Введение к работе
Актуальность темы. Центральное место в теории алгебр Ли занимают простые конечномерные алгебры Ли. Структурная теория таких алгебр над полем нулевой характеристики приобрела законченный вид к середине нашего столетия. Для полей положительной характеристики р (модулярные алгебры Ли) положение иное. Известны следурічцю классы простых модулярных алгебр Ли при р > 3 : классические - An, Bn> Cn> Dn, Efi, Е-, Eg, F4, G„, получающиеся редукцией no mod р из комплексных простых конечномерных алгебр Ли, алгебры Ли картановского типа, аналогичные бесконечномерным алгебрам Ли векторных полей, и исключительная серия алгебр Меликяна при р = 5, не имеющая аналогов в нулевой характеристике. А.И.Кострикин и И.Р.Шафаре-вич высказали гипотезу, относительно которой любая неклассическая простая конечномерная алгебра Ли над полем характеристики р > 7 является алгеброй Ли картановского типа. В настоящее время эта гипотеза доказана Р.Блоком и Р.Вильсоном для случая ограниченных алгебр Ли. Значительных успехов в доказательстве классификационной гипотезы Кострикина-Шафаре-вича достигли Г.Бенкарт, Дж.Осборн, Х.Штраде и Р.Вильсон .
А.И.Кострикин обратил внимание на особую роль сэндвичей (элементов С і L, таких,что (ad С)2= О)-в классификации простых модулярных алгебр Ли. Согласно гипотезе А.И.Кострикина нормализатор сэндвичевой подалгебры (подалгебры, порожденной сандвичами) является максимальной подалгеброй в простой неклассической алгебре Ли. Эта гипотеза была доказана А.И.Кос-_
Strale Н., Wilson R.L.//Bull.Amer.Math.Soc.- 1991.- V.24 HZ.- Р.357-362.
-/-
трикшшм и И.Р.Шафаревичем для ограниченных алгебр Ли карта-новского типа, а затем Г.О.Эльстингом для градуированных алгебр Ли картановского типа. В диссертации исследуются сэнд-вичаьы подалгебры в алгебрах Ли картановского типа и в алгебрах Моликяна, проверяется гипотеза А.И.Кострикина о максимальности нормализатора Сандвичевой подалгебры для этих алгебр.
Цель работы состоит в исследовании алгебр Ли картановского типа над полом характеристики р > 3 (в частности, специальных и гамильтонових алгебр), описании сэндеичевих подалгебр в алгебрах картановского типа и в алгебрах Меликяна, доказательстве гипотезы А'.И.Кострикина о максимальности нормализатора сэндвичевой подалгебры в этих алгебрах.
Научная новизна и практическая ценность. В работе 1. Найдены образующие элементы специальных и гамильтоновых алгебр Ли картановского типа над полем характеристики р > 3,а также подсчитаны их размерности для всевозможных дифференциальных форм. Необходимо отметить, что в частном градуированном случае этот результат получен А.И.Костри-кшшм и И.Р.Шафаревичем. Z. Исследована сандвичева подалгебра во всех фильтрованных алгебрах Ли картановского типа и в алгебрах Меликяна. Получено удобное описание сэндвичевой подалгебры в этих алгебрах. Доказана гипотеза А.И.Кострикина о максимальности нормализатора сэндвичевой подалгебры. 3. Определен класс нильпотентности сэндвичевых подалгебр в алгебрах картановского типа и в алгебрах Меликяна. Все результаты диссертации являются новыми и имеют теоретический характер. Описание сэндвичевых подалгебр мокет найти применение в.теории модулярных простых алгебр Ли. В
частности, при классификации конечномерных простых алгебр Ли и исследовании их структуры.
Апробация работы. Результаты .диссертации докладывались на ХІХ-й Всесоюзной алгебраической конференции (Львов,1987), IV-й Всесоюзной школе "Алгебры Ли и их применения в математике и физике" (Казань, 1990), Международной конференции по алгебре памяти А.И.Ширшова (Барнаул, 1991), XVI-й Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Нижний Новгород, 1991), Итоговых научных конференциях ННГУ, а также обсуждались на семинарах ННГУ и МГУ, и опубликованы в работах (11-111 ].
Объеи и структура работы. Диссертация состоит из введе-. ния и пяти глав. Она содержит 122 страницы основного текста. Список цитируемой литературы включает 56 наименований.