Решеточно упорядоченные полукольца и их функциональные представления Чермных Оксана Владимировна

Введение к работе

Актуальность темы. Основным объектом изучения в диссертации является решеточно упорядоченное полукольцо, называемое нами <іг/-полукольцом. Появление такой алгебраической системы тесно связано с двумя проблемами.

1) 115 проблема Г. Биркгофа¹: построить общую абстрактную конструк
цию, которая как частные случаи включала бы в себя булевы алгебры (булевы
кольца) и решеточно упорядоченные группы.

2) 37 проблема Л. Фукса² описания решеточно упорядоченных полуколец.
К настоящему времени появилось достаточное число работ, посвященных

как первой, так и второй проблемам. В статье³ дан исторический обзор подходов к решению проблемы Биркгофа.

Среди попыток решить проблему Фукса можно выделить такие основные направления. Во-первых, хорошо известно, что можно ввести естественный порядок в аддитивно идемпотентном полукольце. Видимо это было основной причиной, по которой в монографии Дж. С. Голана⁴ решеточно упорядоченное полукольцо определяется с совпадающими операциями сложения и точной верхней грани: a + b = a V b. Такое полукольцо автоматически является аддитивно идемпотентным. Этот класс важен с точки зрения чистой теории, но особенно — как аппарат идемпотентного анализа и для исследований в рамках тропической математики⁵.

Второй подход основан на анализе положительных конусов упорядоченных колец. Они замкнуты относительно сложения и умножения и как следствие являются полукольцами. Ожидаемым поэтому оказалось появление работ, в которых вводились и рассматривались положительно упорядоченные полукольца, в частности решеточно упорядоченные полукольца с положительным порядком⁶. Отметим, что такие объекты уже не обязательно являются положительными конусами некоторого упорядоченного кольца. Кроме того, упо-

1Birkhoff G. Lattice Theory. Amer. Math. Soc, Providence, R.I., 1967.

²Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. - М.: «Мир», 1965.

³Paoli F., Tsinakis C. On Birkhoff’s common abstraction problem // Studia Logica -2012. - 100. - P. 1079-1105.

⁴Golan J. S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science. Longman scienificand tehnical. Harlow, 1992.

⁵Kolokoltsov V. N., Maslov V. P. Idempotent analysis and its applications. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1997.

⁶Ряттель А. В. Положительно упорядоченные полутела: Дисс. .. .канд. физ.-мат. наук. Киров: ВятГГУ, 2002. 89 с.

рядоченные кольца (и полукольца, содержащие их в качестве подколец) не попадают в этот класс.

Подробней остановимся на ^/-полугруппах и ^/-полукольцах.

Поскольку такие алгебраические системы как полугруппа или упорядоченная полугруппа недостаточно богаты для получения содержательных структурных теорем, при их изучении накладываются дополнительные условия. Полугруппы, решетки и полурешетки с делением явились основными источниками появления <іг/-полугрупп. Последние могут считаться частичным решением проблемы Биркгофа. Определение ^/-полугруппы (dually residuated lattice ordered semigroup) было дано К. Л. Н. Свами в работах⁷'⁸, после которых появилась серия статей о ^/-полугруппах.

В 1981 г. Ранга Рао⁹ объявил о решении проблемы Фукса, представив под названием «/-полукольцо» решеточно упорядоченное полукольцо, определение которого основывалось на ^/-полугруппе. Мы используем для этой алгебраической системы термин ^/-полукольца, оставляя название /-полукольца для более широкого класса.

Впервые название «полукольцо» появилось в 1934 г. (Г. С. Вандивер¹⁰). В настоящее время наиболее употребительным является определение Голана¹¹'¹², по которому полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей, возможно, необратимостью аддитивной операции. Первые серьезные исследования полуколец стали появляться в 50-е годы прошлого столетия (С. Берн, М.Хенриксон, К.Исеки, В. Словиковский, В. Завадовский и др.). Активное развитие теории полуколец наблюдалос с 80-х гг. XX века, что обусловлено все большим использованием полуколец в различных смежных дисциплинах: компьютерных науках, теории кодирования, теории автоматов, теории оптимального управления. Кроме монографий Голана, вышла монография по полукольцам У.ХебишаиГ.Вейнерта¹³. О состоянии теории полуколец, приложениях полуколец и близких вопросах можно почерпнуть много информации

⁷Swamy K. L.N. Duallity residuated lattice ordered semigroups // Math. Ann. - 1965. - 159. - P. 105-114. ⁸Swamy K. L. N. Dually residuated lattice ordered semigroups, II // Math. Ann. - 1965. - 160. - P. 64-71. ⁹Rao P. R. Lattice ordered semirings // Math. Sem. Notes, Kobe Univ. - 1981. - 9. - P. 119-149. ¹⁰Vandiver H. S. Note on a simple type of algebra in which cancellation law of addition does not hold // Bull. Amer. Math. Soc. 1934. Vol. 40. P. 914-920.

¹¹Golan J.S. The theory of semirings, with applications to mathematics and theoretical computer science. Harlow: Longman Scientific & Technical, 1992.

¹²Golan J.S. Semirings and their applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. ¹³Hebisch U., Weinert H.J. Semirings: аlgebraic theory and applications in computer science // World Scientific. Singapure, 1998.

изобзораК.Глазека¹⁴.

<іг/-Полукольцо оказалось удачным объектом в смысле применимости к его изучению функциональных (пучковых) методов. Пучок был открыт в 1945 г. Ж. Лере, а начало представлений алгебр сечениями пучков идет с 1960 г. от работы¹⁵. Именно, А. Гротендик показал, что произвольное коммутативное кольцо R с единицей изоморфно кольцу всех глобальных сечений пучка локализаций кольца R по всем его простым идеалам. После этого пучковые представления активно использовались сначала для колец (Дж. Даунс, К. Г. Гофманн¹⁶, И. Ламбек¹⁷, Р. С. Пирс¹⁸, К. Малви¹⁹, К. Кох²⁰, Г. Симмонс²¹ и др.), а с рубежа 70-х г.г. при исследовании дистрибутивных решеток²²'²³'²⁴, почти-колец²⁵' ²⁶, MV-алгебр²⁷'²⁸, некоторых других типов универсальных алгебр. С 90-х г.г. идет развитие теории функциональных представлений полуколец²⁹'³⁰, '³¹, а также - полутел³².

В 1971 г. появилась фундаментальная статья К.Кеймеля³³, посвященная

¹⁴Glazek K. A Short Guide to the Literature on Semirings and Their Applications in Mathematics and Computer Science. Berlin: Springer, 2002.

¹⁵Grothendieck A., Dieudonne J. Elements de Geometrie Algebrique 1. I.H.E.S., Publ. Math. 4, Paris, 1960.

¹⁶Dauns J., Hofmann K.H. The representation of biregular rings by sheaves // Math. Z. - 1966. - 91, №2. - P. 103-123.

¹⁷Lambek J. On representation of modules by sheaves of factor modules // Can. Math. Bull. - 1971. - 14, №3. - P. 359-368.

¹⁸Pierce R.S. Modules over commutative regular rings // Mem. Amer. Math. Soc. - 1967. - 70. - P. 1-112.

¹⁹Mulvey C.J. Compact ringed spaces // J. Algebra. - 1978. - 52, №2. - P. 411-436.

²⁰Koh K. On functional representations of ring without nilpotent elements // Canad. Math. Bull. - 1971. -14, №3. - P. 349-352.

²¹ Simmons H. Reticulated rings // J. Algebra. - 1980. - 64, №1. - P. 169-192.

²²Cornish W. H. 0-ideals, congruences and sheaf representations of distributive lattices // Rev. Roum. Math. Pures Appl. - 1977. - 22, №8. - P. 200-215.

²³Georgesku G., Voiculescu J. Isomorphic sheaf representations of normal lattices // J. Pure and Appl. Algebra. - 1987. - 45, №3. - P. 213-223.

²⁴Вечтомов Е. М. Дистрибутивные решетки, функционально представимые цепями // Фундам. и прикл. матем. - 1996. - 2, №1. - С. 93-102.

²⁵Szeto G. On sheaf representation of a biregular near-ring // Canad. Math. Bull. - 1977. - 20. - P. 495-500.

²⁶Ahsan J., Mason G. Fully idempotent near-rings and sheaf representations // Internat. J. Math. & Math Sci. - 1998. - 21, №1. - P. 145-152.

²⁷Belluce L. P., Nola A., Ferraioli A. R. MV-semirings and their Sheaf Representations, Order, 2011.

²⁸Dubuc E. J., Poveda Y. A. Representation theory of MV-algebras // Ann. Pure Appl. Logic - 2010. - 161, №8. - P. 1024-1046.

²⁹Чермных В. В. Представления положительных полуколец сечениями // УМН - 1992. - 47, №5. - C. 193-194.

³⁰Чермных В. В. Пучковые представления полуколец // УМН - 1993. - 48, №5. - C. 185-185.

³¹Чермных В. В. Функциональные представления полуколец // Фундамент. и прикл. матем. - 2012. -17, №3. - С. 111-227.

³²Вечтомов Е. М., Черанева А. В. Полутела и их свойства //Фундам. и прикл. матем. - 2008. - 14, №5. - C. 3-54.

³³Keimel K. The representation of lattice ordered groups and rings by sections in sheaves // Lect. Notes Math., Springer-Verlag. - 1971. - №248. - P. 2-96.

представлениям решеточно упорядоченных колец. В этой работе для произвольного /-кольца строится пучок, названный автором пучком ростков. Даются представления, а в некоторых случаях и характеризации, различных /-колец. Наиболее удачные представления получаются для функциональных колец — это решеточно упорядоченные кольца, являющиеся подпрямым произведением линейно упорядоченных колец. Кроме цитированной статьи Кеймеля нам известны еще несколько работ³⁴'³⁵, посвященных представлениям /-колец.

Таким образом, ^/-полукольца являются естественно возникающими алгебраическими системами, имеющими как богатую историю, так и интересные перспективы развития. Важным кажется и то, что к изучению <іг/-полуколец применимы хорошо зарекомендовавшие себя методы пучковых представлений.

Объектом исследования диссертации являются решеточно упорядоченные полукольца.

Предметом исследования служат drZ-полукольца, drZ-полутела, /-полукольца, а также функциональные представления drZ-полуколец.

Целью диссертационной работы является нахождение новых алгебраических свойств и получения пучковых представлений ^/-полуколец.

Эта цель достигается решением следующих задач:

1. Нахождение условий, при которых ^/-полукольцо разложимо в прямую сумму решеточно упорядоченного кольца и положительно упорядоченного drl-полукольца с дополнительными условиями.

2. Исследование drZ-полутел.

3. Нахождение решеточно упорядоченных полуколец, допускающих представления сечениями пучков.

4. Построение пучковых конструкций и получение представлений drl-полуколец сечениями пучков.

Выносимые на защиту положения. На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационного исследования:

1) Найдены условия, при которых dr/-полукольцо раскладывается в прямую сумму решеточно упорядоченного кольца и положительно упорядоченного <іг/-полукольца с дополнительными условиями.

³⁴Dauns J. Representation of /-groups and /-rings// Pacific J. Math. - 1969. - 31. - P. 629-654. ³⁵Keimel K. Representations of lattice-ordered rings // Proc Univ. of Houston. Lattice Theory Conf. - 1973. - P. 277-293.

2) Доказано, что положительно упорядоченное drl-полутело линейно упо
рядочено.

3) Получены представления сечениями пучков следующих алгебр:
i) гельфандова f-полукольца;

ii) бирегулярного f-полукольца; iii) риккартова f-полукольца; iv) строго регулярного f-полукольца; v) l-полупервичного drl-полукольца;

vi) произвольного drl-полукольца сечениями пучка над максимальным спектром дополняемых l-идеалов.

Методы исследования. В работе применяются методы и результаты теории упорядоченных полугрупп, теории решеток, теории полуколец, теории функциональных представлений алгебр.

Достоверность результатов диссертационного исследования обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер и может послужить основой для дальнейших исследований в теории упорядоченных алгебр. Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для магистрантов и аспирантов и в их научно-исследовательской работе.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Получены структурные теоремы о разложениях drl-полуколец в прямую сумму решеточно упорядоченного полукольца и положительно упорядоченного drl-полукольца. Доказано, что drl-полутело линейно упорядочено. Построены пучки drl-полуколец и получены представления drl-полуколец сечениями.

Личный вклад автора. Диссертация отражает личный вклад автора в проведенном исследовании. Научным руководителем д. ф.-м. н., профессором Е. М. Вечтомовым была определена область исследования, поставлены задачи, осуществлялось общее руководство, оказывалась методическая помощь, проводилось обсуждение полученных результатов.

Апробация работы. Результаты неоднократно докладывались на научно–исследовательском семинаре кафедры фундаментальной и компьютерной математики Вятского государственного (гуманитарного) университета, на научных конференциях Вятского государственного гуманитарного университета,

Вятского государственного университета, на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры и математической логики Казанского (Приволжского) федерального университета. Результаты диссертации апробированы на XIII Международной конференции «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения», посвященной 85-летию со дня рождения профессора С. С. Рышкова (Тула, ТГПУ Л. Н. Толстого, 2015); Международной конференции «Алгебра и логика: теория и приложения:», посвященная 70-летию В.М. Левчука (Красноярск, Сибирский федеральный университет, 2016); Международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, НГУ, 2016); Международной алгебраической конференции, посвященной 110-летию со дня рождения профессора А. Г. Куроша (Москва, МГУ, 2018).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ (из них 5 статей и 4 тезиса докладов, список публикаций приведен в конце автореферата). Три работы опубликованы в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация включает в себя оглавление, введение, три главы, разбитые на 12 параграфов, заключение, список литературы, предметный указатель. Полный объем диссертации составляет 115 страниц. Список литературы включает 59 наименований.