Введение к работе
Актуальность тематики. В настоящее время комбинаторная алгебра (комбпнаторпая теория групп, колец и т. д.) представляет собой активно развивающееся направление с широким спектром приложении как в алгебре, так и за пределами её. Интенсивно развивается алгоритмическая теория алгебраических структур, исследующая существование алгоритмов для решения определённого класса задач (проблемы равенства, и вхождения слов, изоморфность, построение линейных базисов, и т. д.). Большой вклад в этой области принадлежит Д. Нильсену, О. Шрайеру, В. Магнусу, А. Г. Курошу, А. И. Мальцеву, Р. Линдону, М. Шутценберже, Ф. Холлу, М. Холлу, А. А. Маркову, П. С. Новикову, С. И. Адяну, А. И. Кострикину, А. Л. Шмелькину, А. Ю. Ольшанскому, Ю. А. Бахтурипу, Е. II. Зельмано-ву, А. И. Ширшову, Е. Вптту, Л. А. Бокутю, В. Н. Латышеву, В. Н. Реме-сленникову, К. Ройтенауеру, А. Р. Кёмеру, О. Г. Харлампович, А. А. Михалёву и др.
Успешное применение компьютеров в последние 20— -30 лет возобновило интерес к эффективным алгебраическим конструкциям. Былп пересмотрены конструктивные результаты, полученные ранее, что привело к формированию новой самостоятельной области — Компьютерной алгебры, — выросшей па стыке математики, вычислительной математики и программирования.
При исследовании в компьютерной алгебре одним из основных моментов является построение алгоритмов, допускающих компьютерную реализацию. Хотя наиболее разработанным в настоящее время является коммутативный случай, за последние несколько лет возрос также интерес к некоммутативной компьютерной алгебре, что вызвано как потребностями внутри алгебры, как таковой, так и разнообразными приложениями в теории дифференциальных уравнений и физике.
Идея рассмотрения, наряду с коммутирующими, некомиутирующпх переменных восходит к Грассману (1844 г.) и Клиффорду. Изучение супералгебр Ли началось в 50-х годах нашего столетия. Основными источниками их изучения были теория супермногообразий, теория суперсимметрий, деформации алгебраических систем, гомологическая алгебра, алгебраическая топология. Например, свободные супералгебры Ли естественным образом возникают в теории гомотопий при рассмотрении гомотопических групп с произведением Уайтхеда.
Систематическое изучение свободных алгебр Ли впервые было начато М. Холлом. Именно, в 1950-м году он построил базис свободной алгебры
Ли, ныне известный как базис Холла. Позже, в 1958-м году, был построен базис Линдона - Ширшова. Затем различными авторами был построен ряд других базисов.
Теорема о свободе подалгебр свободных алгебр Ли была получена, основываясь на технике Куроша, А. И. Ширшовым в 1953 г. Аналогичный результат для свободных колец Ли и ограниченных алгебр Ли был получен Е. Виттом в 195G г. Ширшовым была доказана лемма о композиции, которая явилась основой для решения серии алгоритмических задач теории алгебр Ли.
Изучение свободных супералгебр Ли было начато Р. Ри, И. К. Бабен-ко, И. Л. Кантором, А. А. Михалёвым, А. И. Штерном, А. И. Молевым и Л. М. Цаленко, Г. Мелансоном.
Обобщённые (цветные) супералгебры Ли были введены Р. Ри в I960 г. В теоретической физике и теории операторов они естественно возникают как обобщения алгебр и супералгебр Ли. Начато изучение тождеств в абстрактных цветных супералгебрах Ли.
Естественными обобщениями названных структур являются свободные частично коммутативные алгебры и супералгебры Лп. Интерес к их изучению в значительной мере обусловлен связью с ближайшим ассоциативным аналогом — свободным частично коммутативным моноидом, впервые введённым П. Картье и Д. Фоата в 1969, как алгебраическая модель для изучения комбинаторики ассоциативных слов. С момента его введения, указанный объект стал предметом многих рассмотрений. В частности, принципиальной мотивировкой явилась интерпретация свободного частично коммутативного моноида как модели для параллельных вычислений. В самом деле, независимость и одновременность двух процессов может быть изображена коммутирующей парой переменных а, Ь, кодирующей эти процессы. С другой стороны, указанный объект доставляет также весьма естественный инструмент для изучения формальных языков (формальных грамматик), также весьма разработанная в настоящее время область с многочисленными приложениями. (Теория компиляции, теория кодирования или, более общо, теоретические аспекты программирования — примеры таких приложений).
Если брать чисто алгебраическую сторону вопроса, то интересно было бы отметить тот факт, что полугрупповая алгебра свободного частично коммутативного моноида может быть наделена структурой алгебры Хопфа со структурой антипода, ведущей к понятиям частично коммутативного подслова и "шаффл-произведения".
Одним из ключевых моментов теории (супер-)алгебр Ли вообще и сво-
бодных (супер-)алгебр Лп в частности является вопрос о свободе подалгебр, который уже упоминался выше. Как было отмечено, весьма хорошо исследованным в настоящее время является случай алгебр и колец Ли. В дополнение к тому, в [1] и [2] А. А. Михалёвым было доказано (см. также монографию [3]), что любая подалгебра свободной (р-)супсралгебры Ли (над полем характеристики, отличной от двух) также свободна. Основным инструментом прп доказательстве этого факта служила, так называемая, теорема об исключении переменных (теорема об элиминации, если следовать английской терминологии), Сущность этой теоремы (еслп ограничиваться лишь алгебрами и супералгебрамп Ли) состоит в алгоритмическом построении свободных порождающих множеств для идеалов свободных (супер-)алгебр Ли, порождённых некоторым подмножеством множества свободных образующих всей алгебры. Если такое построение удаётся, то говорят, что справедлива теорема об исключении переменных. В этом случае, как простое следствие, получается свобода названных подалгебр. Для классических (т.е. без суперструктуры) свободных алгебр Ли техника исключения переменных восходит к Лазару и Ширшову. В случае супер- п р-супералгебр Лп, теорема об .элиминации одной переменной была установлена А. А. Михалёвым. Как и в случае обычных алгебр Ли, доказательство этого утверждения привело к полному исследованию вопроса о свободе подалгебр, в смысле упомянутом выше.
Интересный подход к элиминации в свободном частично коммутативном (ассоциативном и неассоциативпом) случае предложили Ж. Душамп и Д. Кроб (см. [4], [5], [6]) Снова, ограничиваясь лишь алгебрами Ли, отметим тот их результат, что свободная конечно порожденная частично коммутативная алгебра Ли (как всегда, над достаточно хорошим кольцом), как линейное пространство, разложима в прямую сумму пекоторого семейства своих подпространств, каждое из которых есть свободная (не частично коммутативная!) алгебра Ли. Из этого результата немедленно
[1] А. А. Михалёв, Свободные цветные супералгебры Ли. Доклады АН СССР 1986,
Т. 286, № 3, 551-554. :
[2] А. А. Михалёв, Подалгебры свободных р-супералгебр Ли. Матем. гіаметки, 1988, Т. 43, № 2, 178-191.
[3] A. A. Mikhalev and A. A. Zolotykh. Combinatorial Aspects of Lie Superalgebras. CRC Press, Boca Raton, New York, 1995.
[4] G. Duchamp and D. Krob. The free partially commutative Lie algebra: liases and ranks. Adv. Math. 95. — 1992. - P. 92 12G.
[5] G. Ducbamp and D. Krob. Free partially commutative structures. J. Algebra 156. — 1993. — V. 318-361.
[6] G. Ducbamp and D. Krob. Factorisations dans le mono'ide partiellement commutatif libre. II С R. Acad. Sci. Paris Sir. I. — 1.991. — 312. — P. 189—192.
извлекается то, что многие алгоритмы, которые были первоначально получены лишь для свободных алгебр Ли (например, вопросы построения базисов, вычисления рангов и т. д.), могут быть непосредственно перенесены на частично коммутативный случай.
Хотя упомянутый результат и выявляет некоторый класс свободных подалгебр в частично коммутативном случае, в отличие от полностью свободного случая, к полному описанию свободных (частично коммутативных) подалгебр он не ведёт, и проблема получения такого рода критериев всё ещё весьма актуальна, в контексте чего техника исключения переменных в свободных частично коммутативных супер- и р-супералгебрах Ли, предлагаемая в настоящей работе, является очередным шагом на пути к такого рода исследованиям.
В связи с обычными алгебрами Ли, частично коммутативный аспект рассмотрен, например, в [4], [5], [б], [7], [9].
Последнее, на чём мы здесь в деталях остановимся это вопросы вы
числения размерностей однородных компонент, выделенных по тому или
иному принципу. Классическим результатом здесь являются известные
формулы Витта (см. [8]), дающие размерности однородных компонент в
абсолютно свободной алгебре Ли. В частично коммутативном случае ин
тересно отметить работу Д. Доковича [9], предлагающую явные формулы
для указанных размерностей в свободном произведении полностью комму
тативной п полностью некоммутативной алгебр Ли. Ж. Душамп и Д. Кроб
рассматривают общий случай свободных частично коммутативных алгебр
Ли [4] п дают алгоритм (но неявные формулы) для однородных компонент
в нпх.
Перейдя к случаю свободных супералгебр Ли, различные варианты суперформул Витта размерностей однородных компонент (абсолютно) свободных супералгебр Ли были в различных формах получены Р. Рее [10], И. К. Бабенко [11], И. Л. Кантором [12], А. А. Михалёвым [13], А. И. Мо-
[7] G. Duchamp, D. Krob. Computing with P.B.W. in enveloping algebras. // Lecture Notes in Control and Inform. Sci. — 1991. — V. 1C5. — Г. 223-240.
[8] H. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли. — М.: Мир, 1976.
[9] D. Dokovic. A generalization of Witt's formulae. J. Algebra 111. — 1987. — P. 262-278. [10] R. Rec, Generalized Lie elements. // Canad. J. Math. 12. — 1960. — P. 493-502. [11] И. К. Бабенко. Аналитические свойства рядов Пуанкаре пространств петель // Матем. заметки. — 1980. — Т. 27. — С. 751-765.
[12] I. L. Kantor. An Analogue of В. Witt's Formula for the Dimensions of Homogeneous Components of Free Lie Superalgebras. — Deposited at VINITI, N* 2384-84. [13] А. А. Михалёо, Свободные цветные супералгебры Ли. Доклады АН СССР 1986, Т. 286, № 3, 551 554.
левым и Л. М. Цаленко [14], С. Кантом [15], [16], В. М. Петроградским.
Таким обралом, п рамках комбинаторной алгебры сформировалось активно развивающееся новое направление — комбинаторная теория алгебр и супералгебр Ли, к которой относится и данная диссертация.
Цель работы. Диссертация имеет своей целью разработку техники исключения переменных в свободных частично коммутативпых цветных супералгебрах п р-супералгебрах Ли, с одной стороны, и вычисление размерностей однородных компонент в указанных алгебрах, с другой.
Методы исследования. В диссертации использованы методы теории ассоциативных колец, алгебр и супералгебр Ли, теории полугрупп, компьютерной алгебры.
Научная новизна работы. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
доказано, что идеалы свободных частично коммутативных супералгебр Ли, порождённые полностью некоммутативным подалфавптом, есть свободные супер&лгебры Ли (Теорема 1.21);
установлена свобода подалгебр, являющихся идеалами, порождёнными полностью некоммутативным подалфавптом в свободных частично коммутативных р-супералгебрах Ли (Теорема 2.21);
описаны пути построения вычислительных алгоритмов (в зависимости от различных нормальных форм), явно описывающих свободное порождающее множество идеалов, порождённых полностью некоммутативным подалфавптом, применительно к обычным и р-суперал-гебрам Ли (Леммы 1.20, 2.20);
проведено алгоритмическое вычисление размерностей однородных компонент в свободных частично коммутативных (р-)супералгебрах Ли (Теорема З.б);
[14] Л. И. Молев, Л. М. Цаленко. Представление симметрической группы в свободной (супер)алгебре Ли и в пространстве гармонических многочленон // Функцион. анал. и прилож. — 1986. — Т. 20, № 2. — С. 76-77.
[15] S.-J. Kang. Graded Lie superalgebras and the superdimension formula. .1. Algebra 204 (1998), P. 597-655.
[16] S.-J. Kang. free Lie superalgebras and the generalized Witt formula, hi The Monster and Lie Algebras, Walter de Gruyter, Berlin, 1998, P. 207-219.
5) показано, что размерности однородных компонент независимы от основного поля (Следствие 3.7).
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные алгоритмические результаты могут быть использованы в системах компьютерной алгебры для символьных вычислений в частично коммутативных алгебрах и супералгебрах Ли. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам Московского Государственного Университета, Санкт-Петербургского Государственного Университета, Московского Государственного Педагогического Университета, Института Математики СО РАН, Лаборатории Вычислительной Техники и Автоматизации Объединённого Института Ядерных Исследовании.
Все результаты имеют алгоритмический характер и могут быть использованы в реальном вычислительном процессе.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на алгебраических семинарах в МГУ, на Международной Алгебраической Конференции им. А. Г. Куроша в МГУ (1998 г.), на Второй Международной Алгебраической Школе Москва-Тайнань (Тайвань, 1997), а также на международной алгебраической конференции FPSAC00 (Формальные Степенные Ряды и Алгебраическая Комбинаторика; МГУ, 2000).
Публикации. В основу диссертации положены пять работ автора. Список указанных работ прилагается в конце диссертации и автореферата.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, главы, посвященной основным определениям, и трёх глав, раскрывающих математическое содержание работы. Общий объём диссертации — 88 страниц. Список литературы состоит из 170 наименований.