Свойства 1-адических логарифмов локальных единиц и их применение в задаче о 1-адическом регуляторе и арифметике абелевых полей Кузьмин, Леонид Викторович

Введение к работе

Актуальность темы.

Одним из наиболее перспективных направлений в теории алгебраических чисел в настоящее время является теория Ивасавы. Эта теория возникла на рубеже пятидесятых - шестидесятых годов. Первые важные результаты в ней были получены самим Ивасавой [6]. С тех пор появилось большое число работ, посвященных этой теории (см. библиографию в [18]), или ее обобщениям на другие классы объектов. Одним из наиболее глубоких результатов, полученных в последние годы, является доказательство так называемой "Основной гипотезы" теории Ивасавы [4, 7, 19, 24].

Теория Ивасавы для произвольного, но фиксированного ( сопоставляет круговому Zf-pacumpeHHio к_х поля алгебраических чисел fc абелеву npo-f-rpyrmy Т^кх,), называемую модулем Тэйта (или модулем Ивасавы) поля к (ниже в этом разделе мы напомним ее определение). Теория Ивасавы изучает Те{кк,) как компактный Г-модуль, где Г = G(k„/k), и проводит аналогию между иим и модулем Тэйта алгебраической кривой, но эта аналогия не полна. Поэтому в [11] была сделана попытка улучшить эту теорию в случае, когда к — поле СМ-типа. Для такого поля был определен Г-модульЛг(й₀₀), который также реализуется как группа Галуа некоторого абелева расширения поля к^ и связан с Х)(оо) естественным эпиморфизмом А^к^) —> Те(к_х). Для простого нечетного І в предположении, что к содержит первообразный корень степени из единицы, на модуле А{(к_х) был достроен аналог скалярного произведения Вейля, и было доказано, что для ^-расширения полей СМ-типа К Ik имеет место аналог формулы Римана-Гурвпца для рода накрытия кривой- При этом Ze-ранг модуля А^к^) является аналогом величины 2g — род кривой.

Конструкция группы At(koo) существенно использует то обстоятельство, что любой _модуль Галуа В{к), фупкториально зависящий от поля CAf-типа fc, разлагается (при і ф 2) в прямую сумму В(к) = В⁺(к)($ В~{к), где автоморфизм комплексного сопряжения і действует на В*(к) и В~{к) умножением на +1 и — 1 соответственно.

В случае, когда к — произвольное поле алгебраических чисел, для любого локального поля fc„, где v\, определена невырожденная билинейная форма

S : ЩК) х Щк„) —> Qt, S(x,y) = S_?h/Ql{\₀gx-logy), (1)

где U(k_v) — группа единиц поля А;„, U(k_v) = U{k_b)lji(k_v), где ц(К) — группа всех корней из единицы в поле k_t и log означает ^-адический логарифм. Рассмотрим естественное диагональное отображение

і:Щк)[Ц-4А{к):=1[и(Ь,), (2)

где U{k)[\ — npo-f-пополнение группы U(k), k_v — пополнение fc в точке v и произведение берется по всем точкам поля к, лежащим нал . Предположим, что мы хотим определить подгруппы Л*(к) и А~(к) в этом случае. Тогда разумно было бы потребовать, чтобы Л⁺(к) содержала Iim из (2). Что касается гипотетической группы А~{к), то ее можно было бы определить как ортогональное

дополнение к А* {к) относительно подходящей билинейной формы. Естественным кандидатом на роль такой формы служит форма

S : Л(к) х А(к) —> Q_e, (3)

связанная с (1) равенством

где х, у Є А(к), х — ll^xvi У — П Vv, х„, У» Є U(k_v) и S_v — билинейная форма

(1)-

В приложениях нас в первую очередь интересует не индивидуальная форма (3), а набор форм S_n, рассматриваемый одновременно для всех промежуточных полей к„ кругового Г-расширения k_xjk. В диссертации мы проводим такое исследование форм S_n для поля fc, обладающего тем свойством, что его пополнения k_v абелевы для всех v\l (локальное поведение в остальных точках может быть любым). С этой целью мы конструируем новое произведение 2", которое заключает в себе информацию о формах S_n для всех п.

Мы даем ряд приложений к арифметике абелевых локальных полей — описание образа логарифмического отображения log : U(k_v) -4 fc„, явные формулы для символа нормешюто вычета и др. Кроме того, мы получаем некоторые приложения к гипотезе о 1-адическом регуляторе, выдвинутой в [12], и доказываем аналог формулы Римана-Гурвица для одного типа /-расширения полей алгебраических чисел, не являющихся полями CAf-тшіа. Далее, мы даем ряд приложений к теории круговых единиц, используя которые мы получаем несколько новых формул для числа классов вещественного абелева поля и уточняем ряд известных формул.

Цель работы.

1- Дать конструкцию и найти основные свойства спаривания 2' в круговом локальном поле, включая его взаимосвязь с символом Гильберта.

1. Рассмотреть приложения спаривания Г к задаче о -адическом регуляторе; доказать для некоторых частных случаев слабую гипотезу о -адическом регуляторе и аналог формулы Римана-Гурвица для рода.

2. Дать выражение для круговых единиц через специальный базис, определенный в терминах спаривания Т, и вывести отсюда некоторые свойства круговых единиц.

3. Дать приложение полученных результатов к формулам для числа классов вещественных абелевых полей, включая доказательство обобщенной гипотезы Гра для случая, когда рассматривается /-компонента группы классов вещественного абелева поля, по степень поля не предполагается взаимно простой с (..

Общая методика исследования.

Основным методом работы является систематическое использование философии теории Ивасавы. Многие основные результаты первоначально формулируются и доказываются для кругового Г-расширения fcoo нашего осиовиого

поля к, а затем результат устанавливается для доля к путем спуска с к^,. При этом существенно то, что для поля fc_M формулировка результата зачастую оказывается более красивой, а доказательство — более простым и естественным. Кроме того, важную роль играет использование спаривания Т, которое, несмотря на свою локальную природу, оказывается очень полезным и в глобальных задачах.

Научная нопизна.

Основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в алгебраической теории чисел. В частности, в теории Ивасавы и в теории абелевых полей алгебраических чисел. Представляет также интерес возможность обобщения наших локальных результатов на формальные группы.

Аппробация.

Результаты докладывались на следующих семинарах и конференциях:

1. Семинар рабочей группы "Алгебраическая геометрия и теория чисел" Института Макса Планка под руководством X. Коха (г. Берлин 1993 г.);

2. Международная конференция по алгебре и топологии (г. Казань 1994 г.);

3. Международная конференция по алгебраической геометрии (г. Ярославль 1994 г.);

4. Международная конференция "Теория Галуа локальных и глобальных полей" (г. Санкт-Петербург 1994 г.);

5. Семинар отдела алгебры МИРАН им. В. А. Стеклова под руководством И. Р. Шафаревича (1995 г.);

6. Заседание Гёттингенского Математического общества (г. Гёттинген 1995 г.).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, которые приведены в конце автореферата. Все работы по теме диссертации выполнены без соавторов.

Структура и объем работы.