Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Впервые понятие рода в середине пятидесятых годов ввел Маранда для решеток над порядками из теории целочисленных представлений, Роды решеток над порядками изучались в работах Д. К. Фаддеева., А. В. Ройтера, Ю. А. Дрозда, В, П. Платонова, Якобиньского и др. Данные работы дали ряд интересных результатов, выявивших связь родов с прямыми разложениями решеток. Особо из них выделяется знаменитый закон сокращения Якобиньского [18].
Для абелевых групп конечного ранга без кручения понятие рода (хотя' и под другий названием, в буквальном переводе означающем — околоизоморфизм) было введено Леди [6]. Он же доказал, что множество классов изоморфизма а роде группы конечно. Это явилось простым следствием более сильной теоремы Леди, отвечающей отрицательно на проблему Фукса 69. Главная пель настоящей работы — описание множества классов изоморфизма в роде абелевой группы конечного ранга без кручения. Как показал А. В. Яковлев {2], вта задача является одной из основных проблем, возникающих при классификации таких групп.
Наконец, Арнольд в [3] обобщил концепцию рода на широкую категорию модулей, включающую в себя как решетки над порядками, так и редуцированные абелевы группы конечного ранга без кручения. Все принципиальные результаты о родах решеток Арнольду удалось перенести на эту категорию модулей. Из работы Арнольда следует, что род модуля полностью определяется собственным кольцом эндоморфизмов, и таким образом, в силу теоремы Корнера [1], задачи описания родов абелевых групп и втих модулей совпадают. Поэтому было естественно и даже, с точки зрения изложения, удобно расширить тему диссертации на изучавшиеся Арнольдом модуля.
Полученное в настоящей работе описание родов оказалось мощным и удобным инструментом при изучении аномалий прямых разложений модулей, связанных с их сокращением. Исследованию сокращения в различных классах модулей было посвящено огромное количество работ. По интересующему нас классу модулей следует отметить работы Йопсопа, впервые выявившего неудачу сокращения абелевых групп, Фукса и Лунстры, Варфилда, Стелзера. Мето-
ды настоящей работы позволили дать ответ на несколько вопросов о сокращении модулей, два из которых составляют проблемы 70 и 71 Фукса из его фундаментальной монографии Ц]. Таким образок, тематика диссертации является вполне актуальной.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является классификация классов изоморфизма в родах модулей конечного Z-рапга без Z-кручения и изучение различных аспектов сокращения таких модулей.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми. К наиболее существенным из них относятся следующие:
-
Описание кл ассов изоморфизма в суженном роде проективной решетки.
-
Критерий самосокращепия модулей (проблема 2 Аряольда).
-
Критерий стабильного изоморфизма модулей (проблема 71 Фукса).
-
Характеризация абелевых групп конечного ранга без кручения, обладающих свойством сокращения (проблема 70 Фукса).
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть применены дри изучении аномалий прямых разложений широкого класса модулей.
ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Все исследование проводилось в терминах колон эндоморфизмов модулей. В качестве основного инструмента были использованы классические результаты Эйхлера из алгебраической теории чисел.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты этой работы докладывались на совместном семинаре лаборатории алгебраических методов Петербургского отделения Математического института имени В. А. Стеклова и кафедры высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского университета.
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работе [11].
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения и занимает, включая библиографию, 60 страниц компьютерного набора, выполненного в системе Т$(.. Библиография содержит 28 наименований работ.