Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. В последнее время супералгебры были весьма эффективно применены для решения ряда трудных проблем в теории колец. Так, например, с помощью супералгебр А.Р.Кемер решил проблему Шпехта [11], Е.И.Зельмановым была установлена глобальная нильпотентность энгелевых алгебр Ли ограниченного индекса [7] и решена проблема А.И.Ширшова о разрешимости йордановых ниль-алгебр ограниченного индекса [6], Е.И.Зельмановым и И.П.Шестаковым доказана нильпотентность радикала свободной альтернативной алгебры [8] . Этот ряд важных результатов стимулировал изучение самих супералгебр, наряду с изучением способов их применения.
В настоящей диссертации изучаются альтернативные супералгебры и их представления. Структурная теория конечномерных альтернативных алгебр была построена еще в 30-е - 40-е годы усилиями М.Цорна [31] и Р.Д.Шейфера [24,25]. Затем Р.Д.Шейфером [26] было дано описание неприводимых альтернативных бимодулей над альтернативными алгебрами.
, Альтернативные супералгебры впервые появились в неопубликованной диссертации Д.Санжаны [18], выполненной в' 1982 году под руководством профессора КІМаккриммона. В этой работе описываются, в частности, простые конечномерные, альтернативные супералгебры над полем, характеристики не г,з в предположении, что четная часть полупроста. Позднее (1990 г.) Е.И.Зельмановым и: И.П.Шестаковым [8] было показано, что всякая первичная альтернативная'супералгебра над полем характеристики не г,з является альтернативной алгеброй. После появления этого результата, естественно было рассмотреть вопрос о строении конечномерных альтернативных .супералгебр и их представлений. Вопрос об описании неприводимых альтернативных
супербимодулей был поставлен И.П.Шестаковым [і].
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Перенесение теоремы Веддерберна об "отщеплении"
разрешимого радикала, доказанной' для' альтернативных алгебр'
Р.Д.ШеЙфером [25], на случай конечномерных альтернативных
супералгебр; описание альтернативных супербимодулей. над
полупростыми альтернативными супералгебрами и изучение сингулярных
расширений альтернативных супералгебр с помощью альтернативных-
супербимодулей. . -
ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе широко применены методы
Ііирсовских разложений и линейной алгебры. В третьей главе
применены также методы гомологической алгебры.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты, полученные в диссертации
являются новыми. '
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ."Работа носит теоретический
характер. Ее результаты и метода могут быть полезны для решения
аналогичных проблем в других классах супералгеор.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на II
Международной алгебраической конференции памяти А.И.Ширшова в
г. Барнауле (1991 г.), на спец. семинарах "Кольца близкие к
ассоциативным","Теория колец" им. А.И.Ширшова в Институте
математики СО РАН и семинаре "Алгебра и логика" в Новосибирском
гос. университете.'
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в
работах автора 32,33,34.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация содержит 54 страницы