Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Исходным пунктом работы является обобщение классической теории аделей над кривыми на случай поверхности 1, а затем па любые нетеровы схемы 2, сделанное в конце 70-х годов. Для схемы Л' и квазикогерентного пучка Т на Л' аде-ли A(X,Jr) являются алгсбро-геометричсским объектом над симилициальпым множеством S.(X) флагов неприводимых вложенных друг и друга замкнутых подмножеств. Лля когерентных пучков на "хорошей" схеме мы имеем двойственность Серра или более общо дпойстпепиость Вердье 3.
А.А. Бейлиисои 4 предположил, что существует некоторая двойственность для аделей над симплициаль-ным множеством S.(X), которая п естественном смысле согласована с двойственностью Вердье для схем. Такое соотношение было бы очень интересно, поскольку адели содержат большую часть структуры схемы 5, например, легко восстановить когомологии J7 по А(Л', J-"). Если X - схема размерности п надполем, то локальные составляющие адели А(Л', Ох) япляются по существу
Л.II. Паршин. К арифметике двумерных схем. Распределения и вычеты , Изиестил академии наук СССР, т. 40,н. 4, 736-773, 197G.
2А.А. БсКлиисон. Вычеты и адели , Функ. ан., т. 14 п. 1,14-45, 1980.
\\. Ilartsliome. Residues and duality, Lecture Notes in . 20. А.Л. Iici'wmiicoii Письмо A .11. Ilapmuinj дек. 198.1 г. ""A.N. Parsliin, T.Fimniel. Ли introduction to the hiyher allelic, theory, to appear,
71-мерпыми локальными нолями, а из диойственпости для групп когомологий следует большая часть теории нолей классов. В этом смысле алели и их Л'-группы являются интересными объектами исследований для теории полей классов схем, а такал двойственность могла бы оказаться фундаментальным соотношением.
Конструкция такой двойственности кажется очень сложной задачей, поэтому естественно отбросить часть структур аделей и пытаться осуществить для них теорию двойственности. А.А.Бсйлипсоп б предположил существование диойственпости для когомологических систем коэффициентом над некоторым, симплициальиым множеством А", (адели являются системами коэффициентов над S.(X)). Эта теория должна быть связана с двойственности) Вердье над топологическим пространством геометрической реализации А'. '. Построению такой теории посвящена большая часть настоящей работы.
Другая теория двойственности, на первый взгляд не имеющая ничего общего с предыдущей, была развита в 70-х годах сначала па кольце характеров группы рациональных точек редуктивпой алгебраической группы над конечным полем 8, с точпостю до знака, а затем па множестве неприводимых представлений 10. Пакол-
6А.Л. Бсилинсон Письмо А.II. Паршину лек. 1985 г. J.-L. Verdicr. Dualite dans la cohomologie des cspaccs localement compacts, Sem. Bourbaki, N. 300, 19G7.
8D. Alvis. The duality operation in the character ring of a finite Chevalley group, Bull. Amer. Math. Soc. 1, 907-911, 1979.
C. VV. Curtis. Truncation and duality in the character ring of a finite group of Lie type, J. Algebra, 62, 320-332, 1980.
10P. Deligne, G. Lusztig Duality for Representations of a Reductive group over a finite field, J. Algebra, 74, 1982.
локииуме Брюа-Титс, 7-го марта 1991 г., А. Спрингер докладывал о связи этой двойственности с двойствеп-ностю Вердье на;; топологическим пространством век-торного билдинга этой г]>упш.і. По такой алгебраической группе сопоставляется и симшшциалыюе множество ее комбинаторного билдинга, и поэтому естественно выяснить, насколько эта двойственность связана с предпологагаемой симплициалыюй двойственностью. Это интересно и в том плане, что симпли-циальиая двойственность применяется и к билдиигам других алгебраических групп.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью данной работы является построение двойственности типа Вердье для категорий пучков над симплиниальными множествами и выяснение взаимоотношений этой двойственности в случае комбинаторного билдинга алгебраической группы над конечным полем с теорией двойственности для не-; приводимых представлений ее группы рациональных точек.
ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации используются методы гомологической алгебры, алгебраической топологии и теории алгебраических групп.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
1. Построение стандартных функторов прямого и обратного образа и прямого образа с компактным носителем для категорий когомологических систем коэффициентов и пучков над симлициальпыми мно-
жестами. Доказательство основных соотношений.
'2. Доказательство существования функтора, сопряженного снранак функтору сечений с компактным носителем (Теорема 1).
-
Доказательство существования теории двойствсн-ности типа Вердье на производной категории ограниченных комплексов пучков с конструктивной ко-гомологией (Теорема 2).
-
Выяснение соотношения между днойстиешюстыо Вердье над комбинаторным билдингом алгебраической группы над конечным нолем и двойственностью по Делишо-Лустигу для неприводимых представлений ее группы рациональных точек.
ПРИЛОЖЕНИЯ. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам по алгебраической топологии и алгебраическим группам.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались па семинарах Кельнского университета по алгебре и па конференции Немецкого Общества Математиков (DMV) в сентябре 1991 года в Билефельде. і
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, список которых приведен в конце автореферата. Исследования, включенные в диссертацию, проведены без соавторов.
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертационная работа сосгоиі' из введения, четырех глан, разделенных на параграфы, и списка литературы, содержащего 2'1 наименования. Объем диссертации 1,'И страницы.