Введение к работе
Актуальность темы. Вычисление симметрических инвариантов
конечномерной алгебры Ли L над полем положительной характеристики
р может служить первым шагом в изучении центра Z(L) универсально*
обертывапцеЯ алгебры U(L) . Изучение центра унизерсальнсЛ
обертывахсеи алгебры для алгебры Ли является важным вспросгм
теории представления алгебр Ли. Для полупрестнх алгебр Ля нгд
полем комплексных чисел суцественнш результаты о цен~з
универсальноЗ обертыважсей алгебры получены ЕеЗдеи. Гельїакд::!,
Харст- ЧандроЯ и многими другими математиками. Для алгебр Лл кпд
полем положительной характеристики подобные исследования егэ ~э
получили столь широкого расспространения. Впервые на теснутз сглсь
между представлениями модулярноЯ алгебры Ля и строением и;нтра
ееуниверсальноЯ обертываясей алгебры обратил внимание Ц-ззсгнхзуз
[П, показав, что каждой алгебре Ли можно еепоставить
алгебраическое многообразие ( называемое теперь кнсгсс'рззпем Цассенхауза данноЯ алгебры Ли), за его координатное кольцо которого берется центр универсальноя обертывагсвЯ алгебры, а каждому неприводимому представлению алгебры Ли можно сспоставить точку на этом многообразии. ТакоЯ подход был пржзнен А.Н. Рудаковым и И.Р. Шафаревичем к изучению неприводимых представления простоя трехмерноЯ алгебры Ли, [2].
-
Zassenhaus Н. The representations of Ые algebras ol algebras or prime characteristic.-Prcc.Glasgow Math.Assoc., 1954,2,1-36.
-
Рудаков А.Н., Шафаревич И.Р. Неприводимые представления простоя трехмерноЯ алгебры Ли "над полем конечной характеристики.- Чатем. заметки, 1967,2,439-454.
В'i95+ г. Цассенхауз [J] установил, что центр Z(L) для
конечномерной алгебра ли L над полей положительной характеристики
р является конечно-порожденный целозаикнутыи кольцом размерности
n=dlstL. Полностью центр 2(1) изучен лишь для простых
классических алгебр. В.В. Пансков в 13], [4], получил результаты о строении центров универсальных обертыващих алгебр матричных алгебр Ли треугольных патриц, строго треугольных матриц и некоторого класса матабелевых алгебр ли; в частности, им полностью указана система образуших элементов центра.
Для простых р-алгебр Ли картановских серий It, S, И, К Я.С. Крыше вычислил ранг этих алгебр т.е. количество нетривиальных порождащнх центра _Z(D-[5J. Н.Н. Яковлев в 1972 г.. и .СБ. Ермолаев в 1975 г. дали описание центра универсальной обертываний алгебры Витта Wf. а Ю.Б. Ермолаев в 1978 г. - центра алгебры Цассенхауза ff((n) [б]. Н.А.Корешков нашел серии центральных элементов для алгебр Ип, Яп, что позволило определить порождащие элементы центра для алгебр Я , К . Отдельные
3.Пашков В.В. О центре универсальной обертыващей алгебры нильЕотентных алгебр ли в характеристике рхз.-Вестник Моск. ун-та. матем.. .,1981,»3,24-28.
4.Панхков В.В. центры универсальных обертывающих алгебр -некоторых алгебр Ли.-Вестник Ыоск. ун-та. Матем., механ., 1982, *2, 19-23.
5. Кргшос Я.С. Об индексе алгебр Ли картановского типа в конечной
характеристике. Изв. АН СССР, серия матем.,-1986, -т.50, *2,
с.393-412.
6. Ермолаев Ю.Б. О центральном элементе универсальной обертыващей
алгебры алгебры Цассенхауза. - Изв. высш. учеб. заведений.
Математика. 197$, Л6. с. 73-78.
центральные элементы для алгебр 5п(а), 3 (ш). К (ш) найдены таив А.С. Джумадильдаевнм в 17].
При вычислении центра Z(L) важную роль играют способы построения центральных алемевтов . Известен следущий метод построения центрального элемента в" случае, когда X обладает невырожденной инвариантной формой (»,»). Бели {е.} - базис алгебры X и {ej| eje X. (е^,е^)=в4^} -сопряженный базис, то элемент Казимира \ efej является центральным. Эту конструкции можно обобщить в следующем направлении. Предположим, что в S(X) существует два контрагреднентных Х-модуля и их базисы {и,},{и|}-дуальные. Тогда элемент Yutu| принадлежит центру Z(X) и называется обобщенная элементом Казимира. Хорошо известно, что Для полупростых алгебр над полем нулевой характеристики всякий центральные элемент является обобщенным элементом Казимира. Для конечномерных алгебр Ли над полем положительной характеристики А. С. Джумадильдаев выдвинул гипотезу о том, что любой нетривиальный центральный элемент является обобщенным элементом Казимира.
Первым иагом в изучении центра 2(Х) могло бы быть изучение алгебры инвариантов S{L)L, где S(X) - симметрическая алгебра . Если в определении обобщенного элемента Казимира потребовать, чтобы указанные контрагредаентныв модули реализовывались не в универсальной обертывающей алгебре, а в ешметрической алгебре, то элемент VUjU^ будет симметрическим инвариантом.
Цель работы. Настоящая диссерташя посвящена систематическому изучению симметрических инвариантов модулярных алгебр Ли, включая:- исследования обобщенных элементов Казимира модулярных
7. Джумадильдаев А.С. Обобщенные элементы Казимира.- ИАН СССР, сер. матем., 1985, 7.49,.45, С.Л07-ІП7.
алгебр Ли;
исследование обобценных элементов Казимира для стандартных алгебр Лз картаковских серий W, S, Я;
вычисление конкретных симметрических инвариантов для указанных
алгебр.
Метода исследования. В диссертации использованы методы реализации копрпседнненного модуля в пространстве дифференциальных форм.
Научная новизна. В диссертации получены новые результаты:
1. Доказан ослабленный вариант гипотезы Джумадильдаева об
обойденных элементах Каззашра в симметрической алгебре.
2. Для стандартных алгебр Ли картановского типа серий V, S, И
Еспрсс о нахождении симметрических инвариантов сведен к вопросу о
С вычислении алгебры S(L) . где L - одна из указанных 'алгебр, а
С - ее максимальная подалгебра.
3. Найдена новые серии симметрических инвариантов алгебр її (в),
п(2), Нп(п).
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут найти применение в исследованиях - по теории представлений алгебр
Апробгцая работы. Результата диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах механико-математического факультета ЫГУ - кз научно-исследовательском алгебраическом семинаре кафедра EiczsJi алгебры МГУ (научные руководители проф.
А.И. Кострикин, А.Л. Шэлькин, A.D. Ольшанский в др.) в 1993 г. и на научном семинаре "Избранные вопросы алгебры" (научнныа руководители проф. А.И. Кострикин, D.A. Бахтурин, Ы.В. Зайцев) в 1993, 1995 гг.
Публикации. Результаты диссертации полностью опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих в себя 10 параграфов, и списка литературы из 22 наименований. Общий объем диссертации - 81 страниц.