Стандартные базисы и распознаваемость свойств алгебр, заданных к представлениям Иыуду, Наталья Куставна

Введение к работе

Актуальность темы. Вопросы об алгоритмической распознаваемости свойств алгебраических объектов первоначально возникли в теории групп и полугрупп. Хорошо известны три фундаментальные алгоритмические проблемы, поставленные Дэном для конечно определённых групп еще в 1912 г.: проблема равенства слов (проблема вхождения), проблема сопряженности, и — изоморфизма. Положительное решение проблемы равенства было получено (Магнус, 1932 г.) для групп с одним определяющим соотношением, для двух соотношений уже неизвестно, разрешима ли проблема равенства, хотя группа с неразрешимой проблемой равенства существует (С.П.Новиков 1955 г., Бун 1959 г.). Трудность проблем в этом списке существенно возрастает, например, существуют конечно определенные группы с разрешимой проблемой равенства слов, но неразрешимой проблемой сопряженности. Параллельно (даже с некоторым опережением) изучались фундаментальные и другие алгоритмические проблемы для полугрупп, где тоже получено (Мар-

ков и Пост 1947 г.) отрицательное решение общей проблемы равенства слов, поставленной Туэ в 1914 г., более, того, существует пример Матиясевича полугруппы с тремя соотношениями и неразрешимой проблемой равенства. Неразрешимость проблемы равенства для конечно определенных алгебр Ли, поставленной Ширшовым, доказана Бокутем, самим же Ширишовым доказана её разрешимость для алгебр Ли, заданных одним соотношением.

Такова, очень кратко, предыстория развития алгоритмических проблем в группах и полугруппах. Подобные вопросы ставились и в ассоциативных алгебрах. Имеется ряд отрицательных результатов ' относящихся, например к разрешимостям в многообразиях алгебр. Пусть А — ассоциативная алгебра, представленная как фактор свободной ассоциативной алгебры к(Х) ранга |J\T| , над полем к : A~k(X)11, по идеалу / порожденному соотношениями {Л,-}іП, Q С N. Такое задание алгебры, следуя полугрупповой традиции, мы называем копредставлением. Оно явля-

'Л.А.Бокуть.Г.П.Кухин Неразрешимые алгоритмические проблемы для полугрупп, групп и колец // Итоги науки и техники. Алгебра.Топологпя.Геометрия, т.25,с.3-66, М.ВИНИТИ, 1987.

ется вполне конструктивным, поэтому интересен вопрос о положительном решении алгоритмических проблем в классах алгебр, определяемых по типу копредставлення. Результаты в этом направлении, напрішер₍для мономиальных алгебр (т.е. алгебр, заданных соотношениями вида и = О, где и — элемент свободной полугруппы) получены в работе ² Мощной техникой для решения алгоритмических проблем в ассоциативных алгебрах является техника стандартных базисов, поэтому некоторые основные результаты работы посвящены её созданию в изучаемых классах алгебр. Первоначально стандартный базис (базис Грёбнера) был определен в идеалах свободных коммутативных алгебр A:[a.^-i...xv] (Бухбергер, 1965 ³, а также 1970 ⁴ ). На самом деле, понятие стандартного базиса в к[Х\ появилось раньше, в 1964 году в знаменитой работе Хиронака ⁵ приводилось некон-

'Gateva-lvanova Т., Latyshev V. On the recognizable properties of associative algebras//.^ 1988 N6 p.237-254.

³Buchberger Q. An algorithm for finding a bases for the residue class ring of a zerc-

dhnentional polinomial ideal // Ph.D. thesis.— 1965. — Univ. of Innsbruck, Math. Inst.

⁴Buchberger Q. An algoritlimical criterion for the solvability of algebraic systems of

equations // Aequaliones Math.— 1970. — V. 4. — N 3. — p.374-383.

Mlironaka H. Resolution of singularities of an algebraic variety over a field ofcliarac-

структивное доказательство существования для этих базисов,

В 19G2 году А.И.Ширшов предложил конструкцию стандартных базисов в свободных алгебрах Ли ⁶. В 1978 году Бергман доказал "Diamond" лемму, чем распространил понятие базиса Грёбнера на свободные ассоциативные алгебры ⁷. Весфеннинг и Кандри-Роди ввели понятие базиса в, так называемых, алгебрах разрешимого типа ⁸. Наиболее общая конструкция, содержащая все вышеупомянутые_;изложена В.Н.Латышевым ⁹. Она позволяет строить стандартный базис в идеале произвольной алгебры, градуированной вполне упорядоченной полугруппой своих нормальных мономов. Интерес к стандартным базисам подтверлсдается

teristic zero: 1,11// Ann.Matli. — 1964. — V. 79. — р.109-326.

⁶Шнршов А.И. Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли// Сиб. мат.

жури.— 1962. — Т.З. — Т 2. — с. 292-296.

'Bergman G. The diamond lemma for ring theory // Adv.Malh. — 1978. — V. 29.

— N2. — с 178-218.

'Kandri - Rody A. Wiespfenning V. Non-commutative Grobner bases in algebras of

solvable type И JSC — 1990. — N 9. — p. 1-26.

⁹Латышев B.H. Комбинаторная теория колец. Стандартные базисы, — М.: Иэд-по

публикацией в последнее время целого ряда статей, посвященных их обобщениям, применениям и изучению с самых разных точек зрения.

Цель работы. Распространить технику стандартных базисов на алгебры, градуированные односторонне упорядоченной полугруппой, и получить положительное решение ряда алгоритмических вопросов а слабо редуцируеемых и других алгебрах, заданных копредставлением.

Методы исследования. Техника стандартных базисов в тех классах алгебр, где она разработана, общие методы теории колец, гомологической алгебры, комбинаторные методы.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:.

1. доказано существование стандартного базиса (базиса Греб-нера) в идеалах слабо редуцируемых алгебр и произвольных алгебр, градуированных право упорядоченной полугруппой;

1. построена система порождающих модуля сизигий произвольной системы элементов слабо редуцируемой алгебры;

2. доказана конечность построенных базисов в главных идеалах слабо редуцируемых алгебр, чем решается соответствующая проблема вхождения; получена распознаваемость делителей нуля в слабо редуцируемых алгебрах;

4. доказано совпадение радикалов Бэра, локально нильпо-
тентного, Кетэ и Джекобсона в слабо редуцируемых алге
брах;

5. доказан ограниченный алгоритм для распознавания ниль
и локальной нильпотентности в алгебрах, заданных произ
вольными однородными соотношениями.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация имеет теоретический характе]). Ее результаты могут быть использованы в теории ассоциативных колец и при создании систем компьютерной алгебры.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах "Теория колец" и "Избранные во-

просы алгебры" кафедры алгебры механико-математического факультета МГУ, на III Международной конференции по алгебре памяти М.И.Каргаполова, Красноярск 1993.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1],[2],[3],[4], перечисленных в конце настоящего автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав,включающих в себя восемь параграфов и списка литературы, содержащего 28 наименований. Общий объем диссертации составляет 73 страницы.