Свободные и разрешимые произведения алгебр Ли Агалаков, Сергей Астафьевич

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Свободные произведения линейно упорядочиваемых алгебр ли 10

I. Предварительные замечания 10

2. Свободные произведения алгебр Ли с центральными системами 13

3. Свободные метабелевы произведения (разрешимых ступени -^ 2) алгебр Ли с центральными системами 20

ГЛАВА II. Базы свободных разрешимых.произведений (разрешимых) алгебр ли 25

I. Предварительные результаты 26

2. Основная конструкция . 30

3. Основная теорема 40

4. Центр свободного разрешимого произведения алгебр Ли 45

ГЛАВА III. Финитная отделимость в свободных разрешимых группах и алгебрах ли 47

I. Финитная отделимость в свободных разрешимых алгебрах Ли 48

2. Финитная отделимость в свободных разрешимых группах . 52

3. Финитная отделимость в свободных ассоциативных алгебрах 59

4. Свободные произведения ЯРА^-алгебр Ли. 61

Литература 68

• Свободные произведения алгебр Ли с центральными системами
• Основная конструкция
• Центр свободного разрешимого произведения алгебр Ли
• Финитная отделимость в свободных разрешимых группах

Введение к работе

Алгебры Ли появились в математике в конце XIX века в связи

с изучением групп Ли, а в неявной форме несколько раньше в механике. С течением времени роль алгебр Ли возрастала пропорционально месту, занимаемому группами Ли в математике (особенно в геометрии), а также в классической и квантовой механике. В конце прошлого и первой трети нынешнего века была развита классическая теория алгебр Ли - мощное средство линеаризации теоретико-групповых задач. Основным объектом этой теории являются конечномерные алгебры Ли над полем характеристики нуль,в первую очередь - над полями комплексных чисел. Современное состояние классической теории изложено в монографиях [4-3 , [7] . Не останавливаясь на обзоре этих вопросов, отметим, что выдающийся вклад в их решение и развитие связанной с нею теории групп Ли внесли советские математики А.И.Мальцев, Л.С.Понтрягин, И.Д. Адо, Ф.Р. Гантмахер, В.В.Морозов и другие.

Изучение отдельных видов бесконечномерных алгебр Ли началось одновременно с изучением конечномерных. Такие алгебры Ли естественно возникают при классификации примитивных псевдогрупп преобразований, предпринятой в 1909 году Э.Картаном [Зб] .Важные примеры бесконечномерных алгебр Ли появились в последнее время также в теории уравнений математической физики (например, для уравнения Кортевега - де Фриса) и в формальном вариационном исчислении (см. [9] ).

Таким образом, развитие различных областей математики привело к созданию абстрактной теории бесконечномерных алгебр Ли. Первые крупные результаты в этом направлении получены в конце 30-х годов нашего века Биркгофом и Виттом (теорема о вложении алгебр Ли в ассоциативные алгебры) и Магнусом (изучение связи

свободных групп и свободных алгебр Ли). Большим достижением в данной теории явились работы А.й.Кострикина (см. [14] ) по проблеме Энгеля для алгебр Ли, которые получили непосредственное приложение к решению ограниченной проблемы Бернсайда для групп простой экспоненты.

В 50-е годы исследования по бесконечномерным алгебрам Ли

*

были продолжены А.И.Ширшовым: в цикле работ [27 , 28, 29 , Зі] получены глубокие результаты о свободных алгебрах Ли и свободных произведениях алгебр Ли. Разработанные А.И.Ширшовым методы и полученные с их помощью результаты стали основой для построения теории алгебр Ли, близких к свободным. Дальнейшее развитие они получили в работах Л.А.Бокутя [2] и Г.П.Кукина [17 , 18] . Кроме того, ряд важных приложений теории алгебр Ли и ее методов в теории групп нашли А.Л.Шмелькин [33] и Ю.М.Горчаков [5 , б] . А.Й.Ширшов привлек внимание алгебраистов и к алгоритмическим проблемам теории алгебр Ли. В статье [30] он развил метод композиции, который позволил ему решить проблему равенства для алгебр Ли с одним соотношением и алгебр Ли с однородным множеством определяющих соотношений. В работе [32] А.И.Ширшов установил также разрешимость проблемы равенства для метабелевых алгебр Ли. В связи с этими работами возникли проблемы А.И.Ширшова о неразрешимости проблемы равенства в многообразиях всех алгебр Ли и разрешимых ступени h.^3 алгебр Ли. Первая из этих проблем решена Л.А.Бокутем '[3] , вторая -Г.П.Кукиным [19] .

В последние десять лет развивается теория упорядоченных алгебр Ли,начатая В.М.Кппытовым [13] . Напомним, что упорядоченная алгебра Ли <С L , ⁺ , * > ^ / над упорядоченным полем "R, есть упорядоченное векторное пространство < Ь₅+_; 4 / , удовлетворяющее дополнительному условию: если (X ^ % ,то <3. + Q.oc$

->"оэс для всех эс ez L, .Введение этого понятия, отличного от обычного для упорядоченной алгебраической системы (см.например [II] ), оправдано тем, что с его помощью удается построить содержательную теорию упорядоченных алгебр Ли. В настоящее время получен ряд основных результатов этой теории (см. [із] , [25] ). Многие из них аналогичны известным теоремам о линейно упорядочиваемых группах (см. Ill] ).В теории групп известна теорема Виноградова [II] : свободное произведение упорядочиваемых групп упорядочиваемо. В.М.Копытов в [8] поставил аналогичную задачу 1.76 для алгебр Ли.

Инициатором исследования групп и других алгебраических систем с точки зрения их аппроксимируемости и связи понятия финитной аппроксимируемости с алгоритмическими проблемами является академик А.И.Мальцев [24] . В его работах сформулировано общее понятие аппроксимируемости алгебраических объектов относительно предикатов и получен ряд основополагающих результатов. Интерес к этим работам нашел отражение в трудах как советских (А.И.Мальцев, М.Й.Каргаполов, Ю.И.Мерзляков, А.Ю.Ольшанский,В.П.Платонов, В.Н.Ремесленников,Ю.М.Рябухин,Д.М.Смирнов и другие), так и зарубежных (Г.Баумслаг,Н.Блэкбэрн, К.Гирш, Ф.Гроувз,Р.Маккензи, ;Ф.Холл и другие) алгебраистов. А.И.Мальцев установил в [24] критерий,когда в разрешимой группе все подгруппы являются финитно отделимыми.В связи с этим М.Й.Каргаполов в [15] поставил следующую задачу 2.19: являются ли финитно отделимыми конечно-порожденные подгруппы свободной разрешимой группы? Аналогичный вопрос 2.63 для алгебр Ли сформулировал в [8] Г.П.Кукин. Ю.А.Бахтурин дал положительный ответ в случае свободной метабе-левой алгебры Ли (см. [і] , [35] ).

В настоящей диссертации изучаются вопросы структурного

характера для свободных и разрешимых произведений алгебр Ли, а также финитная отделимость в группах, ассоциативных и лиевых

алгебрах.

В первой главе диссертации рассматриваются алгебры Ли с центральными системами. Актуальность изучения таких алгебр

обоснована следующими обстоятельствами. Во-первых, класс групп с центральными системами - это один из хорошо известных клас -сов Куроша - Черникова (см. [21] ). Во-вторых, В.М. Копытов дал следующую характеризацию линейно упорядочиваемых алгебр Ли, аналогичную критерию А.И. Мальцева линейной упорядочиваемости групп.

КРИТЕРИЙ [із] . Алгебра Ли L над упорядоченным полем ^R тогда и только тогда допускает линейное упорядочение, когда она

обладает центральной системой, то есть линейно упорядоченной по включению системой идеалов^ , содержащей нулевой идеал и всю алгебру U , замкнутой относительно объединений и пересечений элементов из и обладающей тем свойством, что для любого скачка t\> пу сие темы 2 ( то есть пары элементов из S ,между которыми нет других элементов, принадлежащих z_. ) выполняется

If-

включение AtfL С г\#

Совместно с А.С. Штерном нами доказана

ТЕОРЕМА I.I. Пусть х- произвольное поле. Свободное произведение алгебр Ли {, Е^ |oLeft[ над полем ft, ,каждая из

которых обладает центральной системой, является алгеброй Ли с центральной системой.

В частности, это дает положительный ответ на вопрос В.М.Копытова об упорядочиваемости свободных произведений упорядочиваемых алгебр Ли.

В главе I результат, аналогичный теореме I.I. доказан так-

же для свободных метабелевых произведений разрешимых ступени ^^ алгебр Ли (теорема 1.2.).

Вторая глава посвящена свободным разрешимым произведениям алгебр Ли, то есть свободным произведениям в многообразии OL разрешимых ступени ^ *ъ алгебр Ли. Изучение свободных произведений в многообразии всех алгебр Ли было начато работой А.И.Ширшова [Зі] .В ней построена база свободного произведения алгебр Ли П Е^ по базам сомножителей ( Е^т и получены ре -зультаты о подалгебрах свободного произведения алгебр Ли. Описание произвольных подалгебр свободного произведения алгебр Ли в терминах порождающих и определяющих соотношений получено Г.П.Кукиным [17] . Основной результат данной главы заключается в построении при любом ha>/l базы (Vy\-A) -го коммутанта Li свободного произведения L⁼ П В^ разрешимых ступени ^\Ь (ИЛ 2,) алгебр Ли -^ Еоь 1 oLef\j по модулю m-го коммутанта этого произведения (теорема 2.1). В частности, мы получаем базу свободного разрешимого произведения L~ (In Eol алгебр Ли { E^J , согласованную с рядом коммутантов произведения U . Непосредственно из вида элементов построенной базы удается получить описание некоторых подалгебр свободного разрешимого произведения (следствие 2 теоремы 2.1). Например, подалгебра, порожден-

I⁴ Г" ^ ' N Г-

ная в L hi-ми коммутантами Ь^ (m ^-КИ) алгебр t^ , является свободным разрешимым произведением [~] _п__т Е этих коммутантов ступени h.-wv .Кроме того, указана база свободного разрешимого произведения L" Пи Е*. » состоящая из правильных

с'-СЛОВ специального вида от свободных порождающих декартовой подалгебры свободного произведения L ⁼ П Е « и базисных элемен-тов алгебр Е^ _} «l (г п ,выбранных с помощью рядов коммутантов этих алгебр (см.следствие 3 теоремы 2.1).

В конце главы П доказана теорема 2.2. о том, что центр свободного разрешимого произведения ненулевых алгебр Ли тривиален, то есть состоит из одного нуля.

В третьей главе решены проблема М.И. Каргаполова из "Коуров-ской тетради" о финитной отделимости конечно-порожденных подгрупп

свободной разрешимой группы и аналогичная задача Г.П. Кукина для

алгебр Ли. Точнее, получены следующие результаты:

ТЕОРЕМА 3.1. Свободная разрешимая алгебра Ли ступени ПЛЪ (ранга no>,Z, ) над произвольным полем "к, содержит финитно

неотделимые конечно-порожденные подалгебры.

ТЕОРЕМА 3.2. Свободная разрешимая группа ступени п>/ Ъ (ранга yv\>,Z ) содержит финитно неотделимые конечно-порожденные подгруппы.

Заметим, что вначале нами была доказана теорема 3.1. для алгебр Ли. Затем техника, используемая при доказательстве этой теоремы, была перенесена в групповую ситуацию и получен соответствующий результат для групп.

Аналогичный результат доказан нами также для свободных ассоциативных алгебр.

ТЕОРЕМА 3.3. Свободная ассоциативная алгебра ранга Ги>/2о над произвольным полем. Ик/ содержит финитно неотделимые конечно-порожденные подалгебры.

В теории групп известна теорема Н.С. Романовского [26] : свободное произведение групп, финитно аппроксимируемых относительно вхождения в конечно-порожденные подгруппы ( ФАВьг групп), является ФАб^ группой. Г.П. Кукин показал [20] ,что сво -бодная алгебра Ли над полем положительной характеристики является финитно аппроксимируемой относительно вхождения в конечно-порожденные подалгебры Ли (то есть Ф\&сх>- алгеброй Ли). Для

свободных алгебр Ли над полем нулевой характеристики соответствующий вопрос остается открытым (см. [8] .).

В конце главы Ш приведены примеры, показывающие, что аналог теоремы Н.С.Романовского для алгебр Ли не верен над любым

полем (предложение 3.1), причем над.полем нулевой характеристики соответствующее утверждение не верно даже для свободного, произведения двух конечномерных алгебр Ли (предложение 3.2).

Основным методом диссертации является разработанный А.И.Ширшовым [27, 29] комбинаторный метод для алгебр Ли,развитый в дальнейшем в работах Л.А.Бокутя., [2] и Г.П.Кукина [17,18],

Диссертация состоит из введения и трех глав. Нумерация определений, формул,лемм и теорем ведется отдельно по главам. Несколько слов об определениях.Все они являются общепринятыми. Так,отсутствие скобок на одночлене oc^'h-'L, из алгебры Ли означает их правую расстановку: (> (С^^Ъ )х , а запись х. g. --Ъ -сокращение записи Х- у. ^ - " Ч . Определение правильных по А.И.Ширшову слов есть в книге [12] . Остальные ссылки сделаны ниже, в тексте нашей работы.

Основные результаты диссертации были доложены на Всесоюзных алгебраических конференциях (Красноярск,1979 год,Минск,1983 год), на Всесоюзном симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (Кишинев,1980 год),на семинаре "Алгебра и логика" (Новосибирск, НГУ и ИМ СО АН СССР), на семинаре алгебраистов Омского университета.

По теме диссертации имеется б публикаций, в том числе 3 -тезисы на Всесоюзных конференциях [4-0, 4-І, 4-2] , 3 журнальных статьи [37, 38, 39] .

Заключая введение,автор благодарит Г.П.Кукина за постановку

задач и полезные обсуждения, В.Н.Ремесленникова за внимание к работе.

10 Г Л А В A I

СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛИНЕЙНО ' УПОРЯДОЧИВАЕМЫХ АЛГЕБР ЛИ

В этой главе рассматриваются алгебры Ли с центральными системами над произвольным полем Я . Основной результат - теорема

I.I. о том, что свободное произведение алгебр Ли с центральными системами является алгеброй Ли с центральной системой (доказан в соавторстве с А.С. Штерном [4-0] ). В качестве следствия (над упорядоченным полем) получаем, что свободное произведение линейно упорядочиваемых алгебр Ли линейно упорядочиваемо. Это дает положительный ответ на вопрос В.М. Копытова из "Днестровской тетради".

Доказано также утверждение, аналогичное теореме I.I., для свободных метабелевых произведений разрешимых ступени ^& алгебр Ли(см. 3, теорема 1.2).

I. Предварительные замечания

Пусть А,6- алгебры Ли над полем

-/&}'li^cJjT некоторые фиксированные базы алгебр Ли ft иВ соответственно. Считаем, что множества I и 3 линейно упорядочены, Положим &;_> \э- для всех L I *

ОПРЕДЕЛЕНИЕ I.I. Одночлены с правонормированной расстановкой скобок вида

где l₀I_a -- &'Ч> , J1 < ^ , S>,0 , К^/1 ₉ назовем а_л -словами от -(Сс^ , І 4j J

Известно [іб] , [3*f] ,что декартова подалгебра J) (ядро

II "

естественного гомоморфизма свободного произведения А*В> алгебр Ли А и ' В на прямое произведение этих алгебр) является свободной алгеброй Ли.

ЛЕММА I.I. Множество всех d- слов от -ja-\₃{Щ^ является множеством свободных порождающих свободной алгебры Ли D.

Эта лемма доказана в работах [16] , [34] .

В качестве базы свободной алгебры Ли мы будем использовать в дальнейшем множество всех правильных слов от ее свободных порождающих (см. [12] или [28] ).

ЛЕММА 1.2. Пусть <Ь - свободная алгебра Ли с базой 1С из правильных слов от свободных порождающих S()() , линейно упорядоченных некоторым способом.

Тогда для любых и., V Є

и его ассоциативный носитель W^ (слово,полученное из v/_K опусканием скобок) не превосходит ассоциативного носителя Т/л? слова иіґ в смысле лексикографического порядка.

Лемма 1.2. доказана в работе А.И.Ширшова [28] .

Упорядочим сі, - слова лексикографически слева направо, считая, что начальное подслово старше всего слова. В качестве базы декартовой подалгебры D свободного произведения алгебр Ли А иВ мы будем рассматривать множество всех правильных слов от d^- слов. Правильные слова от J^-слов сравниваем лексикографически слева направо, считая, что начальное подслово старше

всего слова.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Центральная система

в алгебре Ли U - это линейно упорядоченная по включению система идеалов . 2. , содержащая нулевой идеал и всю алгебру L і

замкнутая относительно объединений и пересечений любого количества элементов из "Z! и обладающая тем свойством, что для любо-

го скачка (л ^э г\ системы 2 (то есть пары элементов из !Е^

между которыми нет других элементов,принадлежащих S ) выпол-

няется включение

Пусть L - произвольная алгебра Ли над полем "R с централь
ной системой ^. = і L* | Г Є Г ^ причем множество Г
упорядочено: U> S ,если и только если L₂ 2 L .
Для каждого скачка L-g ^> Ь# центральной системы Л, вы
берем и зафиксируем базу идеала Lj*- по мо
дулю L^ . Считаем,что множества Ig- для каждого Y&I упоря
дочены некоторым образом. На множестве ^ - U l^tfc |СеГ_я]баз
скачков системы 5С введем линейный порядок. Пусть ex*. jQ-SjfcdJ.
По определению, 61^ > Q&- тогда и только тогда, когда либо
V > S ,либо tf = S и С > j .

Очевидно,что для любого ненулевого элемента Си алгебры Ли L существует такой скачок 1- ^L у системы S , что & eL^Lft. Поэтому .его можно однозначно представить в виде.

a = 2.^ +а₀ (1.2).

где Q₀Cu^ ..Пусть Сищь -наибольший из Q.^ уходящих в запись, (1.2) элемента О. . Элемент G.*j₀ будем называть в дальнейшем старшим членом элемента и обозначать через О. .

В этой главе (без особого упоминания) базы в любой алгебре Ли Ь с центральной системой"^ считаются упорядоченными с соблюдением следующего условия. Если а, - элементы некоторой базы алгебры Lj ,то из а^ё должно следовать,что Q^& в смысле введенного на множестве *ю баз скачков системы lL порядка.

2. Свободные произведения алгебр Ли с центральными системами

ТЕОРЕМА І.І. Пусть "К -произвольное поле. Свободное произведение П &^ алгебр Ли E^l-,^^^ ^наД полем "к , каждая из которых обладает центральной системой,является алгеброй Ли с центральной системой.

Легко заметить,что утверждение этой теоремы достаточно доказать для свободного произведения А-*В двух алгебр Ли А и D с центральными системами. Идея построения центральной системы в алгебре А*Ь основана на следующем замечании. Всякому правильному слову Ю от d., -слов можно сопопта-вить слово tc ,полученное из 1с заменой всех входящих в него базисных элементов Qi~ ₃ &І& алгебр А и Б

их старшие члены ^CLc_9C j'&jV ,которое, очевидно,является правильным словом от сі, -слов в алфавите

В общем случае каждому элементу W свободного произведения А* В мы сопоставим аналогичное слово w и с помощью этого соответствия построим центральную систему в алгебре Ли п*Е> .

.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ I.I, опирается на ряд следующих
лемм. Пусть -алгебры Ли над полем ft, с цент-

ральными системами

^ = b'{^'Uer,UT^ _и &_fi4J[&Sj | Sek^s}-объединение баз скачков центральных систем IL^ и Zg соответственно.

МА 1.3. Для любого элемента W декартовой подалгебры D свободного произведения р\* > существуют такие базы 1Я^,|б}] алгебр А и D ,что различные С^ (аналогично различные%.), входящие в запись W в виде линейной комбинации правильных слов от d^ -слов в алфавите -(0-^Д&^у,имеют различные

14-старшие члены.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что в запись любого элемента W ]} в виде линейной комбинации правильных слов от сЦ -слов входит лишь конечное число Сц-слов. С другой стороны, в свободной алгебре Ли произведение правильных слов выражается через правильные слова, имеющие тот же состав, что и само произведение (см.,например, [2] или [28] ). Следовательно, достаточно показать, что утверждение леммы справедливо для любого конечного набора сЦ -слов ^ _; ^г, . - ₇ -^«ъ .

Проведем построение нужной нам базы в алгебре А (построение базы в алгебре и аналогичное). Применяя алгоритм Гаусса (из теории систем линейных уравнений), в любой базе алгебры h всегда можно заменить конечное число элементов на такие, среди которых не будет элементов с одинаковыми старшими членами. Заменим вначале базисные элементы в тех с^ -словах +ч*--,'?^» которые имеют наибольшую длину N .При этом в новой записи слов <^ . . ;'?ї-к базисные буквы с совпадающими старшими членами могут возникать лишь в более коротких сЦ -словах Q^L (их конечное число). Теперь заменим базисные буквы'в словах /|j*,Q(' длины N~l , не изменяя базисных элементов,входящих в запись d+ -слов длины Ы .Это, очевидно, легко сделать. Ясно, что через конечное число преобразований такого типа мы получим нужную нам запись элементов Л_л Л^-- _}%і» Лемма доказана.

Пусть теперь в новую запись элемента w^Jj входят базисные элементы Ql^ ---,0.:^, _и ^<м₃"-)%*< алгебр соответственно. Построим для данного элемента W базу алгебры Л специального вида (построение такой же базы в алгебре Q> проводится аналогично). Для этого рассмотрим скачки центральной системы,соответствующие элементам Q.^ L -I^C^vlj :

Выберем в идеале А* произвольным образом базу и дополним ее до базы идеала /W,„ при помощи базы скачка iO-t^l |i.el-ujr. Полученную базу Аї^ дополним произвольно до базы А-б^ *^а затем при помощи базы скачка ^і^.^ п^_и -до базы Atfwi-i Продолжая этот процесс,через конечное число шагов получим базу идеала Ау , которую произвольно дополним до базы всей алгебры

А . Построенную таким образом базу назовем базой скачков алгебры А для да ндо го элемен Taw е]) .

Пусть w^Sdi^i - запись элемента u/бТ) через правильные слова от о!^ -слов в базах из леммы 1.3., Ц> - наибольшее из правильных слов наименьшей длины (относительно Суслов), встречающихся в данной записи. Запишем теперь элемент W₀ через правильные слова от А_л -слов в базах скачков для W и обозначим W - наибольшее из правильных слов наименьшей длины в этой записи. Тем самым мы сопоставили каждому ненулевому элементу weD некоторое правильное слово W* , которое назовем старшим членом элемента^.

ЗАМЕЧАНИЕ I.I. Старший член любого ненулевого элемента Wj) (и коэффициент при нем) определяется однозначно.

Действительно, пусть ненулевой элемент w^D записан двумя различными способами в базах из леммы 1.3. Очевидно, что построение баз скачков для базисных элементов алгебр А и о уходящих в обе записи W ,можно проводить одновременно. В итоге мы получим две записи одного и того же элемента V через правильные слова от 6_І -слов в одном и том же алфавите. Так как Д) -свободная алгебра Ли, то старшие члены (и коэффициенты при них) в обеих записях должны совпадать.

ЛЕММА І Л. Пусть запись

произвольного 6^ -слова і в базах скачков алгебр Ли А и и по модулю квадрата О алгебры Ли D . Предположим, что старший член <і слова d-базисных элементов G-_e "бл на их старшие члены О.- , и,₊ . Тогда:

I. При всех (X слово ^ старше любо-

го d, - слова из записи элементов у&, у'Х> через базы скачков.

-Х- Х-

имеет старший член О. такой, что а не

меньше любого 0,^ из записи ^ , то у ее - старший член элемента <(-Q. .

3. Если "f= Q^o^--'o^_K и элемент &^D имеет старший член в такой, что & ^ &j*_ (_ А t ^ к) , то f о- старший

член элемента

₄^g_-

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Все утверждения этой леммы доказываются стандартным способом, с использованием тождества Якоби. Докажем, для примера, пункт I. Пусть d^-слово у имеет вид

и пусть /-=а_гов^--б^а^ — cL^ ( -t+n ^ k+s).

Так как Лт старше ^ , то возможны следующие случаи:

а^о^,.-- /а^а^., ,a^>a_tm (*.&&).

Запишем элемент Cl t А через базу скачков алгебры А для элемента < : Cl-oQ. +5,%. Рассмотрим процесс приведения произве-дения "Ji'^s к линейной комбинации о.,| -слов по модулю -D . Если этот процесс не доходит до CWvv^ ,то мы, очевидно,получаем сц -слова,меньшие > . Если же процесс приведения затрагивает элемент Q-t-w^ »то есть мы получаем слово

причем Cl_s < d^^ то, используя тождество Якоби,имеем

а^ё_и- 6^- Sw^A- -^ **&; ^^QV*'^Q^i ^)V\-
Так как a) ><2* ,то G_t -c?_s = ^.Y_ua_< ,где а_к из базы
скачков алгебры А и Q^< ^а^(по свойству базы скачков).
Следовательно, мы получаем слова, которые лексикографически
меньше слова < .То же самое происходит,когда процесс

идет дальше элемента ^-г^ . Случаи

б) ^al"^a*o, ^v^r^v C^f,.--,^ )^^),^

%и

_в) a,₀=a,_o , 4% = в^ C^V-»* ", ^к""^

t₀ ^То ) ^UJ'

разбираются аналогично.

Таким образом, алгоритм произведения 5 к сц-сло-вам по модулю J3 все время дает слова, меньшие л .Точно также и произведения -/-О. і a* Я (Х₅ выражаются по модулю

Т) через сЦ -слова, которые не превосходят А Лемма доказана.

* ^э fc-t

ЛЕММА 1.5. Старший член W* элемента WeT) получается из слова W₀ заменой всех входящих в него базисных букв a^ fe_v-

на их старшие члены GL- в

t 5 ^t

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Легко видеть, что доказательство достаточно проводить для случая,когда W -правильное слово от с!_гслов

в базах из леммы 1.3.

Если W - А_л -слово, то утверждение леммы выводится индукцией по длине сі,-слова с помощью леммы 1.4. Предположим, что утверждение леммы справедливо для всех правильных слов от d .-слов длины ^ N .

Пусть W - правильное слово длины N/>1 . Тогда w=U7/

где и^їґ - правильные слова длины К и иг соответственно,причем к+ vvi = N .В силу предположения индукции имеем

IL = в 1С* -Н S о^ U {. С wuoci ЛУ * )

где и* > и^ ^ъ*? If; и слова U*^1r* получены из слов и._}7Г соответственно заменой всех базисных элементов алгебр А и Б на их старшие члены. Тогда w ~иъ^= ^^15^)+-^01^^:^) +

Слово u*"tr* является, очевидно, правильным и, следовательно, старше слова гг*~и_* . Поэтому и?іу*~ -старше всех произведений u-гг* u*tf/ U_cif- входящих в запись элемента \д/ . приводим эти произведения к линейной комбинации правильных слов и получаем в силу леммы 1.2., что старший член W есть слово u. fc' . Лемма доказана.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ I.I. Рассмотрим всевозможные
d^-слова в алфавите д и 3 (баз всех скачков центральных
систем ^^ и Sg алгебр Ли /V и Р) ) и обозначим через ЪЬ
множество всех правильных слов от этих cL, -слов. Согласно I
элементы множества и. упорядочены лексикографически слева напра
во, причем начальное подслово старше всего слова. Продолжим ли
нейные порядки множеств "dj(\ j'dJft XL до линейного порядка мно
жества ,где О - нулевой элемент алгебры
Ли А*Ь . Полагаем, по определению, G^ > &Ъ(> и.>0 для

всех а$- б зЬч ^^- ^ &в , "- ^

Сопоставим каждому элементу w свободного произведения А* В алгебр Ли А и В старший член W* . Старший член нулевого элемента 0 полагаем равным этому же элементу. Пусть теперь W -ненулевой элемент из (\&Ъ Тогда W однозначно представим в

19 виде

.?

W — u/д + W(3, -+- w j)

где w^e P\ Wp, Б \л/_э rl) .Старшим членом sieieHiaW назовем наибольший из. старших членов элементов \л/д_ _i к/_ь \л^ в смысле порядка на множестве Р

Определенное таким образом отображение ^ , w -=? W* из алгебры /\* В в множество Р однозначно. Это следует из определения старших членов в алгебрах А_?Ё> и D и замечания I.I.

Построим центральную систему в свободном произведенииЬА*Ь алгебр Ли А и В .В линейно упорядоченном множестве Р выделим все подмножества г,\ , X & Л- обладающие следующим свойством: если g t Р j і Рх -1>а, то g. гх . Рассмотрим в алгебре Ли L систему подмножеств S ~ і Цх | ^ ^ i^J ,где при. всех ХеА L_A - полный прообраз в L множества ?_h относительно отображения У . Очевидно,что система подмножеств >(_р^|хеМ множества К линейно упорядочена по включению и замкнута относительно объединений и пересечений любого числа своих элементов. Следовательно, этими же свойствами обладает и система множеств 2 в алгебре u . Заметим теперь, что множества 1_к при всех \JV являются идеалами алгебры Ли L и для каждого скачка ь_л^эЬ^ системы ^2 выполняется условие:

Это следует из определений старшего члена элемента алгебры L, множеств L^ A fc-А и следующего утверждения: если W -правильное слово от J^ - слов, ос (=. /\ или х fc > , то

старший член элемента Wo, строго меньше старшего члена слова W. Последнее утверждение легко доказывается индукцией по длине

правильного слова от ^ -слов с помощью лемм I.I, 1.4, и 1.5.

Таким образом, система множеств S ⁼ {L^J_/\| Х^Л.} является центральной системой алгебры Ли L . Теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть "К - упорядоченное поле, {. Е^ К^А]' линейно упорядочиваемые алгебры Ли над полем "Н, . Свободное произведение П Е^ ,алгебр Ли г Ц»Д является линейно упорядочиваемой алгеброй Ли.

Действительно, над линейно упорядоченным полем наличие линейного порядка в алгебре Ли эквивалентно существованию в ней

центральной системы, (см. введение к диссертации или [із] ).

Заметим, что для доупорядочиваемых алгебр Ли, то есть алгебр Ли, в которых любой порядок продолжается до линейного, аналогичное утверждение не верно. В работе Н.Я.Медведева [25] показано, что свойство доупорядочиваемости переносится на гомоморфные образы. Если бы оно переносилось и на свободные произведения, то мы получили бы, что доупорядочиваемы свободные алгебры Ли, а значит, и вообще все алгебры Ли. Последнее, очевидно, не верно.

3. Свободные метабелевы произведения (разрешимых ступени -2, ) алгебр Ли с центральными системами.

В этом параграфе мы докажем результат, аналогичный теореме І.І. для свободного произведения в многообразии (УС- разрешимых ступени ^ 2, алгебр Ли.

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть \ - произвольное поле, {EcJ^j -разрешимые ступени ^ Ь алгебры Ли над полем "R с центральными системами. Свободное метабелево произведение L⁼ П ь Ц

алгебр Ли і Е^]- является алгеброй Ли с центральной системой.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно показать справедливость этой теоремы для свободного метабелева произведения Lf г\% Б двух алгебр

Ли обладающих центральными-системами. Главное,

что нам нужно сделать, - это сопоставить каждому элементу свободного метабелева произведения L⁼ п *t О старший член таким образом, чтобы выполнялся аналог леммы ІЛ о старших членах в нашей ситуации.

Построение центральной системы в алгебре L полностью повто -ряет соответствующий процесс из доказательства теоремы I.I и мы его опускаем.

Сделаем теперь некоторые замечания и докажем необходимые для доказательства теоремы 1.2 утверждения.

ЗАМЕЧАНИЕ 1,2. Любую центральную систему 2_, в алгебре Ли L можно преобразовать в такую центральную систему "^ которая содержит в качестве элемента коммутант L алгебры и .

Действительно, если *2 ⁼\ L-3 I й t lj - центральная система алгебры Ли Ь ,то положим Очевидно, что L ^ и система Z-, является центральной.

Пусть теперь L - разрешимая ступени -2, алгебра Ли с центральной системой, перестроённой в соответствии с замечанием 1.2; I^G-lI ї-^іц - база алгебры ь по модулю коммутанта ь , {_СЦІ^Дьі - база коммутанта L . Элементы базы {^К^ьг U \_d\ 1\^3ь\ алгебры L считаем упорядоченными в соответствии с их старшими членами (см. I). Очевидно, в этом случае Q-ХЗ^' для всех l ёг 1_{L ?} І &3l

Рассмотрим разрешимые ступени ^ cL алгебры Ли [\ и D над полем V^ с центральными системами. Пусть -$^ - !&;_ I ^ ^-Л^и

алгебр А и В соответственно, выбранные и упорядоченные описанным выше способом.

ЛЕММА 1.6. База свободного метабелева произведения LT n^JD

алгебр Ли Ди в состоит из элементов баз df^ , -г_в алгебр Р\ и В и всевозможных одночленов следующих видов:

Oj йе ве_ч- - й_Є(< а_й Q.i_{Si (1Л})

где a_t'^a^$ --- ^a_Cs , &е^&,> -- ^$б_Єк ,k,s^o.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению свободное метабелево произведение L ⁼ П г, Е^ . алгебр Ли \ ЕЛ из ОЬ есть

фактор-алгебра свободного произведения L~ П Е^ алгебр Ли

; г- І | (2.) ^

-(Ьл по его второму коммутанту L . Поэтому вычисления

достаточно вести в свободном произведении Ь-п*"и алгебр Ли А: и В по модулю второго коммутанта L

По лемме I.I всевозможные el.-слова от базисных элемен-тов \~{ ^CL:¹] _}\.bifi;\ алгебр Ли ft и В являются свободными порождающими декартовой подалгебры D свободного произведения L~/\*b этих алгебр. Одночлены серии (1.3) - (1.5) являются Л_л - словами и, следовательно, линейно независимы с остальными d - словами по модулю квадрата X^і алгебры 1) Отсюда, пользуясь определением 6.-го коммутанта L LO/о) алгебры Ли Ь , легко получить требуемое утверждение. Лемма доказана.

Одночлены вида (1.3) - (1.5) в дальнейшем сравниваем лексикографически слева направо, считая, что начальное подслово

старше всего слова.

ЛЕММА 1.7. Пусть 4f - одночлен серии (1.3) - (1.5) ^^ ^ ґ . Тогда в алгебре L

где ± -одночлены серии (1.3) - (1.5) и

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если C_t { Q.\ | д t CfA ) ^ І ^j 1 і ^6\,

то -с^О. Пусть qt.^Q.|teI_AVj u^^lLi:!^. В этом случае доказательство леммы проводится стандартным образом, с использованием тождества Якоби. Рассмотрим, например, случай, когда "J- -одночлен вида (1.3), то есть 4=0^^-- -&е_к ^{х х}Он'--%Пусть С_г- йуи _?^І_А.Если avw^^a«-'s *^то 4^а^~ одночлен вида (1.3) и,очевидно, меньше .Если же а^<0/ ,то при Ccw^Ql в алгебре имеем:

где Q^ * Qv,<% (0^^Qv*^ &i имеем

где г-і^сі^ - QjU.hh в алгебре L .

В первом случае мы получаем одночлен вида (1.3), который меньше / .Во втором случае первое слагаемое дает одночлен вида (1.3) так же не превосходящий Л. ,а остальные слагаемые являются словами вида (1.4), которые меньше в силу введенного нами порядка.

Мы доказали лемму 1.7 для случая,когда А. -слово вида (1.3).В остальных случаях доказательство аналогичное.Лемма Доказана.

Пусть тепврь Ц, -множество всех слов вида (1.3) - (1.5) из
леммы 1.6. Продолжим линейные порядки множеств 5 э^6₅
до линейного порядка множества ,где

О -нулевой элемент алгебры L⁼ f\ * В, следующим образом.Пола-гаем, по определению, Сс > & > и > о для всех СсЄіод ^6 wtu, Пусть W -ненулевой элемент алгебры [_, .По лемме

_{і.б. w~ w^+ w6 + 2,0^-w-}

і. ^з .

где w/д. (= Д W₆ fe& , w^ -слова вида (1.3) - (1.6). Старшим члено мУ назовем наибольший из эле-

ментов w_ft W_& іл/V в смысле порядка на множестве Р . Старший член О*нулевого элемента 0 полагаем равным этому же элементу.

Далее, так же как и при доказательстве теоремы I.I, строим центральную систему в алгебре L . Теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть % ~ линейно упорядоченное поле, {Ец |о6-А]-линейно упорядочиваемые алгебры Ли из многообразия Ol над полем Нь . Свободное метабелево произведение Lf ПгЕ\ алгебр Ли {. E^j является линейно упорядочиваемой алгеброй Ли.

Свободные произведения алгебр Ли с центральными системами

ТЕОРЕМА І.І. Пусть "К -произвольное поле. Свободное произведение П & алгебр Ли E L-, наД полем "к , каждая из которых обладает центральной системой,является алгеброй Ли с центральной системой. на Легко заметить,что утверждение этой теоремы достаточно доказать для свободного произведения А- В двух алгебр Ли А и D с центральными системами. Идея построения центральной системы в алгебре А Ь основана на следующем замечании. Всякому правильному слову Ю от d., -слов можно сопопта-вить слово tc ,полученное из 1с заменой всех входящих в него базисных элементов Qi 3 &І& алгебр А и Б их старшие члены CLc9C J &JV ,которое, очевидно,является правильным словом от сі, -слов в алфавите В общем случае каждому элементу W свободного произведения А В мы сопоставим аналогичное слово w и с помощью этого соответствия построим центральную систему в алгебре Ли п Е . .ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ I.I, опирается на ряд следующих лемм. Пусть -алгебры Ли над полем ft, с цент ральными системами = b { Uer,UT и &fi4J[&Sj Sek s}-объединение баз скачков центральных систем IL и Zg соответственно. МА 1.3. Для любого элемента W декартовой подалгебры D свободного произведения р\ существуют такие базы 1Я ,б}] алгебр А и D ,что различные С (аналогично различные%.), входящие в запись W в виде линейной комбинации правильных слов от d -слов в алфавите -(0- Д& у,имеют различные старшие члены. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что в запись любого элемента W ]} в виде линейной комбинации правильных слов от сЦ -слов входит лишь конечное число Сц-слов. С другой стороны, в свободной алгебре Ли произведение правильных слов выражается через правильные слова, имеющие тот же состав, что и само произведение (см.,например, [2] или [28] ). Следовательно, достаточно показать, что утверждение леммы справедливо для любого конечного набора сЦ -слов ; г, . - 7 - «ъ .

Проведем построение нужной нам базы в алгебре А (построение базы в алгебре и аналогичное). Применяя алгоритм Гаусса (из теории систем линейных уравнений), в любой базе алгебры h всегда можно заменить конечное число элементов на такие, среди которых не будет элементов с одинаковыми старшими членами. Заменим вначале базисные элементы в тех с -словах +ч --, » которые имеют наибольшую длину N .При этом в новой записи слов . . ; ї-к базисные буквы с совпадающими старшими членами могут возникать лишь в более коротких сЦ -словах Q L (их конечное число). Теперь заменим базисные буквы в словах /j ,Q( длины N l , не изменяя базисных элементов,входящих в запись d+ -слов длины Ы .Это, очевидно, легко сделать. Ясно, что через конечное число преобразований такого типа мы получим нужную нам запись элементов Лл Л -- }%і» Лемма доказана. Пусть теперь в новую запись элемента w Jj входят базисные элементы QL ---,0.: , и м3"-)% алгебр соответственно. Построим для данного элемента W базу алгебры Л специального вида (построение такой же базы в алгебре Q проводится аналогично). Для этого рассмотрим скачки центральной системы,соответствующие элементам Q. L -I C VLJ : Выберем в идеале А произвольным образом базу и дополним ее до базы идеала /W,„ при помощи базы скачка iO l i.el-ujr. Полученную базу Аї дополним произвольно до базы А-б а затем при помощи базы скачка і . п и -до базы Atfwi-i Продолжая этот процесс,через конечное число шагов получим базу идеала Ау , которую произвольно дополним до базы всей алгебры А . Построенную таким образом базу назовем базой скачков алгебры А для да ндо го элемен Taw е]) . Пусть w Sdi i - запись элемента u/бТ) через правильные слова от о! -слов в базах из леммы 1.3., Ц - наибольшее из правильных слов наименьшей длины (относительно Суслов), встречающихся в данной записи. Запишем теперь элемент W0 через правильные слова от Ал -слов в базах скачков для W и обозначим W - наибольшее из правильных слов наименьшей длины в этой записи. Тем самым мы сопоставили каждому ненулевому элементу weD некоторое правильное слово W , которое назовем старшим членом элемента . ЗАМЕЧАНИЕ I.I. Старший член любого ненулевого элемента Wj) (и коэффициент при нем) определяется однозначно. Действительно, пусть ненулевой элемент w D записан двумя различными способами в базах из леммы 1.3. Очевидно, что построение баз скачков для базисных элементов алгебр А и о уходящих в обе записи W ,можно проводить одновременно. В итоге мы получим две записи одного и того же элемента V через правильные слова от 6І -слов в одном и том же алфавите. Так как Д) -свободная алгебра Ли, то старшие члены (и коэффициенты при них) в обеих записях должны совпадать.

Основная конструкция

Пусть е ; - /л -разрешимые ступени -п (п. / 2.) алгебры ли над полем - их базы из i. определение 2.3. пусть w-произвольное правильное слово веса vr\ /3 с ассоциативным носителем (словом, полученным из w опусканием скобок) rv7 - -jл 4г, " 4ъ где вес каждого белова tyi не превосходит 1м-1 . сопоставим w правильное слово w с ассоциативным носителем г\л/ = ,g $ " "tt »где j. -7г -слово и g = с -с ,причем к / 1 , vcc j m, 1г(с .+1) = (с и при 1=1,а,,.--,ки, и той же расстановкой скобок, что и у слова w . слово w назовем выделенным состава ( wt слл . -с ), а число к букв оц -., слк -индексом і (, w ") слова w . определение 2л. пусть т -некоторое множество правильных слов от v-слов. правильное еловой, назовем т-вы делении м, если (x - выделенное слово состава w с .. -,с 9 где w т . определение 2.5. назовем т/ -слово однородным, если в его состав входят только базисные элементы из 3j beca wi где hi - вес у -слова d . правильное слово 3 веса ho и длины /, назовем однородным, если s = s,, s х ,где si 7 s -правильные слова, v(s-, a с &г ) = - пусть р -множество всех однородных слов от пу -слов .. в множестве zl всех правильных слов от тґ-слов выделим некоторые непустые подмножества fve , qe 9 sg, (=l32l9 --)# выбор множеств ке qt se проведем по индукции: 1) sa-qa=0 .множество r состоит из всех выделенных слов состава ( и,сал1- , ,и(и}=ъ(сдк /1, 2) допустим, что мы уже построили множества гц } - , 1\е. д--, ( є)ьн .ре и для каждого элемента о/ этих множеств определили индекс l(а л, 3) множество se+ состоит из всех элементов вида s. »где seqcu r i q.ur уіі м їь іґі-і). индекс каждого такого слова s t полагаем равным сумме индексов с{.ъ) и l it) слов s и: l . множество ме+1 состоит из всех элементов q, , удовлетворяющих одному из условий: а) \ seti ; б) =5 ь ,где -ler qe. , -однородное слово веса irih) +1 ,причем, если s s s ,то \ ь ; в) -5,s ,где r .qt, vt, . однородное слово веса 2г(-ь)+1 если элемент q, удовлетворяет условиям б) или в), то его индекс дс л полагаем равным индексу l (-) слова h множество re,-и состоит из всех q. -выделенных слов состава c ,col ... сцк ,где м0 -огсс -1 . объединение множеств ор_ по всем у/ ± обозначим s _ . положим теперь мы приступаем к выбору множеств г ge_ но и ь„ gr н ,с помощью которых и будет построена база (wi a)-ro коммутанта l свободного произведения l п е . алгебр e utaj по модулю vy\ -го коммутанта этого произведения. процесс построения множеств ье не.э g- , и l пе & аналогичен выбору множеств ке_ qe 5 у 1) ц-f, 0- = 0 .

Множество kj состоит из всех произведений вида u. соц — с-оск к , 1 ,где u, -правильное слово веса vvt (.м ,ь) ,в состав которого не входят тґ-слова веса vvi ; множество га состоит из всех выделенных слов состава ьс с. .- .- с ,где -( ) = 15-(.) ,то есть л -р . ясно, что каждому элементу vv из г\ можно сопоставить единственный элемент w из кл . именно, если w=u.ccl,"4i4 то w -выделенное слово состава s 5 сомэ " з к). упорядочим элементы множества r-j следующим образом. пусть wa w b, .считаем,что wa w тогда и только тогда, когда wa w . наконец, полагаем 2) допустим,что мы уже определили множества г\ &л "ц " каждому элементу w из н (=1,--, ) сопоставили некоторый у. . элемент w из н и упорядочили элементы объединения гц н у " г\ также,как элементы из множества г = ч «кроме того,для элементов из н (л-4,г«,---,е) пусть мы уже определили понятие индекса. 3) считаем, что элемент w принадлежит множеству g- если он удовлетворяет одному из условий: a) w = st ,где s wi ) -l hj ; с+д = -\л j s t , vcs) = v(4l); 6)w = 5 ,где 1гє = vc) , he., s s , причем, если s-s s ,то правильные слова 6л и 5 удовлетворяют следующему условию: если sd- чки к »т ли о к -и, либо k +i и индекс l(s;) слова s меньше индекса l ( t ) а x множество ref-i состоит из всевозможных произведений вида где r(w)=lrcc w6igre+i, ігс м)=, сс ) + і при l= 1, 2l,, - ;t-h . полагаем h " cref,- u ье множество qrt состоит из таких элементов w ,для которых выполняется одно из условий: а) w =5 i ,где s eht,fch-" , ctj»+1, 5 " "l j ъ-съ )- 1r( l ) .индекс слова w считается равным сумме индексов lcs )h і(х)слов s и t ; б) w- s ,где he, s бгsfr,v(sy4 )+1, причем если ss ,то 5г ь и выполняется усло вие ( г) : е с л и s- qk k»t о либо к є-н , л и бо к = є + 1 и индекс сс д} слова s меньше индекса i(x) с л ова і ; у в) w s x 5_ ,где х - не ,слово s s sa принад-лежит s , 5л х. и выполняется условие ( -) для s 5г пункта б). x если слово w " из g-- удовлетворяет условию б) или в),то полагаем индекс i(w ) слова w равным индексу і (і ) слова т . множество р и состоит из всех g -выделенных слов состава fy ,с . ;сс \ 1г(д/) = vccoo -1 , полагаем не+1 = g-e+ н . # каждому слову w из н сопоставим слово w из п ., следующим образом. если w ь рє-va »10 есть w=tc.j —соік го w - выделенное слово состава i7c ---/ ),если w 6:( и удовлетворяет условию а), то v сопоставляется соответствую-щее слово w из lref1 удовлетворяющее также условию а). если же weq h удовлетворяет условию б), то есть w=st , где -ь пе, ses ,то в зависимости от вида слова s мы сопоставляем w слово w из &е+,удовлетворяющее условию б) или в). именно,если s есть 1ґ -слово или 5=sas h s "h ,то w =stl »если же ь ль и s2_ "t ,то w "-s t. . упорядочим множество heti . пусть w-i t пен х- &- считаем, что wa w тогда и только тогда, когда w , -w . аналогично сравниваются между собой элементы из объединения множеств є-и . пусть теперь p=ufc cr ug н = инр и определение 2.6. элемент w из свободного произведения lf п е алгебр б oi(r/\ называется весовым словом, если он удовлетворяет одному из перечисленных условий: а) w - базисный элемент одной из алгебр е. , ,то есть w=e. : при подходящих и l ; б) w - правильное слово от is -слов,не лежащее в множе стве н ;

Центр свободного разрешимого произведения алгебр Ли

Этот небольшой параграф посвящен доказательству следующей теоремы. ТЕОРЕМА 2.2. Центр свободного К-разрешимого произведения Ь=ПпЕ, разрешимых ступени - vu і viУ,Ъ ) алгебр Ли Е oLtA, отличных от нулевых, тривиален, то есть состоит из одного нуля. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Ц -произвольный центральный эле -мент алгебры и . По следствию 3 теоремы 2.1 имеем = 1 +11р1 Ъщ+Ъъ , (2.6) где ( &т , IrCC W , - 7Г-слова веса r w , u -правильные слова веса -S Н-1 и длины / 2, , WK -правильные весовые слова веса W и длины /2 . Пусть С- -максимальный среди базисных элементов ал гебр Е веса I, входящих в запись от -слов веса 2 из (2.6). Элементы вида c ,где х -элемент веса 3 из за-писи (2.6) слова принадлежат. L и выражаются в виде линейной комбинации весовых слов веса 5 .Значит, элементы вида -fcCg, , сссб (или ( ) при irCc l или Чг(с = IT(- )=2, являющиеся 1Г-словами?линейно независимы даже с остальными элементами из (2.6), умноженными на С ,по модулю L Поэтому если is-( -с)= Z, ,то фі=-0 . Аналогично,умножая на элементы С веса I так, чтобы при некотором ? слово п:сэе было Ях -словом, МОДНО показать, что с--0 для всех с ,имеющих вес I или 2. Допустим теперь, что мы доказали равенства Ц = $с-0 для всех Qc } ц-С ,вес которых vw-l ( и &,) Пусть С# -наибольший из базисных элементов алгебр Е ы оіб-AV веса _ 4 ,входящих в запись Ч-г -слов - веса w из (2.6). Элементы вида 4с ,где 4" -элемент веса W+H из записи (2.6), принадлежат U и,следовательно, выражаются через весовые слова веса м+4 .Элементы вида и$С W c -выражаются через правильные слова длины w+l и, значит, записываются в виде линейной комбинации весовых слов, в состав которых входят по крайней мере два ТГ -слова. Таким образом, элементы СсС-g- (или С с ), ;СІҐ , где vCC-сЛ-2г(-л= уи ,являющиеся іг -словами, линейно независимы по модулю L, с остальными словами из (2.6),умноженными на С .

Следовательно, если Ъ(Л{)-wi ,ю 6 =0. Теперь уже легко получить, что если VfGt)— Wl ,Т0 езІ в-О. Итак, с помощью индукции по (ТА мы доказали, что oi = fti & ПРИ ВСЄХ f И . L . Пусть М (М /3) -минимальный вес слов Uj vv/ из записи (2.6) слова Ъ . Если i\ Vl ,то есть в запись (2.6) входят только слова w то обозначим через С наибольшую длину слов Ц .Умножим Ъ на правильное весовое слово U веса W— и длины .Слова \4 to являются правильными весовыми словами веса trv следовательно, он-0 для всех К в этом случае. Если же \Л -К ,то пусть 1С -наибольшее из правильных слов U; ,таких,что и-=и. а зггси =г1 .Очевидно,что слова U.A-u ,где гг(и =М ,являются правильными.Остальные слова U U при 1г(и М+1 и слова w u ,в силу леммы 2.1,выражаются через правильные слова веса М+1 .Следовательно,если (иЛ=И,то Л -О .Обратная индукция по числу М завершает доказательство теоремы 2.2. В этой главе изучаются вопросы финитной аппроксимируемости относительно вхождения в конечно-порожденные подгруппы (подалгебры) групп, ассоциативных и лиевых алгебр. Сформулируем основные результаты. ТЕОРЕМА 3.1. Свободная разрешимая алгебра Ли ступени V0 5 (ранга vny/Z ) над произвольным полем "к, содержит финитно неотделимые конечно-порожденные подалгебры. ТЕОРЕМА 3.2. Свободная разрешимая группа ступени н З (ранга m /Z) содержит финитно неотделимые конечно - порожденные погруппы. Таким образом, получены отрицательные решения проблемы М.И.Каргаполова о финитной отделимости конечно-порожденных подгрупп свободной разрешимой группы из "Коуровской тетради" и аналогичной задачи Г.П.Кукйна для алгебр Ли из "Днестровской тетради". Отметим, что доказательство теоремы 3.1 для алгебр Ли послужило для нас моделью доказательства соответствующей теоремы для групп; отличие заключается лишь в технике исполнения в зависимости (от кольцевой или групповой) ситуации. В этой главе мы доказываем также аналог теорем 3.1 и 3.2 для свободных ассоциативных алгебр. ТЕОРЕМА 3.3. Свободная ассоциативная алгебра ранга 4vO/1 над произвольным полем тс содержит финитно неотделимые конечно-порожденные подалгебры . В конце главы рассматриваются свойства класса финитно аппроксимируемых относительно вхождения в конечно-порожденные подалгебры алгебр Ли (то есть -алгебр Ли). Г.П.Кукин доказал, что свободная алгебра Ли над полем положительной характеристики является гА0 -алгеброй Ли (для свободных алгебр Ли над полем нулевой характеристики это нерешенная проблема [8] ).

Мы покажем, что свободное произведение ФАбсо-ал-гебр Ли над произвольным полем не обязано быть ФАВцЗ-алгеброй Ли (предложение 3.1), причем над полем нулевой характеристики даже свободное произведение двух конечномерных алгебр Ли может не быть -алгеброй Ли (предложение 3.2). В связи с этими результатами отметим теорему Н.С. Романовского [2в] из теории групп: свободное произведение ФАвоо-групп является Ф/\6иЗ-группой. Таким образом, есть существенные различия в свойствах между классом фАВи)-алгебр Ли и классом ФА Фи)-групп. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Подалгебра В алгебры А называется финитно отделимой, если для любого элемента абА, й. ф ) существует в А идеал _L конечной коразмерности такой, что а. ф (5 + Х .Алгебра называется финитно аппроксимируемой относительно вхождения в конечно-порожденные подалгебры ( ФАии)- алгеброй), если все ее конечно-порожденные подалгебры являются финитно отделимыми. .ТЕОРЕМА 3.1. Свободная разрешимая алгебра Ли ступени ЮЪ (ранга l/W L) над произвольным полем "К содержит финитно

Финитная отделимость в свободных разрешимых группах

В этом параграфе мы используем следующие обозначения: [&Д: -схб О.о - коммутатор элементов а и 6 , [ Q}& , сз---., ] = [[ [Га,&1эс1...],с1] Справедливы тождества Холла (см. [22] ,с 303) и их след ствия: иа,Ь][6,а}гі , (3.13) Пусть & -разрешимая группа ступени 3 , G- - ее второй коммутант, а& , 5 С fc. Сг .Из формул (3.17) и (3.18) следует,что ІММА 3.3. Пусть G- -свободная группа с множеством свободных порождающих {.СЦ G . Множество свободных порождающих коммутанта От свободной группы G- состоит из всех слов вида Эта лемма доказана в работе [10] . Элементы вида (3,21) в дальнейшем сравниваем лексикографически слева направо, причем начальное подслово считается меньше всего слова. Сформулируем теперь результат данного параграфа. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. Подгруппа Н группы & называется финитно отделимой, если для любого элемента «J6&, 9л\л существует такая нормальная подгруппа N группы G-конечного индекса, что а ф. \\Ц .Группа G называется финитно аппроксимируемой относительно вхождения в конечно-порожденные подгруппы ( Ф ft Вцо"" группой), если все конечно-порожденные подгруппы группы Gr являются финитно отделимыми. ТЕОРЕМА 3.2. Свободная разрешимая группа ступени ti / Ъ (ранга YA /Z ) содержит финитно неотделимые конечно-порожденные подгруппы. Легко заметить,что утверждение этой теоремы достаточно доказать для свободной разрешимой группы ступени 3 с двумя свободными порождающими. Предварительно проведем вспомогательные . построения. Пусть Сэ- -свободная разрешимая группа ступени 5 со свобод -л -1 ными порождающими ОСМ . Считаем что oc :e y g .Рассмотрим в группе G- для каждого Vv?/1 подгруппу Є порожденную элементами $ , & tvu , , , cCw , aw І ,у11,ІДк, зЦгде Пусть - произвольная подгруппа серии р , w? 4 , и ч+ь Введем такие обозначения: Пусть E? - подгруппа группы G- , порожденная элементами у, б , t и всеми элементами следующих типов: Очевидно, что Р} В . В подгруппе В выделим нормальную группу порожденную всеми элементами вида (3.22) - (3.26). где с -элемент серии (3.22) - (3.26), , 1 - ± і ґ 5 (r\ ,S ,би,у I , 0 = + 5 --- 5 ,причем если 5 ,=5 0+1 то . - 1т?и ,порождает группу -D .Доказывается это утверждение также,как лемма 3.3 (см. [10] ).. Пусть а -элемент серии (3.24) - (3.26). Очевидно, что при і о элемент (3.36) принадлежит серии (3.33) - (3.35). Покажем, что и при действии коммутированием иг на CL мы также получим элементы серии (3.33) - (3.35),

Так как i( ij входят в запись слов (3.24) - (3.26) симметрично, то достаточно рассматривать действие на а элементом U. . При действии Lj на элемент вида (3.26), в силу тождеств (3.15),(3.18) и (3.19) имеем: Поэтому, подставив полученные выражения [ s ,у] и САг/г., ] в fy,y] ,мы выразим Г[а;Л,-Ь- ЗСО- ,ІГ, ] в виде произведения элементов серии (3.33) - (3.35). Действие U на элементы (3.24) и (3.25) рассматривается аналогично, с использованием тождеств (3.14) - (3.20). Легко заметить, что если О -элемент вида (3.23), то слово (3.36) выражается через элементы типов (3.31), (3.32) и (3.33) - (3.35). Пусть,наконец, fy -элемент типа (3.22). Тогда слово (3.36) записывается в виде произведения слов серии (3.33) - (3.35) и элементов вида - :0., 6 ,-1]-1 1 , 6 ч.ю элемент [CL5y1,&JCG,y 1JCb принадлежит В . Следовательно, слова вида (3.37) выражаются через элементы Гае-ниA ] С 4 ,61—&±;0 (3.38) ч Аналогично,из (3.38) и (3.39) при S--1 можно получить эле менты [ае+чэ1 ,&"1] [йе, &"!]Ое,і и Йен,-і,&]СЦИ СЦ_І принадлежащие Е . Отсюда уже легко заключить, что слова вида (3.37) записываются в виде произведения элементов серии (3.27) -(3.30). Лемма доказана. ЗАМЕЧАНИЕ 3.2. Элементы абелевой группы Q а % ,,--- причем если 5Ы, -ц. ,то 1 = і6чі ,линейно независимы над кольцом целых чисел. Это нетрудно показать,записывая данные слова в виде (целочисленной) линейной комбинации элементов вида (3.21) из леммы Элементы из замечания 3.2 считаем упорядоченными также} как слова вида (3.21). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3.2. Нам достаточно доказать следующие утверждения: 1) элемент [&,tj не принадлежит D ; 2) конечно-порожденная подгруппа

В не отделима от элемента [CL;"tJ ни в каком конечном гомоморфном образе группы Qr Докажем I). Предположим, что [&,"ч] D .Так как fGrfc] 6 Or G и Q c Q ,то элемент C /tJ принадлежит В . Нетрудно заметить,что элементы вида (3.32) - (3.35) линейно независимы над кольцом целых чисел со словами серии (3.27) (3.31) и элементом [Ccj-Ц в совокупности. Следовательно, по лемме ЗЛ, [ЦДЗ является линейной комбинацией только элементов вида (3.27) - (3.31) (записанных аддитивно). Рассмотрим два случая: а) ["&ДЗ -линейная комбинация элементов U одного типа из серии (3.27) - (3.31). В соответствии с упорядоченностью слов вида [CL CI э 6рц?.- - ,5« .J выберем старшее слово UXo среди слагаемых (в аддитивной записи) элементов Us .Очевидно, что U является первым слагаемым некоторого элемента (Х вида (3.27) - (3.31) и поэтому не имеет себе подобных в нашей линейной комбинации. б) ГОДЗ - линейная комбинация элементов U нескольких типов из серии (3.27) - (3.31). Также,как в случае а), в линей ной комбинации элементов Ну типа (3.6) выберем старшее слово We С е== 27» 28 29» 30» 3I ) Ясно, что слова т-5 У«У о не приводятся между собой.Кроме того,если одно из We ( - 27,28, 29,30) имеет вид [ 3е-н%, & о -С{1 ПРИ »т0 такое старшее слово Ve не приводится со словом. W3 .Следовательно, в записи слова ГаДЗ элементы серии (3.27) - (3.31) не должны содержать подслов вида -i jf .В этом случае слово W0 наибольшее среди слов вида [G5& СТ+ .,-Іс-н, ь") из записи элементов U\ типа (3.31) не имеет себе подобных в нашей линейной комбинации. Таким образом, в обоих случаях мы пришли к противоречию с тем,что ГаД] г р) .Значит, [а,{] фЬ . 2) Используя тождество (3.19) и метод математической индукции нетрудно заметить, что подгруппа & содержит все элементы типов Га Ка у4 и [cc.& ] ,где K}t vilr. .Очевидно также,что любая нормальная подгруппа N группы G конечного индекса содержит элемент вида \cxfo - _,&]СЗ,&, - -9&1 при подходящих 6HWI(O - VVI). е VA