Совместные диофантовы приближения нулями гладких функций Бересневич, Виктор Вячеславович

Введение к работе

Актуальность темы диссертации. В работе изучаются диофанто-вы аппроксимационные свойства точек кривых и связанные с ними вопросы приближения действительных чисел нулями гладких функций, образованных целочисленными линейными комбинациями координатных функций этих кривых и 1. Интерес к метрическим теоремам о диофантовых аппроксимационных свойствах точек кривых берёт своё начало с работ И. П. Кубилюса, В. Г. Спринджука и В. Шмидта. Уже первые результаты, полученные в этом направлении, сразу же нашли своё применение и позволили определить правильный порядок меры трансцендентности почти всех чисел (гипотеза Малера о мере множества S—чисел).

Изучение диофантовых аппроксимационных свойств кривых имеет большое значение как для развития метрической теории диофантовых приближений, так и в плане приложений в математической физике. Прежде всего представляет интерес доказательство так называемых свойств экстремальности многообразий¹. Наиболее изученным является случай многообразий большой размерности и топологического произведения многообразий и наиболее сложным и менее изученным — случай, когда их размерность меньше п/2 и выполены только общие аналитические условия. Особую трудность представляет собой задача об экстремальности кривых. Тем не менее, её актуальность наиболее велика в связи с тем, что многообразия большей размерности можно исследовать с помощью метода расслоений Пяртли².

Более тонкий подход к изучению диофантовых аппроксимационных свойств многообразий проявляется в так называемых теоремах хинчинов-ского типа. Фактически, они представляют собой критерий того, выполняется ли определённое диофантово свойство для почти всех точек многообразия или только на подмножестве нулевой меры. Единственным ограничением является требование монотонности функции, стоящей в правой части неравенств. Первая теорема такого сорта была получена А. Я. Хинчиным при изучении приближений действительных чисел рациональными. Позднее он дал обобщение своей теоремы на случай совместных приближений. Обшая теоремы хинчиновского типа о совместных приближениях точек п-мерного пространства была доказана А. В. Трошевым и её неоднородный аналог — В. Шмидтом. М. М. Додсон получил аналог теоремы хинчиновского типа для многообразий М С К" размерности d\mM > min(2, гс/2)

¹ Спуияоиеуя В.Г. Метрическая теория диофантовых приближений. -М.: Наука,
1977.-143 с.

² Шртл* А. С. Диофантовы приближения на подмногообразиях Евклидова простран
ства // функциональный анализ и его приложения.-1969.~Т. 3, N. 4.—С. 59-62.

со специальными геометрическими свойствами. В ряде работ исследован случай сходимости. Однако до настоящего времени не было известно ни одного полного аналога теоремы Хинчина для кривых.

Применение понятия размерности Хаусдорфа позволяет проводить различия между множествами нулевой меры, возникающими при изучении заданных аппроксимационных свойств точек подмногообразий М". А. Бэй-кер и В. Шмидт³ разработали общий подход, позволяющий находить оценки снизу для размерности Хаусдорфа таких множеств. Их метод основан на построении регулярной системы точек на множестве нулей функций из определённого класса, после чего оценка снизу для размерности Хаусдорфа получается с помощью общего утверждения. Построение регулярных систем тесно переплетается с вопросами приближений действительных чисел нулями гладких функций. Кроме того, при доказательстве метрических теорем широко используются факты распределения нулей.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является получение метрических теорем о диофантовых приближениях точек гладких кривых и, на их основе, теорем о приближениях действительных чисел нулями гладких функций из соответствующих этим кривым классов функций. Основные задачи диссертации: доказательство эффективных метрических теорем для приближений нуля значениями целочисленных многочленов и применение полученных результатов для исследования вопросов приближения действительных чисел квадратичными ирра-циональностями и вопросов распределения квадратичных иррационально-стей; развитие методов доказательства теорем об экстремальности кривых и их обобщений на случай совместных приближений, доказательство таких теорем и применение полученных результатов к вопросам совместных приближений действительных чисел нулями гладких гладких функций и вопросам распределения нулей гладких функций.

Научная новизна полученных результатов. Все результаты диссертации являются новыми. Для доказательства ряда теорем применён в значительной мере усовершенствованный метод существенных и несущественных областей. В него вошли новые идеи об использовании максимального числа диофантовых неравенств (теоремы 3.1 и 4.1) и новые идеи классификации распределений (доказательство теоремы 4.1). Также новым является применение эффективных метрических теорем к изучению распределения алгебраических чисел (глава 2).

Практическая значимость полученных результатов. Теоремы

³ Baker A, Shmidt W. Diophantine approximation and Hausdorff dimention // Proc. London. Math. . 21.-P. 1-11.

о диофантовых приближениях точек многообразий и, в частности, кривых находят применение при решении некорректных граничных задач для дифференциальных уравнений с частными производными, где часто вопрос корректности нехоторой граничной задачи оказывается связанным с так называемой проблемой малых знаменателей⁴. Влияние малых знаменателей состоит в том, что в решениях дифференциальных уравнений, представленных рядами Фурье, имеется бесконечно много членов с коэффициентами, знаменатели которых сколь угодно близки к нулю, что обуславливает расходимость данных рядов. Во многих задачах такого типа малые знаменатели имеют вид линейной формы с целыми коэффициентами:

аіхі + ... + а„х_п, а,-Є Z, г,-Є Ж.

При этом точка х = (хі,.. .,х_п), как часто оказывается, лежит на некотором подмногообразии Лі Є Ж". Метрический подход к проблеме малых знаменателей состоит в том, что анализ сходимости рядов, представляющих решение, проводится только для множества точек х, удовлетворяющих некоторым оценкам вида

|аіл₁+...+а„г„|>СЯ-^р,

которые справедливы всех х Є Лі за исключением некоторого малого множества. Малость этого множества может определятся как в терминах меры (мера этого исключительного можества нулевая), так и в терминах размерности Хаусдорфа.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Для множества

Bi{Q,) = {х є / : 3 Р Є P₂{Q) такой, что \Р(х)\ < є}, где I С [0,1] — интервал, Q Є N, Q > 10, є Є Ш, 0 < < \Q~², справедлива эффективная оценка меры вида CeQ?\I\ + 0(|/|<Э^-1'² + <5^_1 InQ), где С — постоянная, (теорема 2.1).

1. Множество квадратичных иррациональностей вместе с функцией Ф(а) = (Я(а)) образует регулярную систему точек (предложение 2.1).

2. Если дана монотоно убывающая положительная функция натурального аргумента ij>, то множество А[гр), которое состоит из тех (х, у) Є

⁴ Пташкик Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными проиэводными.-Киев: Наукова думка, 1984.-264 с.

Ж², для которых неравенство \Р(х) — у\ < Л^-1 v(/*)< ^где ^ ⁼ Н{Р)> имеет бесконечное число решений в многочленах Р с целыми рациональных коэффициентами, имеет нулевую или полную, меру Лебега если, соответственно, сходится или расходится ряд ^Уо~і Ф(ч) (теорема 2.2).

4. Для натурального п (2 < п < 4) и п—раз непрерывно дифференциру
емые функции /і, /2,..., f_n : І —+Ш. такие, что для почти всех г/
вронскиан их производных отличен от нуля, действительных чисел
v и ш, для которых тіп(«,гя) > п — 3 и v+ш > п- 1, множество
(г, у) Є /², для которых система неравенств

\F(x)\ < И(Г)-", \F(y)\

имеет бесконечное число решений в F — a„f_n + .. .+ai/i+ ao (а,- Є Z), имеет нулевую меру Лебега на плоскости (теорема 3.1).

5. Произвольная трёхмерная четырежды дифференцируемая кривая, у
которой кручение почти всюду отлично от нуля, экстремальна (тео
рема 4.1).

Личный вклад соискателя. Результаты глав 2 и 3 получены соискателем самостоятельно. Результаты главы 4 получеы в соавторстве.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на международном математическом конгрессе в Цюрихе (Швейцария, 1994 г.), на международной конференции "Диофантовы приближения" в Обер-вольфахе (Германия, 1996 г.), на международной математической конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского (г. Минск, 1993 г.); на международной конференции "Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные и функциональные методы в теории чисел" (г. Воронеж, 1995 г.); на научных семинарах в Московском государственном университете и Институте математики АН Беларуси.

Опубликованность результатов. Результаты диссертации опубликованы в работах списка опубликованных работ по теме диссертации.

Структура и объём диссертации. В диссертации имеется перечень условных обозначений, введение, общая характеристика работы, 4 главы, список использованных источников. Полный объём — 96 с, из них 4 с. занимает список использованных источников (43 наименования).