Введение к работе
Актуальность темы исследования. Известно, что множество всех подалгебр алгебры образует решетку относительно естественных операций пересечения Л и объединения V .
При изучении различных алгебраических систем часто возникают разнообразные решетки, например, решетка всех подгрупп груяпн, реиетна всех подколец /или идеалов/ кольлд, решетка всех подмодулей модуля и ТоД». Информация о строении этих решеток оказывается весьма полезной, поскольку в большинстве случаев прослеживается довольно тесная взаимосвязь свойств самой алгебраической системы со свойствами решетки ее подсистем.
В процессе достаточно длительного поиска ответов на возникающие вопросы, в алгебре сформировались различные направления исследований*
В рамках теории групп эти направления являются общепризнанными и достаточно далеко продвинутыми.
Начало таким исследованиям было положено в 1928г„, когда А„Ротлвндэр рассматривала совокупность подгрупп конечной группы и отображения между групповыми структурами /решетками подгрупп/,
В конце 30-х годов в литературе появились работы Р^Бера и О.Орэ, в которых было начато систематическое изучение связей между строением группы и строением решетки ее подгруппе" Эти исследования продолжили М.Судзуки /4/ и Л.Е.Садовский /3/, описавшие некоторые классы групп* у которых: решеточный избмор»
отам индуцируется групповым изоморфизмом.
Наиболее выдающихся результатов в исследованиях решеточных изоморфизмов групп достиг Б.В.Яковлев /б/. Им найдены достаточные условия определяемоети группы решеткой своих подгрупп и на языке теории решеток сформулированы необходимые и достаточные условия, при которых решетка изоморфна решетке подгрупп некоторой группы. Изучая зависимость между строением группы и строением решетки ее подгрупп для разрешимых групп, Б„В,Яковлев доказал, что разрешимая группа при любом решеточном изоморфизме отображается в разрешимую группу.
Обзор основных исследований о связях между строением группы и строением решетки ее подгрупп содержится в монографии М.Суд-зуки /4/, работах Л.Е.Садовского /3/ и Б.В.Ековлева /6/.
В теории универсальных алгебр аналогичные исследования оформились в следующие направления:
1/ описание алгебр, у которых решетка подалгебр удовлетворяет специальным ограничениям;
2/ изучение решеточных изоморфизмов, т.е. изоморфизмов между решетками подалгебр; 3/ описание решеток подалгебр для алгебр определенных классов.
Наибольшее развитие получили первые два направления. При этом, до настоящего времени в исследованиях решеточных изоморфизмов алгебр можно выделить три центральные проблемы /2/:
а/ проблема решеточной определяемое, которая заключается в нахождении решеточно определяющихся подклассов заданного класса универсальных алгебр;
б/ проблема решеточной классификации, которая состоит в
~ 5 -
нахождении критерия изоморфизма решеток подалгебр двух произвольных алгебр заданного класса;
в/ проблема индуцируемости класса К в классе Ii , состоящая в описании тех алгебр из Ь , всякий решеточный изоморфизм которых на некоторую алгебру из Л индуцируется изоморфизмом самих алгебр.
Начало исследованиям по решеточным изоморфизмам ассоциативных алгебр к алгебр Ли над полем г положил Д.Барнес в 1964 и 1966 годах. В работе /в/ им положительно решен вопрос о решеточной определяемости полупростой конечномерной алгебрн 1и над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 , а в работе /9/ Д.Барнес доказал, что алгебра АЫ^) , (П2-2) над некоторым полем Г и даже полупросгая конечномерная ассоциативная алгебра л над алгебраически замкнутым полем (dwif\>i) решеточно определены.
А.Г.Гейн, А.А.Лашхи, Д.Товерс развивают первое направление исследований для алгебр Ли, изучая алгебры с модулярной /полу-модулярной и дистрибутивной/ решеткой подалгебр. Они же продолжили исследования по решеточным изоморфизмам алгебр Ли, изучая решеточные изоморфизмы разрешимых, нильиотентннх алгебр и свойства, инвариантные при решеточных изоморфизмах.
Продолжая исследования Д.Барнеса, проблему решеточной определяемости ассоциативных алгебр в своих работах решали А.В.Яг-жев /5/ и С.С.Коробков /1,2/.
Проблема решеточной определяемости неассоциативных алгебр, наряду с алгебрами Ли, решается в последние годы для наиболее
изученных классов неассоциативных алгебр: альтернативных, йордановых и алгебр Мальцева /7,10,11/,
При этом наибольшие успехи достигнуты в решении проблемы решеточной определяекости полупростых алгебр из этих классов. Проблема решеточной спределяемости полупростых конечномерных альтернативных алгебр сводится к исследованию данной проблемы для композиционных алгебр и матричных алгебр Mn,(F), (H^j),
Известно, что над алгебраически замкнутым полем г существует всего четыре неизоморфных композиционных алгебры: г s f(Bf , M^IF) , C(F) /матричная алгебра Кэли-Диксона/. В диссертации доказывается решеточная определяемость алгебры Кзли-Диксона и связанных с него различных алгебраических структур.
Цель работы: решение проблемы решеточной определяемости полупростых конечномерных альтернативных алгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики ф2 и расцепляемых нулевых расширении композиционных F -атгебр с помощью бимодулей над ними.
Методы исследования: получает дальнейшее развитие метод Д.Барнеса; используется развитая структурная теория и комбинаторные методы неассоциативных алгебр.
Научная новизна. Основные результаты диссертации новые. Они получены лично автором и опубликованы. В более поздних научных исследованиях, выполненных зарубежными математиками /10,11/ были сняты некоторые ограничения на основное поле скаляров.
Теоретическая и практическая значимость.Работа носиг теоре-
тический характер. Полненные результаты могут быть использованы в дальнейшпс научных исследованиях, связанннх с изучением структуры и представлений композиционных алгебр и алгебр, близких к ним,
Апробация работы» Результаты диссертации докладывались на ГУ школе молодых математиков Сибири и Дальнего Востока /г.Новосибирск, 1987/, на алгебраических семинарах в Московском и Бийском педагогических институтах»
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 82 страницах. Состоит из введения, главы 0 , в которой вводятся необходимые обозначения и определения, приводятся ранее известные результаты, на которые в диссертации делаются ссылки, двух глав и списка литературы, содержащего 39 наименовании.