Субнормальные подгруппы в теории формаций конечных групп Каморников, Сергей Федорович

Введение к работе

^Клї^ЛШо?:їь_тєги_^іссертацйи. Струкг'рная теория непроста? групп, основанная в конце ;9-"о столетия" развивавшаяся первоначально в натравлений явного конструирования составных груші из прости, г' в семем качала своего развития получила ряд рееу;. -татов (например, теореми йордаиа-Гельдера и Рем"ка-І!імидтз), указывающих на необходимость изучения свойств композитгаонмх рядов. Однако систематическое исследование этих свойств, а значит, и свойств субнормальных подгрупп Сило начато по инициативе Ремакз только в ковщ ЗО^і годов. Только в 1936 году он выделил впервые оесбии наевшим эти подгругш ("naclilnvarlarit") к поставил задачу исследования их общих "вейств. Б теории групп с конечными комгсо-гщюиив! рядами (а значит, и в теории конечних; групп) такая задача имеет особую актуальность, так как именно в этих группах множество всех су?нормальних подгрупп в точности совпадает с who ...єством зсох членов их кошозетіионшх рядов, "оставляя, по словам '!.Холла, "скелет группы, обеспечивавши осноьу для всех других группоБм структур"

изучению свойств субнормальных подгрупп конечных групп поло-кила начало в і339 году известная работа [1] Гжлзндтч, ок-гавшэн огромное влияние на развитие всей теории конечных груш в после-дунщз ГОДЫ.

В 50-70-е года теория субнормальных подгрупп формируется как ее" оетсятелъый рь:.дэл теорий групп со своими интересными прооле-vsmii, своеобразными ме,одами и прилежшяш в других разделах алгепы. Общие итоги исследовании этого периода, во многом определявших лиш современной теории субнормальных подгрупп, были полведекн Вилан,-""оч р. обзорном докладе [2] на математическом

С'ИМПОСИУІЙ В Сй!1Та-КруЗ і СКА) В 1Э73 ГОДУ И ЛсЫОКСО!, и Ст упхью-

орсм в книге [3], вышедшей в !2Я, году.

D последние два десятилетия развитие стуктурнсЯ теории групп гїимулігровалоеь заЕераііжем кляапфічацни конечны ііроот;;х груїгп.

2 Характерной эооС.нностыо этого периода является широкое применение б теории групп методов теор^л . классов, ключовую роль среди іготорьг' ljksjm фор.', щти и классы Фиттинго. Напомним, что класс груші называется формацией, если он замкнут относительно гомог/ор-

fcffiX ОбраЗОЗ И ПОДПрЯШХ ІфОИЗВОДеКИЙ С КОНЄЧККМ ЧИСЛОМ С0МЕО2М-

телей. Классом Фиттинга каз. зается -ормально каследственлий кпасс # конечных групп, оолалзиций тем свойством, что из G -- ЛВ, гдо А ? Б - норг.млышз $-подгруппы группы G, всегда следует G е у.

Тт с первнх шагов развитая теории клисої. конечній груш '.:ї'г,.и гінзружьиться о&іше точки соприкосновения '„є с теорией оуб: зркгльнах подгрупп. Еоле'е того, ключевые попятил теория $ор-м^ііі-ій я теории клэосое Фиттда^й конечных групп базируются на ид'-е оуОкоргшьности (напр'Имзр, понятия самого к пасса Фишінгй, ¹'-рЙДККиЛЭ, $-ШГЬ5ГТОрй, локальной ^т- композиционной фОрМІ-ДЙ и др.). Уїє только этот факт наталкивает на мысль о том, что выра-г"тольнае возможности теории клэссов пгут быть широко использованы при исследовании сшах субнормальных подгрупп. Первым: обрз-гили ышызеий на ">то Л.А.іііймєтков [41 и 0. Re гель [Ъ].

К концу 70-х годов в теории конечных груші сформировался круг ггроблем, связанных с изученное свойств субнормальных подгрупп методами теории клзссор и направленных кг развитие следрь w регул* татов Вштчдтэ:

ТЕОРЕМА 1 ([!];. Jttfii і субнормальная подгруппа коньчной груш перестановочна с каждой ее перфектной суб.чорма.лыюй под-грунг^й.

ТЕОРЕМА Я, '!)];. В любой конечной гр"пле множество всех субнормальных подгрупп образует роиетку.

Направлен* развития теоремы 1 обозначена в теории ^рыаций следующий двумя проблемами. Превде чем сформулировать их, напомним, что если а - непустая формация и а - группа, то через а' обозначайте. Я-корадикал группы ^G> ^т-^е- пересечение всех тех нормальных подгрупп К из о, для которых G/N с 3-

ПРОБЛЕМА 1 (Л.А.Шеметков, 1978 г. [4]). Пусть $ - ироиыюль-1..1Я лона; лея формация разрешимых, конечных гругаг, содержащая все

ковочные нилыютентнш груша. Щзкйг&ть, что для люспх. двух ?уб~ нормальнії подгрупп н я к ттроиз^с.ьной конечной группы і. аграье.д-жгіс равенство (1 = kh^.

ПРСЕЛйМА 2 (0.Кегель, 197S г. [5і). Пусо ft - непустая насибдствешіая ф:фмааия,. замкнутая относительно расширений. Bepsio лі, что ,удостижимые подгруппы .: и к произвольной конечной группы

0. ГіерйСТаНОЕОЧШі, если Н = К' и и -- Н'З ?

Проблэык 1 и 2 предполагают двоякое рэрыптш теоремы 1. Если лроолемз 1 направлена ^тга открытие б каждой конской груше субнормальных подгрупп, перестаноеогчых со всеми ее субнормальные по дгрунпазд, тс в основ? проблему 2 легки? ядэя о том, что фик л-рстзннйя перфектная субнормальная нсд"руша группа G перестановочна не только с любой с/бк'рАзльной подгруппой из 0, но такао а оо всеми ьо Є-досїіїїйімш подгруппами, где (с - формация зеех разрешили групп.

Otmsthm, что в проблеме 1 теорема і соответствует случав, когда # - 6. из роботы Еилондть. [S3 следует реыениз ііро'леми 1 для другого крайнего случая $ = St, где St - формшдя есех кшгыю-тгчтнкх групп. Ото реьтоние используй? технику тесими операторов, разнит,?*; Вилшдтом в работе і6], я слраатс.-. на 70^гп. факт, что в кзкдой конечной груш.^ G еправедгоіво равенство <-h,r>" - <н^я,к^п> дл Jiiofei ее субнормальных: подгрупп ник.

Естественна постановка гзаачи о нахождении еозкх форматки $ с указанным свойством. На языке теории операторов о:-ь равносильна задаче о нахождении операторов, перестановочных с гомоморфизмами йначониь г,той згдата определяется следугаши двуїлл моментами. Lj-пгфоіі/, открытие каждого нового оператора приводит к ішскдеїта нового признака перестановочности субнормальных подгрупп, что важно о точки зрения решения проблем і и 2. Во-вторых, кахдый леки оператор дает кову^ информэпиг о отроении подгрушш, порожденной системой С'"Чюр?«і.пьних подгрупп, что ра^иьает в определенном смп. ю теорему 2, так яак открывает повне верхние зн-томорфиомн реяеоки субнормалачс подгрупп.

'.' т^орякоз ;: в теории ^-!р!,'пп,[й с-ьяз'-шп следующие две пр. юле-

ш:

ПРОБЛЕМА 3 (Л.А.ШекбїкоБ, !Э?8 і. [і]). В каких случаях множество во5а ^-субнормальных подгру.-Л группы с- образует решетку?

ІІКіЬіРМА 4 (О.Кегель, 1Э?8 г. [5]).' Найчх класс: гнугяі $, облздащяе тем свойством, что в jx-бой коночной группе множество всех $ -доотяшї"'. подгрупп образует реші. щ.

ОЖЗТГ'.', ЧТО ПОНЯТЯе ^-ЗуЭНСрЖШЧОЯ ПОДГРУППЫ ЯВЛЙЄЇСЯ ЗС-'і'Є: Л t^laffiiL... обобшениегл понялш суонормзлыюй іюдгрущш. Для непуе-іой формации 5 подгруппа Н група G называется '-С''6норї>шьноп, cjc лцо'с н -- a, жба существует такая максимальная цепь к =

- lie Цс ... с ^-- G, ЧТО (П ) К_₄ ДЛЯ ОСВІ І = 1,й П.

Несколыг другое понятие #п"убнор?иальяоетя введеш Кегелем Е [5J. Фактически оно сбъедяшю" понятия субнормальной и $--субнормальной подгруппы. Подгругаїа К группы G называется g-oy^нормальной в с тіоле Кег ля или, «нате, g-до'лшшой, если существует цепь Н - й_о : IU" ... с и_п- о такая, что для нЭйдо^гт і-1,2,...п либо подгруппа н.^ пс^мальва в я , либо (н )^ є к .

Общая гадзча ггегроения теорий ^-субнормальных' подгрупп поставлена Л.А.Шеметковпм ([4], стр. ИЗ) и о.Кегелем ([о], стр.228,/ й 1Ь% г. Частные ее аскечти, шшаквде и указаннпе проблей 3 и 4, позже неоднократно уточнялись. Так, а іїоуровской тетради под кокером 9.?5 Л.А.Шекетк.оЕпм поставлена задача описання всех такта локальних формацій g , что в любой конечной группе мложест-во всех $-еугіпормальііід. подгруші образует решетку, i, обооро ІЮ] форм".лируется задача нахождения всех кае.'щзтвешші локальні' : $ рмаїшй " тем re свойством.

'ЛптересіШй результаті! io проблеме 4 полу еш Кегелем. В ib] "н показал, что в любой конечной груше а решетка гт(0) поіручается, е реиетку всех -дост;гшш; подгрупп группы G, есж # непуста;! наследственная формация, замкнутая откосителеш растре кий. Проблеме ;-; посвящена рг ота Еоллоотера-Гляишио, Дерка іі Перец-Р; оа IVJ.

В тверда ,VoyonopMr-ьал: подгрупп понятий еу^лорйздтноотп (Г^гтегсгву^г олучаї», когда ,$ -- ЗТ. ;/г>г случай я-лке."".« плюуевым

при тип'рч ряда классификационно задэ. теории формаций. В связи о зтні/ ллл тестш ^-яубпормалыгах подгрупп иіітервс.щі проблеми,

СЕЯЗЯЛШО С УгусеШШ фОГЖЦИЙ. СЕОЙСТВа К^ТОрЫХ ПО НЄКСТОрііМ ITS-

ргмс-трам блиггск к свойствам класса шш^отенініп грунт. Особое мо сто срзді этих прошлом зэнжют яр о*л?ма описания лэкэлыч.'х формацій г условием Шзмэтшва. Согласно '8-91, формация $ наэдп-?7ся Формацией с услоріш ІВзжлсопа ітля, жпачо, із-форацизй, если лю'ая мштуа.т'ззя еэ .Кругла дабо явлпется группой Екдта, либо іїч^т простой порядок.

ПРОКУД I u.t.,\.!fe;^:7?.OP, 1.^34 Г. )1211. \ЫТХ ЕСЧ локэлытае

2-фсрмчіш.

fexepao ишгою к s'roft проблеме обусловлен креждь всего тем, что жогио иззрстгаїе ч-Зормацта ішлуїдгруют оператор Биданцтя "a оуокорузльгоіі ;, є потоку могут бать испольЕСЕзга при решении задач теории сублермальішл подгрупп,

Q^swia^J^jfasrara г^^ Дііссортяцк

ліпо.іг-іГ;:і5 б рямкал госбюджетной темн Гскельскего гоеупктзереятетэ "Ражоте фрмаиистеш мэтолов теории груші л других алгобраи-мскил систем", в.т^пдяіі:єГі в ттерэчек¹; вашеЯшх по Ресггуб.^пчке Бо--лорусо, іг ^бюджетной тежі Гомельского гооушшорсктвта "Структурная теержі формами и друта классов алгебр", фкнача-гру-їмой Мшг/сіГоротвс!' образования в науки Роспубліпаг Беларусь.

Шф.?_Р2Е2151_''5-я⁵да?зни{1 - р?.?в;т7Ж> методов теории фоша-'їїі и "ЛОСОСЕ ттітгліга для і!?;/ісшя свойств субяермалькж пед-гр".та. пр'л.ін:^іше .л к реш?япг указ акта вотє проблем, построение' г^дйй теорій -субнормальных подгрупп.

^mwjEl^^v^^mjm^mn-- Все осногашэ результати диссертанта является еоешяі.

ПЕ^-Іичзаиг^значж^^ Работа имеет

теоретический 7аряктер. Ее ресулі.татк могут о^ть я тольс "боны в т^гсс-Л'Здаваниях по теория формаций и кдзссое ^ітткіггз конечних груші, а так:ке пр;і чтении гаешсурсез б университетах, и ггадшетп--тутзх.

і) Релбіг" проблемы Л.А.Шемзткова (Коуровская тетрадь, задача 9.7і) о персггноБО'шости g-корадикалов суонормальных подгрупп для локальных формаций g.

1. Развитие методов построения операторов Вклакдта, пере-с^новочшх с гомоморфизмами.

2. Построение общей теор;ги "Э~еубнормалькых подгрупп конечных груїш.

3. Уснете проблемы Л.А.Шеызткова (Коуровская тетрадь, задача Э.7Б/ и О.Кегеля [5] оо' огшсашы локальных формаций $, обладающих решеточным свойством для 3-субнормальных подгрупп.

4. Реврние задачи О.Кегеля [5] о перестановочности g-кора-дикалоЕ ^-дс-стгшых подгрупп.

5. Решение гфоолзш Л.А.Шемэткова (Коуровская тетрадь, задача 3.74) оо описании лекальных 3-формаций.

6. Реаенке задач 6.52, 11.54 и 12.7 из Коуровской тетради, задачи '0.22 из обзора Л.А.Шеметкова [10J и проблем 7.22 и 1С.5 из книги .'і.А.ШемеїКова и А.Н.Окиок [ilj.

Дй'Шй_ьклад_сйн:кагедл. Все с новіше результат диссертации получены аЕтором самостоятельно.

Ш5ййёШй-Ш^5.Т^1^^^^1ЫШ^. Результаты настоящей дис-сйртациоігний работа льоде кратно докладывались ее авт ром ча семинаре но теории групп ка-редры алгебры к геометрии Гомельского госуниверситета км. Ф.Скорини. Автор выступал с доклалагж на IX -XI Всесоюзных симпозиумах по теории групп ^Москва, \ЬМ г.; Гомель, іJ&6 г.; Свердловск, 198Э г.), на xvii - XIX Бсессюзішх алгрлраичб-кю: конференциях (.Минск, 1983 г.; Киеинєе, 1935 г.; Львов, 1%7 г.), ка і - ill Мезкдународш-г конференциях по алгеоре иЬвоси'ирса, 1939 г.; Барнаул, 193І г.; Красноярск, Г393 г.), VI конференции математиков Беларуси (Гродно, 13 г.), Международной математической конферэнщи, пост-ж .гной 25-лепж Гомельског. .ос/нкверсктета им. Ф.Скорины (Гомель, 1954 г.) и Международной конференции по алгебре и ан-тизу, поевдакной ЮС-лешс Н.Г.ЧеСотарзв' (Казань, 19Э4 г.).

Шй^Ш-ШІ: Основные результаты диссертации опубликованы а 22 статьях в научны?, изданиях, а .акже в 15 тезисах конференций.

Стрїк?Ш_п._обіем..^ссертацїи. Диссертация состоит из перечня условных обсзначгзний, введения, общей характеристики работа, обзора результатов, трех глаз: основной части, внводое, и списка использованных источников, распложенных г алфавитном порядке. Объем диссертации -- 183 страницы машинописи.