Содержание к диссертации
Введение
1. Задача В.И. Арнольда 14
1 Таблицы Евклида 14
2 Соответствие Хейльбронна 19
3 Вспомогательные преобразования 21
4 Применение оценок сумм Клостермана 25
5 Применение преобразования Абеля 31
6 Асимптотическая формула для задачи В.И. Арнольда . 37
2. Теорема Валена 43
1 Локальные минимумы полных решеток 43
2 Теорема Валена для двумерных решеток 45
3 Минимальные базисы и матрицы 49
4 Теорема Валена для приведенных матриц первого типа 55
5 Теорема Валена для приведенных матриц второго типа 59
6 Теорема Валена для минимальных базисов и совместных приближений 63
Литература 69
- Соответствие Хейльбронна
- Применение преобразования Абеля
- Минимальные базисы и матрицы
- Теорема Валена для приведенных матриц второго типа
Введение к работе
Напомним (см. [1]), что иррациональному числу а соответствует разложение в бесконечную цепную дробь a = ft,; і,..., ,-,...] (О-1) в том смысле что a = lim[ o; i, - - • » ] і— оо Пусть ап = [0 ,tn+i,tn+2,...] и х Є [0,1]. Обозначим через -Fn(a:) меру множества всех иррациональных чисел а, для которых ап х. Из переписки Гаусса с Лапласом известно, что он доказал теорему, в силу которой \imFn(x)=\og2(l + x) = l- ± . n-юо log 2 Доказательство Гаусса не было опубликовано. И только в 1928 году появилась работа P.O. Кузьмина (см. [1]) с доказательством асимптотической формулы Fn{x)=\og2(l + x) + 0(e-x ), где Л некоторая абсолютная положительная константа. Более сильный результат в этом направлении получил французский математик П. Леви (1929г). Последнюю точку поставил К.И. Бабенко (1978, [2]). Он доказал существование бесконечной убывающей к нулю последовательности чисел А;- с 1 Аі А2 ... АА А +і... и соответствующей последовательности аналитических функций фк{х), для которых оо ад = iog2(i+х)+Y, М ) Ї 4=1 При этом Лі = —0.30366 В 1935 году А.Я. Хинчин (см. [1]) доказал следующий результат. Пусть /(г) — неотрицательная функция натурального аргумента г, и пусть существуют такие положительные постоянные С и 8 , что f(r) Cr -s (г = 1,2,...). Тогда для всех иррациональных чисел а из интервала (0,1) с разложением (0.1), за исключением самое большее множества меры нуль, Jsa, п т = /(г)—ь —• k=l r=l ° Отсюда легко следует, что для любой интегрируемой по Риману функции g : [0,1] - С и ак = [0; +1, +2,... ] і lim — V gioik) = ;—г • / 7(w)- п °°п{ґЛ log2 J \ + u к—1 n Для функции g, совпадающей с характеристической функцией отрезка [0, х] в [0,1], это равенство приобретает вид В работе [3] Хейльбронн впервые исследовал подобного рода вопросы для конечных цепных дробей. В частности, он доказал асимптотиче скую формулу Е " "("АО = plog (l + 2)) ! « + О (&ri,(d)). (0.3) Позднее, Портер [4] выделил второй главный член в (0.3) с оценкой остаточного как 0(d5/6+) для любого є 0. Аргументы Хейльбронна [3] и Портера [4] позволяют доказать асимптотическое равенство У) sx(a/d) = ilog(l +x)dlogd + 0(d), (0.4) равномерное по а: Є [0,1]. Поскольку sw(r) = si(r)-s_i_(r), то из (0.4) непосредственно следует результат Хейльбронна (0.3). В связи с проблемой "малых знаменателей" в небесной механике и теорией динамических систем, В.И. Арнольд (см. [5]) сформулировал задачу об асимптотическом поведении суммы NX(R) = 2 sx(a/d), a2+d2 R2 a,dfi при R — oo. Ее можно переписать в виде Yl J2 sx(a/d). l d R l a y/R2-d2
Мы не можем вычислить внутреннюю сумму с помощью (0.4), поскольку а пробегает отрезок, длина которого, вообще говоря, не кратна d. В работе [б] эта трудность была впервые преодолена с помощью оценок сумм Клостермана. При этом существенно использовалось внешнее усреднение по d. Чуть позднее, в работе [7], была доказана асим птотическая формула NX{R) = -log(l + x)R2lozR + 0(R2). (0.5)
В ней оценка остаточного члена на у/logR лучше по сравнению с [6].
Поскольку количество дробей a/d с a2 + d2 R2 асимптотически равно (площадь) + О(периметр) = (7r/4)R2 + O(R), то среднее значение длины цепной дроби s(a/d) в рассматриваемой области (при х = 1) ведет себя как 1о8Л + 0(1). Кроме того, в качестве следствия получается асимптотическое выражение bi2l0g(1 + I(IT2))+O(bb) для относительной частоты встречаемости натурального к в качестве неполных частных рассматриваемых цепных дробей. Полное и подробное доказательство асимптотической формулы (0.5) излагается в главе I. Глава II посвящена обобщению классической теоремы Валена (см. [1]) об оценке погрешности приближения вещественного числа соседними подходящими дробями. Напомним ее формулировку. Пусть неполные частные to, ti,..., U,... определяются из разложения (0.1). Для подходящих дробей аі/Яі = [ 0 Ь-•• »-1] с взаимно простыми целым а,- и натуральным qi хорошо известна оценка \а-а{/д{\ qj2, которую можно представить в виде IKIIft 1. (0.6) Вален усилил ее, доказав неравенство min{agI-gI-, Цог .-цg»+i} (°-7) В обоих случаях константы 1 и 1/2 (из (0.6) и (0.7)) нельзя заменить меньшими. По теореме Лагранжа о наилучших приближениях (см. [1]), знаменатели подходящих дробей ai/qi однозначно определяются условием: \\aQi\\ \\ая \\ Для всех натуральных q q{. Это наблюдение мотивирует следующее Определение 1. Натуральное q называется подходящим знаменателем пары вещественных чисел (а,/3), если для всех натуральных q q выполняется хотя бы одно из неравенств INII МІ, llftll WW Очевидно, что любой подходящий знаменатель к а или /3 (в обычном смысле) удовлетворяет определению. Вообще говоря, последовательность подходящих знаменателей к (а, (3) более "густая" для случайно выбранных а и (3. Она конечна только в случае одновременной рациональности а и /3. Для любого подходящего знаменателя q к (а, (3) из теоремы Минков-ского о выпуклом теле немедленно следует неравенство ИИ ft Я 1, (0.8) аналог оценки (0.6). Для формулировки аналога оценки (0.7) нам по надобится Определение 2. Различные подходящие знаменатели q\ и q2 к (а, р) назовем смежными, если не существует отличного от них натурального q, для которого: q max{quq2}, \\aq\\ : max{agi, \\aq2\\}, \\pq\\ тах{/ЗД, \\Pq2\\}.
Отметим, что в случае а — (З Є Ъ речь идет о знаменателях дг- и fr+i для соседних подходящих дробей к а. При нецелом о; — /3, в отличие от классического случая, между смежными подходящими знаменателями 7i и q2 могут располагаться несколько других подходящих знаменателей к {а,Р), ив каком угодно количестве.
В работе [8] был доказан аналог оценки (0.7) в следующем виде: для смежных подходящих знаменателей q\ и q2 к (а, /3) выполняется неравенство mm{agi \\Pqi\\qi, \\aq2\\ \\pq2\\q2} . (0.9)
При этом постоянную 1/2 нельзя заменить на меньшую.
Главная цель второй главы заключается в формулировке и доказательстве еще одного варианта оценки (0.7). Для этого мы вводим следующее
Определение 3. Назовем три знаменателя q\, q2, дз к (&,Р) смежными, если они попарно смежны и не существует натурального q, для которого: q тах{ді,д2,дз}, ИИ тах{К}, ИИ тах{/ЭД}. 1=-1,1,6 1=1,Z,0 Для таких gi, дг,дз? ни одно из которых не равно сумме двух других, мы доказываем во второй главе оценку тш{М №,\\ Яі} . (0.10)
Постоянную 1/3 в правой части нельзя заменить на меньшую. Особо отметим, что для смежных троек с 7і 52 7з условие 51 + (/2 = з5 как показывают вычислительные эксперименты, среднестатистически выполняется с хотя и малой, но положительной частотой.
Наше исследование рассматриваемого вопроса базируется на концепции "локальных минимумов", восходящей к основополагающим работам Г.Ф. Вороного [9] и X. Минковского [10].
Речь идет о следующей конструкции.
Пусть G = (ті- ) невырожденная матрица размера s х s (і нумерует столбцы, a j стороки) с вещественными коэффициентами 7} • Любую полную s-мерную решетку в W (для краткости, в дальнейшем будем называть просто решеткой) можно представить в виде
Г = T(G) = {7 = ™i7(1) + • • • + "Vy(5) I rnu ... ,ms Є z}
с некоторой матрицей G, где 7 = (j[ ,... ,7« ) — базисные узлы Г. Ее определитель есть D(T) = det(G). Равенство T(G) = T(G ) имеет место только в случае, когда G = G M для целочисленной матрицы М с det(M) = ±1 (см.[11]). Ненулевой узел 7 = (7Ъ " 7») называется локальным минимумом реШеТКИ Г, ЄСЛИ НЄ Существует ДРУГОГО НенулеВОГО узла Ц = (7/1, . . . , 7]s) из Г, для которого \rji\ 7І при всех і = 1,...,s и хотя бы ОДНО из неравенств строгое. Составим из них множество 9Л(Г). Замечание 1. Узлы у и —7 только одновременно принадлежат 9И(Г). Замечание 2. Для любого ненулевого узла rj найдется локальный минимум 7 с 7І te при всех і = 1,..., s. Замечание 3. Любой локальный минимум у примитивен в том смысле, что j/q не есть узел решетки Г для любого натурального q 1. Эти свойства непосредственно следуют из определения локального минимума и сама конструкция мотивирована классической теоремой Лагранжа о наилучших приближениях вещественных чисел рациональными. В двумерном случае рассмотрим решетку Га = {(mi,ami + т2) = rn,i(l,a) + m2(0,1) rabm2 Є Z}. Тогда по теореме Лагранжа для а Є (0,1/2) ЩГа) = {±{qi, aqi - о,-) I t = 0,1,2,... } , где йі/qi есть г-тая подходящая дробь (г = 0,1,2,...) и по определению CLQ = 1, до = 0- Таким образом, в рассматриваемом случае локальные минимумы взаимно однозначно соответствуют подходящим дробям из разложения а в цепную дробь. Аналогично, в трехмерном случае для вещественных a, ft Є (0.1/2) локальные минимумы решетки Га,/? = {(ть ami +m2,/?mi +m3) mi,m2,m3 Є Z} cmi /0 взаимно однозначно соответствуют подходящим знаменателям к (а,Р), которые совпадают с mi из (ть ami + m2,/?mi + m3) Є Гв)/?.
По целому ряду причин, удобнее изучать аналоги теоремы Валена для произвольных решеток в Е3. Оценка (0.10) получается при этом в качестве частного случая для решеток Та р.
Соответствие Хейльбронна
Из соотношений (1.3) непосредственно следуют разложения в конечную цепную дробь Поэтому начальные d = TUQ и a = mj однозначно определяются из равенства по заданной б?-четверке натуральных чисел для которых: Разумеется, такие четверки возникают только при s 2 ( = а 2; с? 1,2,3,4,6). При d = 5 имеется единственная d-четверка о; = (2,1,1,2), соответствующая а = 2. Нетрудно заметить, что любая четверка о; = (т,т ,п,п ) с условиями (2.4) и (2.5) определяет таблицу Евклида Sd{o) с некоторым а — а(и) по формулам (2.1) и (2.2). При этом всегда Итак, между элементами множества fi(cf), состоящего из с?-четверок натуральных чисел, удовлетворяющих (2.4) с (2.5), и элементами мно-- жества имеется взаимно однозначное соответствие (Хейльбронна из [3]) по правилу Для d = 5 множества Г2(5) и (2.7) содержат по одному элементу и (2.8) имеет вид Для d = 7 речь идет о двуэлементных множествах и при этом Для d = 8 При d = 1,2,3,4,6 интересующие нас множества пустые. Пусть 9 Є [0,1/2] и аг Є [0,1]. Определим множество Соответствие Хейльбронна (2.7) немедленно приводит к следующему соотношению для функции sx(afd) из введения: Второе слагаемое в правой части появляется по той причине, что в определении sx(a/d) учитывается дробь для которой не возникает соответствующего элемента из Q(d). Равенство (2.9) лежит в основе доказательства главного результата первой главы. 3 Вспомогательные преобразования Как и ранее, пусть х Є [0,1], а в Є [0, со]. Обозначим через A(d; х, в) множество всех пар (о;;/) с Доказательство. Для 0 Є [0,1/2] из второго и третьего условий (3.1) целое / = п определяется по и однозначно (если оно существует). При этом, согласно лемме 1, Так как есть подходящая дробь к a/d = [0; ,..., ts], то (см. [1]) Определим для в Є [0,1/2] еще одно множество Принимая во внимание ограничение a(u ) 6d для о; из Q(d;x,9) и неравенство (3.2) получим, что общее количество е/-четверок из теоретико-множественной симметрической разности не превосходит числа элементов множества Для взаимно простых натуральных п и п все решения уравнения тпп -\-тп п = d в целых (m,m ) записываются в виде где (шо,т 0) есть некоторое фиксированное решение. Условие 0 тп m эквивалентно двойному неравенству Поскольку то количество элементов множества (3.3) не превосходит где (±) означает, что в суммировании участвуют только те пары (п, п ), для которых Каждое из них определяет п по п (а вместе с ним и п) не более чем одним способом. Поэтому интересующая нас величина оценивается суммой Следовательно, множества Q(d;x,d) и Q(d;x, в) отличаются друг от друга на 0(d) элементов. г Осталось только заметить, что в рассматриваемом случае Лемма 2 полностью доказана. Лемма 3. Для любого в [0,оо) равномерно по х Є [0,1] Доказательство. Для в Є [0,1/2] наше утверждение немедленно следует из (2.9) и леммы 2. В случае в Є (1/2,1] воспользуемся разложениями, уже встречавшимися при доказательстве леммы 1, В первом множестве из правой части равенства ровно два элемента.
Произведя во втором и третьем замены I — I — п и I — 1 + п , преобразуем интересующую нас величину к виду Принимая во внимание ранее рассмотренный случай с 0 Є [0,1/2], а также (2.9) и (3.4), получим (см. [1]). Поэтому в рассматриваемом случае, в соответствии с леммой Пусть теперь 9 = к + в с натуральным к и в Є [0,1). Тогда сумма из левой части доказываемого в лемме равенства равна При этом мы воспользовались ранее доказанным утверждением при в Є [0,1]. Лемма 3 полностью доказана. 4 Применение оценок сумм Клостермана Напомним, что для натурального q и целого / где fc пробегает полную систему вычетов по модулю q. В частности, это верно если к принимает все целые значения из полуинтервалов (0,д]и(-д/2,д/2]. По определению, для целых тип есть сумма Клостермана по модулю q с оценкой (см. [12]) где cr0(q) есть число делителей натурального q. Поскольку Sq(m,n) = Sq(n, т), то в правой части неравенства (4.2) НОД(т, q) можно заменить на НОД(гг, q). Так как я я (« - 1) = ХГ Є Для произвольных вещественных Qi,Q2,PiiPz с Pi 0 И 2 О положим Если Pi = p2 = q, TO u и v пробегают полные системы вычетов по модулю q и, в соответствии с Применяя стандартный переход от суммирования по неполной системе вычетов к полной (см. [13]), докажем следующее утверждение. Лемма 4. Пусть q любое натуральное, большее единицы. Тогда дляО РЪР2 q Доказательство. Определим целые поскольку Докажем сначала лемму 4 с Mi,M2,iVi, iV2 вместо Qi,Q25PbP2- Если одно из чисел iVi, iV2 равно нулю, то речь идет о тривиальном равенстве 0 = 0 + 0(...). Поэтому мы в дальнейшем будем считать, что N\ и iV2 натуральные числа. Определим две функции
Применение преобразования Абеля
Для набора точек S = (х \..., х ) с х& = (x[j\ ..., x(sj)) Є R8 положим по определению где при і = 1,... ,s Произвольная полная решетка Г в Rs имеет вид с линейно независимыми узлами 7 \ 7 составляющими базис Г. В дальнейшем, для краткости, прилагательное "полная" будем опускать. Напомним, под обозначением М С М подразумевается, что М есть подмножество М и М ф М . В то же время, запись М С М допускает возможность равенства М = М . По определению, ненулевой узел 7 называется локальным минимумом, если не существует другого ненулевого узла rj из Г, для которого V(rj) С V(y). Назовем два локальных минимума у и у решетки Г с 7 ф-±7 смежными, если не существует ненулевого узла rj из Т, для которого: Напосредственно из определений следуют: Замечание 1. Узлы у и —у только одновременно являются локальными минимумами. Замечание 2. Для любого ненулевого узла rj из Г найдется локальный минимум 7 из Г, для которого Замечание 3. Локальный минимум у примитивен в том смысле, что для любого натурального q 1 вектор -у не есть узел Г. Замечание 4. В определении смежности в качестве TJ МОЖНО выбрать локальный минимум решетки Г. Замечание 5. Если у и у1 локальные минимумы с у ф ±у и V{y) = Р(т ), то 7 и 7 смежные. Замечание 6. Если у и у локальные минимумы решетки Г с V{y) ф Ріу1), то найдутся і и j из {1,2,..., s}, для которых Замечание 7. Любые два смежных локальных минимума решетки Г линейно независимы. Из теоремы Минковского о линейных формах (см. [3] стр.184) непосредственно следует, что для любого локального минимума у решетки Г выполняется неравенство где D(T) = det(7J ) есть определитель решетки. Хорошо известно, что оценка (1.1) неулучшаема в том смысле, что перед D(T) нельзя поставить абсолютную положительную константу, меньшую 1. 2 Теорема Валена для двумерных решеток Напомним, что любая двумерная решетка имеет вид невырожденная матрица, для которой Предложение 1. Любые два смежных минимума у и у решетки Г составляют ее базис. Доказательство. Пусть TJ любой ненулевой узел решетки Г. Так ка 7 и у линейно независимы, то для некоторых вещественных а и /3 Выберем целые а и Ь из условий: Предположим, что rf ф (0,0).
Поскольку не должно нарушаться условие смежности 7 и т ТО Но это возможно только в случае І71І = fail Ф 0 и I72I = І7гІ Ф 0- Так как 7 7 ±У» ТО У = ±(7ъ 7г)- Но в таком случае (т/) С 7 (7,7% что противоречит смежности 7 и У- Следовательно, наше предположение неверно и т/ = (0,0). Поэтому любой узел решетки Г есть целочисленная комбинация 7 и у . То есть, последние составляют базис Г. Предложение 1 полностью доказано. Нас будет интересовать оценка величины тіп{7і72І,І7І72І} (2.2) для смежных минимумов 7 и 7 решетки Г через ее определитель D(T). Задача бессодержательна в случае, когда хотя бы одна из координат 7 или 7 равна нулю. В связи с вышесказанным, назовем матрицу (2.1) минимальной, если yi) _ yi ) ( )) и уг) _ ( ) ( ) смежные локальные минимумы решетки Г(М). Назовем матрицы Л/ и М эквивалентными, если одна получается из другой путем композиции некоторых преобразований вида: 1) изменение знака у столбцов или строк; 2) перестановка столбцов или строк. Из определений непосредственно следует Замечание 1. Если М минимальная матрица, то эквивалентная ей М также минимальна и для них величина (2.2) одна и та же. Предложение 2. Любая минимальная матрица имеет вид Доказательство. Любую минимальную матрицу переведем вышеуказанными преобразованиями к виду (2.3) с положительными х\,у\,Х2-Если при этом у2 О, то узел нарушает смежность локальных минимумов (яі, ) и (у\, —г/г) решетки Г(М). Следовательно, г/2 0. Так как (х\,Х2) локальный минимум, то х2 її 2/2- Условие хі = уі F Х2 = У2 выполняется по той же причине. Предложение 2 доказано. Для минимальной матрицы вида (2.3) Поэтому При этом знак равенства выполняется только для х\ = у\ и х2 = у 2-Отсюда немедленно следует ТЕОРЕМА 2. Для любых смежных минимумов у и 7 двумерной решетки Г выполняется неравенство тіп{7і72І,І7;72І} (Г). Мы назовем ее теоремой Валена для двумерных решеток по причине, объясненной во введении. Пусть 7 = (7ь7г) локальный минимум решетки Г с 71 О- Среди всех ненулевых узлов 77 = (771,772) с 1 11 71 выберем тот, у которого т72І принимает наименьшее значение. Пусть это будет 7 = (7ь7г) с о ті 7ь Из определений непосредственно следует, что т также локальный минимум, смежный с 7- При этом І72І І72І- Если координаты у 7 и 7 отличны от нуля, то есть минимальная матрица и для нее Таким образом, мы доказали неравенство (1.1) для двумерных решеток без использования теоремы Минковского о линейных формах. 3 Минимальные базисы и матрицы Обозначим через Сз конечную группу порядка 48 = 6x8, состоящую из всех линейных преобразований вида где 0І Є {±1} и т : (1,2,3) —+ (сг(1),о-(2),сг(3)) есть престановка на трех элементах. Назовем базис решетки Г минимальным, если 7 7 »7" есть попарно смежные локальные минимумы, для которых не существует ненулевого узла Г} с Из определений непосредственно следует Замечание 1. Под действием преобразования вида (3.1), локальные минимумы, смежные локальные минимумы и минимальные базисы решетки Г сохраняют эти свойства относительно решетки W(r). В дальнейшем нас будет интересовать величина для минимальных базисов S — {7 7 7 } Если хотя бы одна из координат узлов 7 7 2\7 3\ равна нулю, то R(S) = 0. Поэтому, с содержательной точки зрения, интерес представляют только те S, для которых jj 7 0 при всех г, j = 1,2,3. Назовем такие минимальные базисы регулярными. Сопоставим каждому базису 7 7 )7 решетки Г матрицу с det(M) = D(T). Любая невырожденная матрица М определяет некоторую решетку Г(М) с базисом, составленным из столбцов матрицы М. По определению, назовем М минимальной матрицей, если ее столбцы составляют минимальный базис решетки Г(М). Обозначим через Л4з конечную группу матриц порядка 48, соответствующих преобразованиям W из (3.1). Из определений немедленно следует Замечание 2. Если М минимальная матрица, то М = Т\МТ2 также минимальна для любых Ті и Т2 из М.%.
Минимальные базисы и матрицы
Доказательство. Из условия (3.2) немедленно следует, что во втором столбце найдется элемент 7,- , Для которого ІтР ї ІТР І, І7? І7Р». Переместив г -тую строку на первое место и поменяв, в случае (2) ходимости, у нее знак, мы можем считать, что 7і = У\ с 2/1 О и Если при этом выполняются неравенства то узел 7 нарушает смежность 7 и 7 - Следовательно, хотя бы одно из них не имеет места и, с точностью до эквивалентности матриц, можно считать, что 72 — х2 0 с Если Поменяв в случае необходимости знаки в первой и третьей строках, а затем (опять же в случае необходимости) во втором и третьем столбцах, придем к матрице вида Предположим, ЧТО 7г О-Если 7з О? Т0 Узел 7 + 7 нарушает смежность 7 и j(2\ Значит, 7з 0- По такой же причине 7і и 72 имеют разные знаки. РаС-смотрим случай 7І 0- Тогда 7г 0. Поменяем местами вторую и третью строки, а затем первый и третий столбцы. В результате матрица из (3.4) преобразуется к виду Поменяв знак в третьей строке, а потом в третьем столбце, получим вторую матрицу из (3.3) с условиями (і). Пусть теперь 7г 0- Тогда 7і 0. Рассмотрим узел 70 + 7(Ч _ 7№ = (Х1 _ й _ ТР), Х2 + 7Р) Из максимальности #2)2/1 3 по строкам следует, что і -Уі- 7i3)l Уи 1 2 + 7г2) - 7г3)I Так как матрица минимальная, то хотя бы одно из этих неравенств Т" должно быть равенством. Поскольку х\ и 7І имеют разные знаки, то соотношение эквивалентно равенству откуда, в силу первого условия (3.5), следует, что у\ = х\ = І7і I-При этом, узел 7 не нарушает смежности 7 и 7 только в случае І7г I = х2 и 7з — z3- В рассматриваемой матрице вида узел 7 не нарушает смежности 7 и 7 только при я з = z$, а 7 не нарушает смежность 7 и у(2\ только с І7г = х2- Полученная матрица с равными по абсолютной величине элементами строк, после перестановки второго и третьего столбцов будет эквивалентна М из (3.3) второго вида. Подобные рассуждения, с учетом противоположности знаков 72 и 72 , а также второго условия из (3.5), приводят к равенству по абсолютной величине элементов второй строки матрицы (3.4). Затем, принимая во внимание попарную смежность 7 и 7 (= #1 = 2/ь #з = z$), 7(1) и 7 (= 7з з)? 7 и 7 (= І7і I = 2/i), получим как и выше, матрицу второго вида из (3.3) с равными по абсолютной величине элементами строк. Выполнение равенства Предположим, что в (3.4) 7г О-Рассмотрим случай 7з 0. Элемент 7г не может быть положительным, так как при f[ 0 узел 7 — 7 а ПРИ j[ 0 узел у(з) _ /у(2) нарушают минимальность матрицы. Значит 7г 0 и мы приходим к одному из двух случаев в (3.3). Пусть теперь 7з О- Ри этом случай с 7i 7г О или (3) (3) п 7І 7г 0 приводит к нарушению минимальности рассмариваемои матрицы узлом 7 — 7 или 7 7 ) соответственно. Если же 7i 0, а 72 0 то минимальность матрицы нарушается узлом у(2) __ (з) Следовательно, 7І О и 7г О- То есть? речь идет о с положительными 7,- Переставив первую и вторую строки, а затем первый и второй столбцы, получим матрицу Меняя последовательно знаки во второй и третьей строках, а затем во втором и третьем столбцах, получим матрицу второго вида из (3.3).
Таким образом, все случаи разобраны и теорема 3 полностью доказана. По определению, назовем первую матрицу из (3.3) приведенной матрицей первого типа, а вторую приведенной матрицей второго типа. Для матрицы М вида (3.3) мы будем пользоваться следующими обо- значениями: Если нас будет интересовать поведение любой из этих величин как функции от одного элемента матрицы М (при фиксированных остальных), то вместо М в качестве переменной указывается именно этот элемент. То есть, соответствующие обозначения имеют вид: 4 Теорема Валена для приведенных матриц первого типа Лемма 1. Пусть М приведенная матрица первого типа, для которой z\ х\ и X = R. Тогда Доказательство. Для матрицы М первого типа Применяя неравенство Копій к пяти положительным слагаемым в разложении D(M) по произведениям троек элементов М, получим Лемма 2. Пусть М приведенная матрица первого типа, для которой У2 Z2 и Z = R. Тогда Z \D(M). Доказательство. Провторяя доказательство предыдущей леммы с 32/2 1 3- 2- 1 = Z, находим Лемма 2 доказана. Лемма 3. Пусть М минимальная матрица первого типа с z\ х\. Тогда Доказательство. Раскладывая определитель М по второму столбцу, получим Все три слагаемые неотрицательны, поскольку х\ z\ и z% х%. Зафиксируем все элементы М, за исключением у2. Предположим, что Y(y2) Щу2)- При уменьшении положительного г/2 свойство приведенности М не нарушается. Поэтому где у 2 есть наибольшее у Є (0,2/2)» Для которого Y{y) = R{y). Следовательно, мы можем считать, что Y = R. При разложении определителя М по первому столбцу получим Зафиксируем все элементы М, за исключением х$. Предположим, что Х(х3) У. Рассмотрим случай 2/1 2 2/2 1 О-При уменьшении з приведенность М не нарушается. Поэтому где х3 есть наибольшее х Є (0, жз), для которого Х{х) = Y. Поэтому мы можем считать, что X = R и воспользоваться леммой 2. Пусть 2/і з - 2/2 1 0- Тогда (х3) Л(я;з- з) и мы можем считать, что а?з = з- Обозначим через х\ наибольшее х Є [ ьх\], для которого Х(а:) Y. Для -Х"(хі) = У применяем лемму 2. В противном случае мы можем считать, что х\ = z\. Таким образом, неравенство леммы осталось доказать только для приведенных матриц
Теорема Валена для приведенных матриц второго типа
Лемма 6. Пусть для приведенных матриц второго типа с Х\ z\ выполняется дополнительное условие хз = уз- Тогда R D(M)/3. Доказательство. Заметим, что коэффициент х$уг — #22/3 ПРИ z\ в разложении D(M) по третьему столбцу, не превосходит нуля. Поэтому R(zi)/D(zi) R(xi)/D(xi) с условием #i = 21. Применяя лемму б, получим нужное равенство. ТЕОРЕМА 5. Для любой приведенной матрицы второго типа выполняется неравенство R Доказательство. Рассмотрим разложение М по первому столбцу в котором все три слагаемых неотрицательны. В случае х\ z\ нужное неравенство доказано в лемме б. Пусть теперь х\ z\. Если X = R, то по неравенству Копій Это даже лучше, чем требуется. Пусть теперь X R. При уменьшении х$ на отрезке [у%, г%] отноше ние R(xs)/D(xs) увеличивается, до тех пор пока не возникнет равен ство X = R или х% = уз- Как мы только что показали, в первом случае нужное неравенство выполнено, а во втором оно следует из леммы 7. Теорема 5 полностью доказана. Замечание 1. Из доказательства видно, что в теореме 5 равенство возникает только для приведенных матриц вида 6 Теорема Валена для минимальных базисов и совместных приближений Так как каждый регулярный минимальный базис определяется приведенной матрицей, то из теорем 4 и 5 непосредственно следует ТЕОРЕМА 6. Для любого минимального базиса 7,7 її" решетки Г выполняется неравенство Теперь сформулируем и докажем соответствующий результат для совместных приближений. Пару (а,/3), начиная с этого момента, мы будем считать фиксированной. Положим по определению для любого вещественного х. При этом х = ((я)).
Пусть Лемма 7. Если q\, 72, 7з составляют тройку смежных знаменателей к (а ,(3), то -0( 7ъ 72,(7з) = 0,±1. При этом определитель равен нулю только в случае, когда один из столбцов матрицы в (6.1) равен сумме двух других. Доказательство. Определим полную трехмерную решетку будут узлами Г(а,/3). Они целочисленно выражаются через базис. Поэтому D(q\, #2, 3) есть целое число. Рассмотрим сначала случай - ((71,(72,(73) = 0- Это означает, что при некоторых целых аі,й2,аз одновременно выполняется равенство Ввиду симметрии, без ограничения общности можно считать, что KI Ы аз. Разделив обе части (6.2) на ai, получим еще одно равенство Предположим, что / ф 0. Тогда для q = \1\ выполняются неравенства g max{g2,g3}, \\ад\\ max{ag2, ag3}, \\Pq\\ тах{/ЗД, j/?g3}. Поскольку д2 и дз смежные, то g совпадает с одним из них (см. определение 2 из введения). При этом мы воспользовались следующим очевидным фактом. Для любого натурального q найдется знаменатель q к (а,(3), для которого нарушает смежность д2 и дз- Следовательно r2 ±2. По этой же причине тз т ±2. Поскольку ді,д2,дз попарно различны, то т2 ф 0 и гз 7 0- Поэтому т2,тз Є {±1}. Таким образом, в рассматриваемом случае один из столбцов матрицы (2.6.1) равен сумме двух других. В частности, одно из чисел ді,д2,дз есть сумма остальных двух. Из теоремы 2, доказанной в работе [14], непосредственно следует, что в невырожденном случае Лемма 7 полностью доказана. ТЕОРЕМА 7. Пусть ді,д25 7з есть смежные знаменатели к (a, (3), ни один из которых не равен сумме двух других. Тогда Доказательство. Если хотя бы одно из чисел равно нулю, то утверждение теоремы тривиально. Поэтому мы бу дем предполагать, что элементы невырожденной матрицы из (6.1) от личны от нуля. При этом, она попадает в разряд приведенных, если (71)22,93 составляют тройку смежных знаменателей к (а,/?). Это не посредственно следует из условий в определении 3 введения. Тогда из теорем 4, 5 и леммы 7 получаем утверждение теоремы 7.