Сумма характеров Гекке по последовательности сдвинутых простых чисел Панов Вячеслав Михайлович

Введение к работе

Актуальность темы. Многие проблемы аналитической теории чисел тесно связаны с распределенной значений характеров Дирихле в последовательностях, имеющих определенную природу. В частности, при решении ряда задач возникает вопрос о распределении значении неглавного характера на последовательности сдвинутых простых чисел.

И.М. Виноградов¹'^2-3 полностью исследовал последнюю задачу в принципиальном случае, когда модуль характера является простым числом и получил оценку для суммы

Г(Х) = $>(Р + *),

]><Х

где ^-характер по мо;гулю q, {k,q) = 1, q— просте число, х > q^x+e.

Из этой оценки, в частности, следует, что среди чисел вида р + к, р < х. (fc,g) = 1 количества квадратичных вычеши и невычетов асимптотически равны, если только х > q^l+. В 1953 г. И.М. Виноградов⁴ получил нетривиальную оценку Т(\) при х > д'⁷⁵⁺. Этот результат бьш неожиданным. Дело в том, что Т(\) можно записать в виде суммы по пулям соответствующей L функции Дирихле; тогда в предположении справедливости расширенной гипотезы Ри.мана дчя Т(\) получится нетривиальная оценка, но только⁵ при х > q^l+s.

В 19С8 г. А.А. Карацуба⁶ нашей метод, который позволил ему получить нетривиальную оценку коротких сумм характеров в конечных полях фиксированной степени. В работе⁷ он с. помощью развития этого метода, в соединении с методом И.М. Виноградова, получил новую оценку Т(\), нетривиальную уже

'Виноградом И.М. И (Лриниыг труды. - М.: Им-и" ЛИ СССГ. 19.12.

-Вшкн-радо» И.М. Мічод тршошшетрігкч-кнх <-vmm к теории чисгл. 2-г іі:ід. М.: Наука_; 19М). ^;,Вшюградон ІІ.М. Оічібьи¹ нариаигы могодон тршхшодктрн'ич-кнх гуим. М.: Наука. 1970. 'Ншюі радон ІІ.М. Нін. ЛІІ СССГ. С<р. ыа-ivM. 1U53. Г. 17. Л"'2. С. 2SJ-2J0.

-''Лііміііік К>.ІЗ. Т(Ч>рпи чікч'.т. Математика в СССР -*а «цюк .'к'т 1917 1957. М.: Фінматпп, 19-J9. Т. 1. С 4S 01.

"КарацуПа АА. ДАН СССГ. 190й. Т. 1»(). Хлі. С 12s7-12s9.

^гКарац\оа А.А. Urn. АН СССГ. G-p. naivu. 197(1. Г. :Ц. Л>2. С 299-:121.

при х > 5+. Эти оценки он⁸ применил для нахождения асимптотической формулы дня количества чисел вида р(р' + а) и арифметической прогрессии, разность которой является простым числом, а начальный член взаимно прост с разностью.

З.Х. Рахмонов⁹¹⁰¹¹ получил оценку сверху суммы Т(\), когда модуль характера - произвольное натуральное число и, используя эту оценку в соединение с шютностнымн теоремами для L-функций Дирихле, изучил распределение гольдбаховых чисел в "коротких" арифметических прогрессиях. (Гольд-баховым числом называется число, представимое суммой двух нечётных простых чисел.)

Продолжением этих исследований является получение аналогичных результатов для характеров Геккс в последовательности сдвинутых простых чисел вида д — А, где д - произвольное простое алгебраическое число, А- произвольное алгебраическое число, взаимно простое с модулем характера Гекке. Решение этих задач, то есть определение аналогов суммы Т(\) в полях алгебраических чисел и получение для них оценок сверху, является основным результатом диссертации.

Цель работы. Получение оценок для сумм характеров Гекке в последовательности сдвинутых простых алгебраических чисел, нормы которых не превосходят заданной величины.

Методика исследований. В основе исследований лежит метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами II.М. Виноградова, в котором решето И.М. Виноградова применяется в форме обобщения тождества Воин на случай произвольного алгебраического поля конечной степени н "метод сглаживания двойных сумм".

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

"Карацуба А.А. ДАН СССР, 190». Т. 192, №2. С. 724-727.

"Рахмопон З.Х. Усш-хи ми гематичічких наук, 19S0, Т. 41, №1. С. 201-202. "'Рахыопои З.Х. ДАН Тадж.ССР, 1У80, Т. 29, ЛЧ. С. №20. "Рахмонов З.Х. Пні. АН Гадж.ССР, отд. фн:».-маг., іхч>лоіх>-хим. наук, 19МЇ, -Y-2. C.(i2-(i.j.

- ;уія нолей алгебраических чисел определены аналоги арифметических функции Мапгольдта и Мёбиуса, с помощью которых получен вариант решета Н.М.Виноградова в форме обобщённого тождества Вона для алгебраических чисел, позволяющий заменить сумму но множеству простых алгебраических чисел двойными суммами;

получены нетривиальные оценки для сумм значений характеров Гекке в последовательности сдвинутых простых алгебраических чисел, нормы которых не превосходят заданной величины х, прц х > iVS¹⁺, где JV2) норма модуля Э неглавного характера Гекке х, 3) такой идеал, что факторкольцо по нему циклично.

Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика их получения могут быть использованы при решении задач теории простых чисел в поле рациональных чисел и его расширениях, в теории оценок специальных тригонометрических сумм но алгебраическим числам.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре Института математики Академии паук Республики Таджикистан, на межігупа'родньгх научных конференциях "Математика, и информационные" технологии" (2006 г.), "Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и ипформатикп"( 2007 г.), "Комплексный анализ и нскласснчсскис системы дифференциальных уравпсипй"( 2007 г.) в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4-х научных работах. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из оглавления, списка обозначений, введения, двух глав и списка литературы, включающего 54 названия. Объём диссертации составляет 64 страницы компьютерной вёрстки в редакторе математических формул LaTeX.