Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ
Аппроксимация алгебраических систем относительно тех или иных предикатов к настоящему времени представляет собой одно из актуальных направлешій в исследовании алгебраических систем. Начало широкого применения аппроксимационных методов в алгебре связано с именем академика А.И. Мальцева. В его работе «О гомоморфизмах на конещше группы» было дано общее понятие аппроксимации алгебраических систем.
С начала 60-х годов и по настоящее время появилось много работ, посвященных аппроксимации алгебраических систем, прежде всего групп, колец и алгебр. Интерес к этим работам нашел отражение в исследованиях МИ. Каргаполова, А.Ю. Ольшанского, В.П. Платонова, В.Н. Ремесленникова, Н.В. Плотниковой, Д.М. Смирнова, Н.Блекбэри и других авторов.
Аппроксимация полугрупп относительно разшчных предикатов также привлекла внимание многочисленных исследователей и превратилась сейчас в обширную развивающуюся область теории полугрупп. Формированию этого направления способствовало рассмотрение гомоморфизмов полугрупп в полугруппы с заданными свойствами, в частности, наложение на полугруппы тех или иных условий конечности позволяет изучать бесконечные полутруппы сведением их к конечным полутруппам. Аппроксимации полугрупп гомоморфизмами на конечные полуїруппьі посвящены работы Э.А. Голубова, СИ. Кублановского, М.М. Лесохина, С.Г.Мамиконяна, и других. Аппроксимации полугрупп гомоморфизмами в мультипликативную группу поля комплексных чисел с внешне присоединегшым нулем посвящены работы М.М. Лесохина, Г.С. Толстовой, СВ. Лактионовой, Н.Г. Каменковой, В.В. Воронина, Э.П. Арояна и других. Е.Ю. Яшиной изучались вопросы
аппроксимируемости полугрупп инверсными вполне регулярными полугруппами.
Важность введенного А.И. Мальцевым понятия в значительной мере определяется связью с алгоритмическими проблемами. Как отметил А.И. Мальцев, финитная аппроксимируемость относительно некоторого предиката влечет алгоритмическую разрешимость проблемы этого предиката в рассматриваемой системе.
Выбор того или иного предиката обусловлен ролью, которую он играет в теории определенных классов алгебраических систем. Так, например, в группах важнейшими ггредикатами являются предикат равенства, вхождения элемента в подгруппу, в конечнопорожденную подгруппу. В полуїруппах исследуются предикаты равенства, делимости, вхождения элемента в различного вида подсистемы (идеал, подполугруппа, максимальная подполугруппа), регулярная сопряженность, гриновские отношения зквивалеіггности. Указанные предикаты явились объектом многочисленных исследований и с точки зрения алгоритмической разрешимости проблем этих предикатов, и с точки зрения аппроксимации.
Одним из важных направлений в современной алгебре является исследование не только самой алгебраической системы, но и производных от нее систем, чему посвящены работы Д.Д. Ломадзе, Г.С. Толстовой.
В настоящей работе рассматривается SH - аппроксимация полутрупп, вместе с вопросом об аппроксимации самой полугрушіьі относительно различных предикатов изучается возможность аппроксимировать любой гомоморфный образ любой подполугруппы данной полугруппы.
Полугрушга характеров полугруппы, то есть полугруппы гомоморфизмов данной полугруппы в мультипликативную полугруппу поля комплексных чисел изучались в работах Ш. Шварца, Е. Хыоитта и X. Цукермана, Р. Уорна и Л. Вильямса, М.М. Лесохина.
В настоящей работе рассматривается также вопрос Horn SH -аппроксимации полугруппы А относительно различных предикатов, то есть вместе с вопросом об аппроксимации полугруппы Нот (А, С) рассматривается и аппроксимируемость полугрупп Нот (Aj, С), где Ai -произвольный гомоморфный образ произвольной подполугруппы полугруппы А.
Аппроксимация, по существу являясь приближением, позволяет свести одни объекты к другим, более хорошо изученным. Таковыми являются периодическая часть мультипликативной полугруппы комплексных чисел, мультипликативная полугруппа конечного поля и т.д.
Цель работы: найти необходимые и достаточные условия SH - и Нот
SH - аппроксимируемости полугрупп комплексными, вещественными,
конечными характерами, гомоморфизмами в мультипликативную
полугруппу конечного поля относительно таких предикатов, как равенство, делимость, вхождение элемента в моногенную, конечнопорожденную полугруппу, подполугруппу, максимаш>ную подгруппу, идеал, регулярная сопряженность, гриновские отношения Н- и Д- эквивалентности.
Все основные результаты диссертации являются новыми.
В работе использованы методы аппроксимации полугрупп, метод продолжеігая гомоморфизма максимальной іюдіруїшьі до гомоморфизма всей полугруппы в группу с внешне присоединенным нулем; метод
разложения полугруппы в связку своих ц - классов; метод разложения вполне регулярной полугруппы в связку своих максимальных подгрупп.
Iff АКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для исследований по теории гомоморфизмов полугрупп, могут быть использованы для подготовки спецкурсов и спецсеминаров для университетов и педагогических институтов.
Основные результаті,! диссертационной работы докладывались на международной конференции по полугруппам, посвященной Е.С. Лялину (июнь 1995 года, Санкт-Петербург); на Герцеповских чтениях в РГПУ им. А. И. Герцена (апрель 1996 года, Санкт-Петербург).
ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ