Введение к работе
Актуальность темы. Современная теория шшариантов по сути дела совпадает с теорией алгебраических групп преобразований. Такое понимание вопроса является общепризнанным после появления книги Мамфорда "Геометрическая теория инвариантов". При -этом толкований предмета естественно считать, что основной целью теории является описание регулярных действий алгебраических групп на алгебраических многообразиях с точностью до изоморфизма. Ясно, что такая цель является идеальной, однако она является источником плодотворных идей и новых достижении в теории инвариантов. Очевидно, одним из шагов по направлению к ней должна быть какая-то классификация действий. Здесь слово "классификация" понимается в общечеловеческом смысле, как разбиение на классы. В последнее время выяснилось, что очень хорошей является классификация действий по рангу и: сложности. Более точно, любому действию родуктнвной группы G на неприводимом алгебраическом многообразии .V можно сопоставить 2 неотрицательных целых числа: ранг Г(;(Х) и сложность сс,{Х) и мы относим к одному классу действия (многообразия) имеющие одинаковые рднг и сложность. Пусть В - борелевская подгруппа в G. Тогда сс(Х) - это минимальная коразмерность Д-орбнт в Л', а сс(Х) + гс{Х) -минимальная коразмерность с7-орбнт в X. По теореме Розенлнхта, указанные числа можно выразить через степень трансцендентности полей В- и {/-Инвариантных рациональных функций.
Понятие сложности для однородных пространств появилось в статье Луны и'Вуста [LV83]1. Общее определение п ряд фундаментальных результатов содержатся в статье Э.Б.Вннберга [Vi8G]2. Определение ранга действия было дано независимо автором и Ф.Кнопом3. На самом деле понятие ранга действия является срезом более точного понятия -ранговой группы. А именно, любому действию родуктнвной группы на алгебраическом многообразии можно сопоставить некоторую подгруппу группы характеров максимального тора, причем ранг этой группы
'Luna, D., Vust, Th.: Plongements d'espaces homogenes, Comment. Math. Helv. 58(1983). 186-245.
2Винберг, Э.Б.: Сложность действий родуктипных групп, Функц. анализ и его приложения т.20, Ш (1986), с.1-13.
3Knop, F.: Weylgruppe und Mornentabbildung, Invent, math. 99(1990), 1-23.
.равен рангу действия. Для действий на аффинных многообразиях еще более полезным является понятие ранговой полугруппы.
Понятия сложности и ранговой группы особенно употребительны в теории жшшлриантных вложений однородных пространств. Общая теория [LYS3] дает, в принципе, ойкание всех мыслимых вложений в терминах сложной комбинаторики, включающей в себя структуру множества ?-11нпаршштных дітизороБ на G/H и множества (У-инварнантных нормирований поля k(G/H). Структура вышеуказанных множеств непосредственно зависит от сложности и ранговой группы однородного пространства. С другой стороны, как показано в [\'i8C], c0-(G/i/) дает оценку сверху на число параметров от которых может завнснть семейство G-орГшт (и даже Д-орбпт). лежащих в X \ Gx, Это показывает, что важно иметь практические методы нахождения ранга и сложности многообразий, в особенности однородных пространств.
Привлекательность классификации по рангу и сложности проявляется и в том, что многообразия, отвечающие малым значениям этих параметров, допускают красивые описания. Например, многообразия сложности нуль могут быть выделены целым рядом разнообразных эквивалентных условий и более известны под именем "сферических миогооооразпй". (Теория сферических многообразий развивается в работах Д.Н.Ахнезера. М.Брнона, Д.Луны, Ф.Кнопа, А.Хаклберри н многих других.) Можно также описать вес однородные пространства ран-. гов 0 и 1 и сказать немало интересного об однородных пространствах сложности 1 (см. статьи Д.Н.Ахнезера4,М.Брнона5 н автора6).
Непосредственно из определений следует, что тематика связанная с рангом и сложностью действий может рассматриваться как часть другой темы - инварианты нередуктнвных подгрупп редуктивных групп преобразований. В этой связи очень важным является изучение алгебры ковариантов к[Х]и для действия G на аффинном многообразии X. Она рассматривалась ещё классиками, но лишь сравнительно недавно было доказано, что она конечно порождена. Для нас эта алгебра важна по многим причинам. Во-первых, она хранит информацию о структуре
4 Akbiezer, D.N.: Equivariant completions of homogeneous algebraic varieties by homogeneous divisors, Ann. Global Analysis and Geometry 1(1983), 49-78.
5Brion, M.: Parametrization and embeddings of a class of homogeneous spaces, Contemporary
Mathematics, volume 131, 1992, p.353-360. .
''f'anyusliev, D.: On homogeneous spaces of rank one, Indag. Math. 8(1995), 315-323.
веем алгебры к[Х] как G-модуля; во-вторых, она содержит в себе алгебру /ф\']6; в-третьих, по ней сразу прочитываются сложность действия и ранговая полугруппа.
Цель работы и главные результаты. Одним из главных результатов диссертации является метод удвоения действия, который сводит задачу нахождения ранга и сложности к вопросу о стабилизаторе общего положения для действий редуктивных групп. При -этом для однородных пространств все может быть сведено даже к предс.таалкппам редуктивных групп. Указанный метод позволяет находить не только ринг действия, но и ранговую группу, а для действий на аффинных многообразиях и насыщенную ранговую полугруппу.
На основе этого метода в диссертации получены следующие оспенные результаты.
Найдена и изучена связь между рангом и сложностью однородного пространства и представлением коизотроппн его стабилизатора.
Получен способ находить ранг и сложность однородного пространства в терминах правильного вложения стабилизатора.
Классифицированы аффинные однородные пространства сложности один простых алгебраических групп.
Получено явное описание сферических ннльпотентных орбит присоединенного представления.
!
Доказана теорема об ограничении для алгебры ковариантов и описаны симметрии её ряда Пуанкаре.
Показано как общие результаты диссертации (метод удвоения, теорема об ограничении) работают для важного класса многообразий - аффинных двойных конусов. Это имеет приложения к задаче разложения тензорных произведении.
Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в теории инвариантов, алгебраической геометрии, теории представлении алгебр Ли и при изучении квазноднородных многообразий. >
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались: на международной конференции по алгебре в Новосибирске (авг. 1989). на семинаре по группам Ли и теории инвариантов в МГУ (дек. 1991. окт. 1993), на семинаре Математического института ун-та Базеля (июнь 1991, май 1993). в институте М.Планка в Бонне (март 1993), на евроконферен-шш по "Алгебраическим группам преобразований" в Греции (авг. 1995).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора, указанных конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и 6 глав. Её общий объем - 113 страниц в ТеХ'с, из которых 4 страницы занимает библиография. Библиографический список насчитывет 34 названия. ч