Введение к работе
Актуальность темы. Вопросы согласованных разложений конечно порожденных модулей исследуются еще с начала века. Известная теорема Фробениуса-Штикельбергера (см.[4], а также [5]) о разложении конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму циклических подгрупп выводится в известной монографии А.Г.Куроша [6] из так называемой теоремы о согласованных базисах. Если U — конечно порожденная свободная абелева группа и V С U, то существует базис {е,}"=1 группы U такой, что U = ф"_іЄ,-2 vi V — 0p=1e,-n,-Z , где m,- делит m,_i (см.[7, стр. 122]). Э.Штейницем в 1912 году аналог этой теоремы был получен для модулей над дедекиндовым кольцом R (см.[8], а также [6]). Если G — конечно порожденный проективный Л-модуль, и Я — его подмодуль, то существует разложение G = ф"_j С?,-, где G, — неразложимые модули, и существует цепочка идеалов кольца Я
Л Э h Э Э ./„
таких, что Н = Ф"=1 JjG',-.
Новая версия этого результата была получена М.Кнэбушем [9, Satz 1], для классических максимальных порядков. Д.Айзен-буд и Л.Робсон получили аналогичный результат для дедекиндо-вых первичных колец [10]. Совсем недавно Л.Клинглер и Л.Леви [11] распространили этот результат на модули над произвольным HNР-кольцом. Однако ситуация бесконечно порожденных модулей исследовалась значительно реже.
В работе И.Коэна и X.Глюка [12] был получен следующий результат. Если Я С G — свободные абелевы группы, то существует разложение G — (Bi^j'Zei, є,- Є G, такое, что Я = ф,-е/2л,-е,-для некоторых целых чисел П{, тогда и только тогда, когда группа G/H является прямой суммой циклических групп.
Недавно П.Хилл и Ч.Меджиббен [13] вывели теорему о согласованных базисах из так называемой "обобщенной теоремы о согласованных базисах", поскольку она дала решение проблемы тридцатилетней давности, сформулированной в книге Фукса [5, с.203]. Обобщенная теорема о согласованных базисах утвер-
ждает, что две проективные резольвенты абелевой группы А
О Н G —'—* А > О
I (1)
О Н' С "' ) А > О,
где группы G и С бесконечно порожденные, изоморфны над А тогда и только тогда, когда для любого простого р
{H + Gp\ fII' + G'P\
dlmFp [-^-) = dim,, (-&f-)
В настоящей работе исследуются вопросы согласованных разложений бесконечно порожденных модулей над ограниченными дедекиндовыми первичными кольцами.
Цель работы. Целью диссертации является получение аналогов теорем о согласованных базисах и "обобщенной теоремы о согласованных базисах" для модулей над ограниченными дедекиндовыми первичными кольцами.
Общая методика исследований. В работе использованы методы теории колец и модулей, а также линейной алгебры.
Научная новизна. Получены следующие новые результаты:
-
найдены необходимые и достаточные условия нахождения изоморфизмов, дополняющих диаграмму (1) до коммутативной, где все модули рассматриваются над ограниченным дедекиндо-вым первичным кольцом Я;
-
найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы существовали согласованные разложения проективного R-модуля и его подмодуля.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методика ее исследований применимы в общей теории колец, а также в гомологической алгебре.
Апробация работы. Результаты докладывались на Международной алгебраической конференции памяти Д.К.Фаддеева (Санкт-Петербург, 1997 г.) и алгебраическом семинаре имени
Д.К.Фаддеева в Санкт-Петербургском отделении Математического института им.В.А.Стеклова Российской Академии Наук.
Публикации. По теме диссертации автором опубликованы три работы ([1-3]).
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на 5 параграфов и списка литературы, содержащего 22 наименования. Диссертация содержит 48 страниц компьютерного текста.