Введение к работе
Актуальность темы. Изучение сервантных вполне характеристических подгрупп (чистых вполне инвариантных подмодулей) - важная задача теории абелевых групп и модулей. Так, например, при изучении строения линейных операторов конечномерных векторных пространств одним из центральных вопросов является изучение инвариантных подпространств этих операторов. Знание строения сервантных вполне характеристических подгрупп и алгебраических систем, ими образуемых, существенно помогает при изучении как самой группы, так и колец ее эндоморфизмов и квазиэндоморфизмов [1, 2, 3, 4]. После работ 15, 6, 73 изучение сервантных вполне характеристических подгрупп абелевых групп стало особенно интересным, многие результаты из [8, 9, 10, ИЗ, доказательства неразложимости, сильной неразложимости абелевых групп основаны на изучении сервантных вполне характеристических подгрупп этих групп.
Интерес, который представляет решетка сервантных вполне характеристических подгрупп абелевой группы без кручения при изучении этой группы и ее кольца квазиэндоморфизыов, объясняется тем, что имеется взаимно однозначное соответствие между решеткой сервантных вполне характеристических подгрупп абелевой группы G и решеткой подмодулей делимой оболочки группы G, рассматриваемой как модуль над кольцом квазиэндоморфизмов группы G. Это соответствие замечено еще в работах Рейда, и используется разными авторами. Кроме того, полезные свойства исследуемого класса подгрупп абелевой группы (подмодулей модуля) помогают при изучении других классов подгрупп (подмодулей), поскольку он содержится во многих классах подгрупп (подмодулей). Так, в работах [12, 133, изучая сбалансированные и сильно сбалансированные подгруппы, авторы рассматривает также сер-вантные вполне характеристические подгруппы исследуемых классов абелевых групп.
Вопросы сервантности в категории абелевых групп плодотворно и
разносторонне изучались разными авторами с момента появления этих понятий. Огромное количество фактов и результатов стало благодатной почвой для большого числа обобщений понятия сервантности и для распространения его в теорию модулей. Однако, несмотря на обилие всевозможных результатов, сказать что-либо о решетке или строении сервантных подгрупп абелевой группы удается лишь в частных случаях. Например, в однородной вполне разложимой абелевой группе всякая сервантная подгруппа выделяется прямым слагаемым и, следовательно, тоже является однородной вполне разложимой абелевой группой. Другой путь изучения роли сервантных подгрупп абелевых групп, основанный на том, что всякую абелеву группу можно вложить в качестве сервантной подгруппы, в алгебраически'- компактную абелеву группу, - изучение классов абелевых; групп, изоморфных сервантным подгруппам абелевых груш, принадлежащих некоторым хорошо изученным классам абелевых трупп... Например, .задача изучения групп Батле-ра - сервантных. подгрупп вполне разложимых* абелевых трупп конечного ранга - привлекает внимание многих математиков.
Вопросы чистоты в теории модулей затрагивались разными исследователями. Самке близкие к тематике предлагаемой работы - П4, 15, 16, 171. В этих работах абелевы группы без кручения рассматриваются как модули над своими кольцами эндоморфизмов и, в полученном модуле, изучаются чистые подмодули. Соответствующие подгруппы называются эндочистыми подгруппами. Ясно, что всякая эндочистая; подгруппа абелевой группы без кручения является сервантной вполне характеристической подгруппой, но обратное, вообще говоря, не верно. В указанных работах исследованы вполне разложимые абелевы группы, сепарабельные абелевы группы, группы ранга 2 и другие классы абелевых групп.
Вполне характеристические подгруппы абелевых групп (вполне инвариантные подмодули модулей) менее исследованы, чем сервантные
подгрушш (чистые подмодули). Описание вполне характеристичесжих подгрупп для некоторых классов р-групп подучено в работах Бэра [183, Капланского [33 и других авторов. Эти классы р-групп включает в себя, например, все сепарабельные и все тотально проективные р-группы. В частности, обобщив понятие последовательности Ульма, Капланский Ш изучает частично упорядоченное множество вполне инвариантных подмодулей вполне транзитивного редуцированного примарного модуля М над кольцом дискретного нормирования. Впоследствии идеи этой книги стали источником для многих работ по изучении абелевых групп. Некоторые из них используются и в предлагаемой работе.
О сервантных вполне характеристических подгруппах абелевых групп известно немного. Описание сервантных вполне характеристических подгрупп периодических абелевых групп получено еше в 50-60 годах. А именно, сервантная вполне характеристическая подгруппа периодической абелевой группы есть в точности прямая сумма ее различных р-компонент или их делимых частей. Этот результат является простым следствием того факта, что редуцированная р-группа не имеет собственных сервантных вполне характеристических подгрупп, вытекающего из результатов Прюфера и Куликова. В работе Фомина [191 дано описание сервантных вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения конечного ранга. Других значительных продвижений в этом направлении не имеется. Для абелевых групп без кручения это объясняется тем, что сами они исследованы еще недостаточно, а для смешанных абелевых групп усложняется еще и тем, что понятие сервантной оболочки в группах этого.класса не работает. По этой причине до сих пор не было доказано, что сервантные вполне характеристические подгруппы смешанной абелевой группы образуют решетку.
Цель работы. Описать строение сервантных вполне инвариантных
подмодулей сепарабельного модуля без кручения над дедекиндовш кольцом и строение сервантных вполне характеристических подгрупп произвольной абелевой группы; описать класс алгебраических систем, образуемых сервантными вполне инвариантными подмодулями сепара-бельных модулей без кручения над дедекиндовш кольцом и класс алгебраических систем, образуемых сервантными вполне характеристическими подгруппами произвольных абелевых групп.
Методы исследования. В диссертации использованы методы" теории абелевых групп и модулей, методы теории множеств.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие:
-
дано структурное описание сервантных вполне инвариантных подмодулей сепарабельных модулей без кручения над дедекиндовыми кольцами и описан класс решеток, ими образуемых, а также приведен алгоритм нахождения дедекиндова кольца и построения сепарабельного модуля без кручения над этим кольцом, решетка сервантных вполне инвариантных подмодулей которого изоморфна заданной решетке из найденного класса;
-
доказано, что во всех абелевых группах сервантные вполне характеристические подгруппы образует решетки, дано описание строения этих решеток и структурное описание указанных подгрупп.
Практическая ценность. Работа -имеет в основном теоретическое значение. Результаты данной работы могут быть использованы при изучении сепарабельных модулей над дедекиндовыми кольцами и сепа-рабельных абелевых групп, а также при изучении смешанных абелевых групп и их колец эндоморфизмов. Практический интерес представляют следствия, имевшиеся во всех параграфах, и примеры из второго, третьего и пятого параграфов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на I международной конференции по алгебре, посвященной памяти А.И.
Мальцева /Новосибирск, 1989 г./, на меадународной конференции по алгебре, посвященной памяти А.И. Ширшова /Барнаул, 1991/, на Ш международной конференции по алгебре, посвященной памяти Н.И- Кар-гополова /Красноярск, 1993/, на симгозиме "Абелевы группы" /Бийск, 1994/ и неоднократно обсуждались на алгебраических семинарах Томского государственного университета.
Публикации. По теме диссертации опубликовано б работ [20-253-Структура и объем работы. Диссертация выполнена на 86 печатных листах и состоит из введения и двух глав. Бибилиография содержит 37 наименований.