факт в виде следующего утверждения. Лемма 11.5 Если F — поле, то многообразие А содержит неэнгелеву алгебру A(F), а многообразие C(qm) (если F — конечное поле из q элемен тов) — неэнгелеву алгебру B(F,G,a) для G — поля из q2m элементов и а(х) = xqm. Двойственные многообразия содержат соответствующие антиизоморфные к данным алгебры. и Доказательство теоремы 11.1. Согласно лемме 11.3 все почти энге-левы многообразия содержатся в многообразиях А или А. Эти многообразия неэнгелевы по лемме 11.5. Следовательно, в силу леммы Цорна каждое их них должно содержать почти энгелево многообразие. С другой стороны, хорошо известно, что в случае алгебр над бесконечным полем каждое многообразие порождается нилыютентными алгебрами. Поэто му согласно леммам 11.4 и 11.1 ни одно собственное подмногообразие в Л или Л почти энгелевым быть не может. Это означает, что почти энге левыми являются сами многообразия Ля Л. Осталось воспользоваться леммой 11.5 и получить Л = var A(F) и А = var A(F). ш Займемся теперь алгебрами над конечным полем.