Введение к работе
Актуальность теми; Как известно і понятие регулярности кольца С в смысле Неймана) іЗ, 2 3 играет существенную роль в теории колец и модулей. Например, каждый правый (левый) R -модуль является плоским тогда и только тогда, когда кольцо R -регулярно. Кроме того, Л.В. ТюкамшСзЗ доказал, что над коммутативным полукольцом 5Г все модули плоские тогда и только тогда, когда 5^ является регулярным .кольцом.
Далее, Д.В.ТлкавкинХ^Л доказал, что РХ -кольцо, каждый односторонний идеал которого порождается иженпотентами, является регулярным кольцом. И.Каїгланский 53 установил, что коммутативное кольцо является V -кольцом тогда и только тогда, когда оно регулярно. .
Н.Джекобсои j~63 рассматривал X -кольцо, в котором всякий правый (левый) идеал, не являющийся ниль-идеалом, содержит ненулевой идемпотентный элемент. Им доказано, что радикал Джекобсона такого кольца является киль-идеалом. Далее, К.Никольсон 7 3 изучал кольца, в которых, всякий правый (левый) идеал, не содержащийся в радикале Джекобсона кольца, содержит ненулевой идемпотентный элемент под названием -Г0 -кольца.
Очевидно, когда радикал Джекобсона кольца является ниль-идеалом, то понятие TD -кольца и X -кольца совпадают.
3 настоящей работе рассматриваются Ґ0 -кольца под названием слабо регулярных колец.
Отметим, что й,С.Ромамурти [83 тоже ввёл понятие слаЗо регулярного кольца, а именно, кольцо R назвал слабо регулярным слева, если CCsROwROl Х*я всех О.Є R . Однако,классы слабо регулярных колец, определенны* нами и В.С.Ромамурти, существенно различны,
К.Никольсон доказал, что, для того чтобы' кольцо R являлось слабо регулярным кольцом, необходимо и достаточно, чтоби для любого й R ,0v^3LR) сучествовал такойОСЄ 1^ , ОС фх> f wo
- ч -
Класс слабо регулярних колец, очень широк. Например, он содер-
« >
жит класс регулярних колец. Кроме того, внутри регулярного кольца существует правые (левые) идеалы, не являвшиеся регулярными кольцами, которые является слабо регулярными кольцами. Более точно, оказывается, что всякай правый, (левый) идеал регулярного кольца является слабо .регулярным кольцом.
Отметим, что Н.Д«екобсон Гб] доказал, что еоди.рздикал Дже- ' кобсона3() кольца равен нулю, то для любого правого идеала Т~ кольца $ рассматриваемого как кольцо, его радикал Джекобсона
Если б - идемпотентный элемент регулярного кольца такой, что
то подкольцо К. не является регулярным кольцом, причём с ненулевым радикалом Джекобсона.
В работе ff 15 J доказана следующая теорема (теорема І СХ5І ): К-модуль М обладает свойством конечной замени тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов S обладает свойством -если о<Є^ # то существуют $ ,Q^e.S такие, что ^<Ч^=*){ и б^О —«<Х'—^"0 — C'-VX) . Из этого факта следует, что кольцо эндоморфизмов модуля, обладающее свойством конечной замены, слабо регулярно. С другой стороны, всякое кольцо, обладающее свойством конечной замены, слабо регулярно.
Цель работа; Целью работ» является развитие некоторых новых методов исследования слабо регулярных колец; модулей, обладающих слабо регулярным.кольцом эндоморфизмов,и установление их взаимосвязи.
Методика исследования: В работе используются методы теории колец и модулей.
Научная новизна: Зев основные- результат» диссертации являются новыми и заключаются в следующем:
I. Дано полное описание слабо регулярного кольца а терминах , кольца многочленов от одного переменного, а также в терминах колец эндоморфизмов проективных (свободных) модулей.
2.Дано полное описание слабо регулярного кольца в терминах плоскости определенного класса циклических модулей.
3, Обобщены основные результаты П?! .
4. Дано полное описание слабо регулярных проективных, модулей.
5« Ооисаностроение проективних (свободных) модулей над слабо
регулярными .кольцами..
-
Дано новое описание радикалаЛжекобсона коммутативного (произвольного) кольца.через пересечение идеалов (правых идеалов), удовлетворяющих некоторому условию.
-
Описано строение сильно регулярных колец и модулей. Кроме того, установлена новая характеристика классического полупростого кольца в терминах сильно регулярности определенного класса модулей.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в теории колец и модулей.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры алгебры Казанского университета, на ежегодных Итоговых научных конференциях КГУ, на алгебраическом семинаре Института Математики с ВЦ АН Молдовской республики, а также на Международных конференциях по алгебре (г.Барнаул, 1991г.), (г.Красноярск, 1993г.), (г.Казань, 1994г.).
Основные результаты диссертации опубликованы в б работах, список которых приведён в конце автореферата.
- б.-
Структура диссертации. Диссертационная работа выполнена на 97 страницах машинописного текста и. состоит из введения и четырёх глав. Библиография содержит 49 наименований.