Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Центральная предельная теорема для экстремальных характеров бесконечной симметрической группы 11
1.1. Введение к главе 1 11
1.2. Основные леммы 15
1.3. Доказательства теорем 24
Глава 2. Центральная предельная теорема для планшерелевских представлений бесконечномерной унитарной группы 31
2.1. Введение к главе 2 31
2.2. Предварительные сведения 33
2.3. Формулировка результата 47
2.4. Подсчет ковариации 54
2.5. Доказательство асимптотической гауссовости 60
Глава 3. Перемежающиеся последовательности Керова и случайные матрицы 86
3.1. Введение к главе 3 86
3.2. Непрерывные диаграммы Юнга
3.3 Доказательство теоремы 3.1.1 92
3.4 Доказательство теоремы 3.1.2 94
3.5 Связь с полукруговым распределением и распределением Марченко-Пастура 98
Литература
Основные леммы
Легко видеть, что aD = а. Кроме того, вектор а покомпонентно больше, чем начальный вектор этой марковской цепи ао = (1,0,0,0,...). Из неотрицательности элементов матрицы D следует, что и aDn будет покомпонентно больше, чем OQD11 для любого п. Но aDn = а, поэтому ЕФдз,9і( ) для любого п будет ограничено числом
Зафиксируем порядок на Л. Пусть буквы a, b Є Le, а b, образуют интервал относительно этого порядка (т.е. а и b — соседние буквы) и w Є Лп — слово, подаваемое на вход RSK-алгоритма. Обозначим символом и)а,ъ слово, полученное из w вычеркиванием всех букв, кроме а и Ь.
Назовем возможным преобразованием слова wa,b слово (обозначим его символом dw(wa,b)), в которое записывается тот порядок букв а и 6, в котором они выбиваются из первой строчки в процессе действия обобщенного RSK-алгоритма на слове w; если какие-то буквы остались не выбитыми из первой строчки, то допишем их в конец слова dw{wa,b) в том порядке, в котором они стоят в первой строчке.
Будем называть суффиксом слова w = Z\Z2 zn любое слово вида ZkZk+iZk+2 %п. Для всех суффиксов (включая пустой) слова wa определим разность числа букв b и числа букв а, входящих в них. Максимальную из этих разностей назовем результатом и обозначим символом p(wa b), а любой суффикс, на котором она достигается, будем называть максимальным.
Легко видеть, что если применять RSK-алгоритм непосредственно к слову Wa b, то в первой строчке останутся не выбитыми ровно p{wa,b) букв Ь.
Будем образовывать пары букв из слова wa b. В каждой паре будет одна буква b и одна буква а, причем буква а будет стоять в слове и)а,ъ правее, чем буква b из этой пары. Составим эти пары следующим образом: первой возьмём самую правую букву а и поставим ей в соответствие ближайшую к ней слева букву Ь. Затем возьмём самую правую из ещё не выбранных букв а и поставим ей в пару самую ближнюю к ней слева букву b из числа ещё не выбранных. Проделаем эту процедуру максимально возможное число раз. Буквы 6, не вошедшие в пары, будем называть черными, а вошедшие — белыми. Для слова wX2,x3 из примера (см. выше) разбиение на пары будет выглядеть следующим образом: Докажем, что ровно р{и)а,ъ) букв b не вошло в пары. Действительно, пусть число черных букв равно р . Рассмотрим суффикс, начинающийся с самой левой из черных букв. Каждая буква а из этого суффикса должна быть сопоставлена с буквой b из этого же суффикса. Поэтому разность числа букв b и а для него равна р . Значит, p(wa,b) р . С другой стороны, в максимальном суффиксе должно быть как минимум p(wa,b) черных букв. Поэтому р = p(wa b).
Будем для удобства считать, что в ходе RSK-алгоритма выбивается сначала белая буква 6, и только если такой нет — то черная. Понятно, что эта условность никак не влияет на ход алгоритма.
Покажем, что в каждой паре буква b будет выбита раньше, чем соответствующая ей буква а. Будем доказывать это утверждение индукцией по числу пар. Рассмотрим самую левую пару. Буква 6, входящая в нее, является первой белой буквой b в слове, поэтому буква а из этой пары обязана её выбить. Для fc-ой слева пары рассуждение аналогично: в момент прихода буквы а из этой пары белые буквы b из предыдущих к — I пары уже выбиты (по предположению индукции), поэтому пришедшая буква а обязана выбить букву b именно из своей пары (если она не была выбита раньше, что также возможно). Поэтому порядок в паре будет тот же и после любого возможного преобразования строки wa .
Докажем теорему 2 для частного случая, а именно: предположим, что среди а- и /3-параметров имеется лишь конечное число ненулевых и что 7 = 0. В этом случае теорему достаточно доказать для случая, когда К равно числу всех ненулевых а-параметров, а L равно числу всех ненулевых /3-параметров. Таким образом, алфавит В силу следствия из леммы 1, утверждения теоремы достаточно доказать для какого-то одного порядка. Упорядочим алфавит Л следующим образом: Будем применять к случайному слову w Є Лп обобщенный RSK-алгоритм. Обозначим символом Й(гг) число букв Xj в г-ой строчке получающейся Л-таблицы. Легко видеть, что при введенном порядке &(п) = 0, если г j.
Оценка сверху. Обозначим символом w слово на входе обобщенного RSK-алгоритма, и символами w1 }w2}... — слова, в которые записываются буквы в том порядке, в котором они выбиваются из первой, второй, ... строчек.
Докажем L-ограниченность величины ,1к(п) при к I. Заметим, что w% l_ — это последовательность букв хк-і и Xk поступающих в г-ую строку, а wx _ — последовательность букв Xu-i и Хи выбиваемых из г-ой строки. Поэтому слово wl, является возможным преобразованием слова wl l_ х , из которого вычеркнуты те буквы Xk-i и Xk, которые остались не выбитыми из г-ой строки. Но таких букв, по предположению индукции, L-ограниченное число. Поэтому из леммы 5 следует, что: в силу леммы 4. Рассуждая так же, как при доказательстве оценки сверху для первой строчки, приходим к неравенству
Идея доказательства оценки сверху состоит в сведении общего случая к случаю конечного числа параметров с помощью операции укрупнения. Порядок р2, используемый для оценки сверху, определим так, чтобы были возможны операции укрупнения, предписанные нижеследующими шагами (то есть буквы, которые будет нужно отождествить, должны образовывать интервалы относительно порядка рг). Нашей целью является получение после нескольких укрупнений конечного числа параметров, причём К первых по величине «-параметров не должны измениться и все а-параметры должны быть различны.
Предварительные сведения
Асимптотический анализ мер на разбиениях, возникающих из теории представлений, является хорошо известным и распространенным объектом для исследований. Он важен для самой теории представлений (см. [17] и ссылки в ней) и тесно взаимосвязан с теорией случайных матриц, системами взаимодействующих частиц, перечислительной комбинаторикой и другими областями, для которых он часто предоставляет ключевые технические средста (см., например, [44], [48]).
Обычно такие меры возникают следующим образом. Пусть у нас есть группа с хорошо известным набором неприводимых представлений, которые могут быть параметризованы разбиениями или схожими объектами. Тогда разложение какого-либо естественного приводимого представления этой группы на неприводимые компоненты дает разложение общей размерности представления на размерности изотипиче-ских компонент; отношение соответствующей размерности и размерности всего пространства и будет весом меры. Данная процедура корректно определена не только для конечномерных представлений, но и для бесконечномерных с конечным следом; вес (параметра) изотипической компоненты определяется в этом случае как след проектора на нее, при условии, что след нормализован так, что его значение на тождественном операторе равно 1.
Альтернативный подход к подобным мерам состоит в определении средних по этим мерам на подходящих наборах функций на множестве параметров неприводимых представлений. Эти средние возникают как следы операторов во всем пространстве представления, являющихся скалярными в каждой изотипической компоненте. В свою очередь, эти операторы являются образами центральных элементов групповой алгебры в случае, если группа конечна, и универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли в случае, если рассматривается группа Ли. Эти центральные элементы образуют коммутативную подалгебру, которая отображается в алгебру функций на параметрах, т.е. на разбиениях или схожих объектах. Значение функции, соответствующей центральному элементу, на параметре представления равняется (скалярному) значению этого элемента на этом неприводимом представлении.
С точки зрения теории вероятностей, данный подход выглядит полностью удовлетворительным. Однако, с точки зрения теории представлений, не ясно, почему мы можем рассматривать лишь коммутативные подалгебры, в то время как основной интерес теории представлений заключается в некоммутативных эффектах.
Цель данной работы — продвинуться дальше этого коммутативного ограничения. Более подробно, для некоторого представления бесконечномерной унитарной группы с конечным следом, описанного ниже, мы рассматриваем семейство коммутативных подалгебр универсальной обертывающей алгебры, таких что элементы различных подалгебр, вообще говоря, не коммутируют. Далее, мы рассматриваем предельный режим, для которого известно (см. [11]), что меры, отвечающие каждой из подалгебр, аппроксимируются двумерными гауссовскими свободными полями (GFF — Gaussian Free Field). Мы изучаем “совместное распределение” этих GFF, чтобы это ни могло значить.
Для любого элемента универсальной обертывающей алгебры можно определить его “среднее” как след его образа в представлении. Поэтому, при заданном представлении, можно определить “средние” для произвольных произведений элементов из наших подалгебр, несмотря на то, что они не коммутируют.
Наш основной результат заключается в том, что для некоторых планшерелевских представлений эти “средние” сходятся к настоящим средним соответствующих наблюдаемых гауссовского процесса, состоящего из семейства коррелированных GFF. Поэтому изначальное отсутствие коммутативности исчезает, но предельные гауссов-ские свободные поля, возникающие из различных подалгебр, не становятся независимыми.
Этот же предельный объект (набор коррелированных гауссовских свободных полей) был ранее получен как универсальный глобальный предел для флуктуаций собственных значений различных подматриц вигнеровской эрмитовой случайной матрицы, см. [8]. Можно предполагать, что этот процесс возникнет и для других, не планшерелевских фактор-представлений бесконечномерной унитарной группы при соответствующих предельных режимах.
Хорошо известно, что неприводимые комплексные представления группы U(N) параметризуются сигнатурами длины N (см., например, [58], [59]). Пусть Dinijv(A) — размерность неприводимого представления, параметризованного сигнатурой А. Обозначим символом \х неприводимый нормированный характер группы U(N) (т.е. функцию на группе, равную следу соответствующего оператора деленному на Dinijv(A)), отвечающий представлению, параметризованному сигнатурой А.
Подсчет ковариации
Асимптотический анализ мер на разбиениях, возникающих из теории представлений, является хорошо известным и распространенным объектом для исследований. Он важен для самой теории представлений (см. [17] и ссылки в ней) и тесно взаимосвязан с теорией случайных матриц, системами взаимодействующих частиц, перечислительной комбинаторикой и другими областями, для которых он часто предоставляет ключевые технические средста (см., например, [44], [48]).
Обычно такие меры возникают следующим образом. Пусть у нас есть группа с хорошо известным набором неприводимых представлений, которые могут быть параметризованы разбиениями или схожими объектами. Тогда разложение какого-либо естественного приводимого представления этой группы на неприводимые компоненты дает разложение общей размерности представления на размерности изотипиче-ских компонент; отношение соответствующей размерности и размерности всего пространства и будет весом меры. Данная процедура корректно определена не только для конечномерных представлений, но и для бесконечномерных с конечным следом; вес (параметра) изотипической компоненты определяется в этом случае как след проектора на нее, при условии, что след нормализован так, что его значение на тождественном операторе равно 1.
Альтернативный подход к подобным мерам состоит в определении средних по этим мерам на подходящих наборах функций на множестве параметров неприводимых представлений. Эти средние возникают как следы операторов во всем пространстве представления, являющихся скалярными в каждой изотипической компоненте. В свою очередь, эти операторы являются образами центральных элементов групповой алгебры в случае, если группа конечна, и универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли в случае, если рассматривается группа Ли. Эти центральные элементы образуют коммутативную подалгебру, которая отображается в алгебру функций на параметрах, т.е. на разбиениях или схожих объектах. Значение функции, соответствующей центральному элементу, на параметре представления равняется (скалярному) значению этого элемента на этом неприводимом представлении.
С точки зрения теории вероятностей, данный подход выглядит полностью удовлетворительным. Однако, с точки зрения теории представлений, не ясно, почему мы можем рассматривать лишь коммутативные подалгебры, в то время как основной интерес теории представлений заключается в некоммутативных эффектах. Цель данной работы — продвинуться дальше этого коммутативного ограничения. Более подробно, для некоторого представления бесконечномерной унитарной группы с конечным следом, описанного ниже, мы рассматриваем семейство коммутативных подалгебр универсальной обертывающей алгебры, таких что элементы различных подалгебр, вообще говоря, не коммутируют. Далее, мы рассматриваем предельный режим, для которого известно (см. [11]), что меры, отвечающие каждой из подалгебр, аппроксимируются двумерными гауссовскими свободными полями (GFF — Gaussian Free Field). Мы изучаем “совместное распределение” этих GFF, чтобы это ни могло значить.
Для любого элемента универсальной обертывающей алгебры можно определить его “среднее” как след его образа в представлении. Поэтому, при заданном представлении, можно определить “средние” для произвольных произведений элементов из наших подалгебр, несмотря на то, что они не коммутируют.
Наш основной результат заключается в том, что для некоторых планшерелевских представлений эти “средние” сходятся к настоящим средним соответствующих наблюдаемых гауссовского процесса, состоящего из семейства коррелированных GFF. Поэтому изначальное отсутствие коммутативности исчезает, но предельные гауссов-ские свободные поля, возникающие из различных подалгебр, не становятся независимыми.
Этот же предельный объект (набор коррелированных гауссовских свободных полей) был ранее получен как универсальный глобальный предел для флуктуаций собственных значений различных подматриц вигнеровской эрмитовой случайной матрицы, см. [8]. Можно предполагать, что этот процесс возникнет и для других, не планшерелевских фактор-представлений бесконечномерной унитарной группы при соответствующих предельных режимах.
Хорошо известно, что неприводимые комплексные представления группы U(N) параметризуются сигнатурами длины N (см., например, [58], [59]). Пусть Dinijv(A) — размерность неприводимого представления, параметризованного сигнатурой А. Обозначим символом \х неприводимый нормированный характер группы U(N) (т.е. функцию на группе, равную следу соответствующего оператора деленному на Dinijv(A)), отвечающий представлению, параметризованному сигнатурой А. Сопоставим сигнатуре А две диаграммы Юнга (А+, А ) так, что А+ задается неотрицательными Aj, а А — отрицательными Aj, то есть Пусть для каждого N даны функции / : U(N) — С, и функция / : U(oo) — С. Будем говорить, что последовательность {/W} аппроксимирует функцию /, если для любого фиксированного No Є N ограничения функций / на U(No) равномерно сходятся к ограничениям функции / на U(No).
Оказывается, экстремальные характеры U(oo) могут быть аппроксимированы нормированными неприводимыми характерами групп U(N). Теорема 2.2.1. Пусть \ш экстремальный характер U(oo), отвечающий точке ш = (о!±,/3±, ±) Є Q. Пусть {\(N)} — последовательность сигнатур длины N, причем координаты Фробениуса диаграмм Юнга Xі1 равны ai (N), bi (N). Тогда нормированные характеры х аппроксимируют х тогда и только тогда, когда Пусть (БТГдг — множество всех сигнатур длины N. Удобно также определить GT0 как множество, состоящее из единственного элемента 0. Будем говорить, что сигнатуры А Є G1V и ц Є GUV-1 перемежаются и писать ц - А, если выполнено условие Aj /ij Aj__i для всех 1 г N — 1. Также будем считать, что 0 - А для любого А є GTi, и GT0 = {0}.
Непрерывные диаграммы Юнга
Пользуясь ими, будем “проносить” все xss из Dj налево, а все dss — направо. После такой операции S будет записано в виде суммы нескольких слагаемых. Заметим, что слагаемое, в котором все xss прошли влево, а dss — вправо, дает в точности такой же вклад, что и rfL1, умноженное на (S ). Следовательно, вклад этого члена сокращается с вкладом, возникающим из (— L1) в Dj. С другой стороны, если xss или dss взаимодействуют с другими множителями в процессе перемещения, то это уменьшает общее количество dss, и те же рассуждения, что и при оценке (S"), показывают, что вклад такого члена в среднее есть
Поскольку суммирование по различным индексам добавляет 0(LCOV ), то общий вклад слагаемых вида (2.5.5) равняется 0(LfclH i-Av-i что завершает доказательство предложения 2.5.2. В частности, при г = 2 из приведенных рассуждений следует, что величина {УІЩ) имеет порядок Lkl+k2. При этом вклад в Lkl+k2 дают некоторые классы изоморфных графов. Поскольку таких классов конечное число, то из этого следует существование асимптотической ковариации — предела величины L_ -fcl+fc2 (z/1z/2).
Доказательство леммы 2.5.1. Ввиду коммутирования множителей (2.5.2) с различными индексами, достаточно доказать, что раскроем скобки в первом множителе и, пользуясь соотношениями (2.5.6), проком-мутируем все операторы д направо. После такой операции возникло несколько слагаемых. Слагаемое, в котором все д без сокращений “прошли” направо, дает в точности тот же вклад в среднее, что и возникающее при умножении на rfL1, и поэтому сокращается с вкладом от (— уЬ)1. Если же слагаемое возникло в результате а взаимных
Раскрывая скобки в сохранившем прежний вид множителе и повторяя рассуждения, мы снова получаем сокращающийся вклад в слагаемом, в котором не произошло взаимных уничтожений. Поэтому все остающиеся слагаемые дают вклад 0(LilH 1Л-2).
Доказательство леммы 2.5.2. Будем кодировать слова из алфавита {ж , 5 } графами с дополнительной структурой. Каждому индексу из носителя монома мы сопоставляем вершину графа. Ребра графа будут двух сортов: ж-ребра и 5-ребра. Каждой букве Xij мы сопоставляем ориентированное ж-ребро, соединяющее вершины, отвечающие индексам і и j. Аналогично, каждой букве dij мы сопоставляем 5-ребро между теми же вершинами. Кроме того, введем на ребрах графа линейный порядок, соответствующий порядку букв в слове; чем меньше ребро относительно этого порядка, тем правее стоит его буква в слове. Такой порядок задает очередность применения множителей к функции exp ( jL (хц — 1)).
Пример. Моном ЖцЖгг іг зіЖгз зг переходит в граф, показанный на рисунке 2.3 Композиция дифференциальных операторов (конкатенация слов), соответствует
Введем обозначения для такого графа G. Пусть V(G) — множество вершин G. Пусть EX(G), EQ(G), E(G) — множества невырожденных (соединящих различные вершины) ж-, д- и всех ребер G, соответственно. Пусть LX(G), LQ(G), L(G) — множества вырожденных ребер (петель). Пусть E b, Eg , Eab — множества (невырожденных) ребер между а,Ь Є V(G), афЪ. Назовем построенный по моному граф х-, д-, или просто регулярным, если исходный моном обладал соответствующим свойством.
Определение. Назовем полным циклом степени к 1 граф, отвечающий моному aiii... хакікдаіі2 ... дауі-у с носителем размера 2к. Назовем циклом степени к 1 граф, полученный из того же монома, но носитель которого удовлетворяет соотношению 2 cov 2к. Цикл можно получить из полного цикла идентификацией некоторых вершин (при этом должны оставаться как минимум две различные вершины).
Определение. Назовем полным х-циклом граф, полученный из полного цикла склейкой начала и конца каждого 5-ребра, а полным д-циклом — граф, полученный из полного цикла склейкой начала и конца каждого ж-ребра.
Определение. Назовем х-циклом граф, получаемый из полного ж-цикла отождествлением некоторых, но не всех, вершин, соединенных ребром. Аналогично, назовем д-циклом граф, получаемый из полного д-цикла отождествлением некоторых, но не всех вершин, соединенных ребром.
Рассмотрим второй член. Произведение мономов из vx и и2 дает нену левой вклад только если первый из них содержит только невырожденные 5-ребра, а второй — только невырожденные ж-ребра, при этом цепи этих ребер должны совпадать. Если эти графы содержат п 2 вершин, то вклад порядка Lk+l от класса изоморфных графов может быть достигнут только если множители являются (9-циклом и ж-циклом, соответственно.
Зафиксируем упорядоченный набор из п индексов. Простой комбинаторный под-счет показывает, что существует неизоморфных мономов, графы которых явля ются 5-циклами с п невырожденными ребрами, которые посещают зафиксированные вершины в выбранном порядке и возникают с помощью отождествления вершин из полных а-циклов длины к п. Аналогично, существует неизоморфных ж-циклов, удовлетворяющих аналогичному условию. Кроме того, первая вершина ж-цикла может быть выбрана произвольно (а остальной порядок посещения вершин определен однозначно), что влечет умножение на п. Наконец, упорядоченный набор из п вершин, общих для обоих множителей, может быть выбран \1\ П І2І"- + o(Ln) способами. Следовательно, вклад произведения внедиагональных множителей в коэффициент при Lk+l равен