Решетки квазимногообразий разрешимых групп Ленюк, Сергей Викторович

Введение к работе

Актуальпость темы. Теория квазимногообразий — одно из развивающихся направлений современной алгебры. Ее основы были заложены А. И. Мальцевым в [18, 20, 21]. Существенную роль в изучении квазимногообразий групп сыграли также работы А. И. Будкина и В. А. Горбунова [10], А. И. Будкина [2, 4, 5], А. Ю. Ольшанского [24, 25] и ряда других авторов. Теория квазимногообразий находится на стыке алгебры и математической логики. Интерес к квазимногообразиям объясняется многими причинами. Во-первых, язык квазитождеств является наиболее простым и естественным, в то же время весьма тонкие свойства записываются на языке квазитождеств. Например, как заметил'А. И. Мальцев [18], условия погружаемости систем одного класса в системы аксиоматизируемого класса имеют вид квазитождеств. Во-вторых, в теории квазимногообразий имеют место структурные теоремы А. И. Мальцева [21] о характеризации квазимногообразий на языке фильтрованных произведений, аналогичные теоремам Биркгофа [21] для многообразий. В-третьих, как установил А. И. Мальцев [19], понятие квазимногообразия тесно связано с теорией определяющих соотношений. Именно, оказалось, что среди аксиоматизируемых классов алгебр полной теорией определяющих соотношений обладают квазимногообразия и только они. Отметим, что квазитождества возникают также при решении различных алгоритмических задач.

Одной из основных ветвей в теории квазимногообразий является задача исследования решеток квазимногообразий.

Настоящая диссертация посвящена изучению решеток квазимногообразий разрешимых групп. Разрешимые группы являются классическим и одним из наиболее изученных объектов теории групп. Квазимногообразия разрешимых групп изучались в работах А. А. Виноградова [11], А. Шафаата [34], В.

П. Белкина и В. А. Горбунова [1], А. И. Будкина [3, б, 8], Н. Я. Медведева [22], А. Н. Федорова [27, 29], С. А. Шаховой [30, 35] и других.

Одно из направлений в изучении решеток квазимногообразий групп, которое нашло отражение в данной диссертации, связано с исследованием фильтров в этих решетках.

Основным толчком к изучению фильтров решеток квазимногообразий групп явилась проблема Д. М. Смирнова [36] о мощности фильтров в решетке квазимногообразий групп. Отметим лишь некоторые результаты в этом направлении. В [7] А. И. Будкиным найден критерий, при выполнении которого фильтры в решетках квазимногообразий групп континуальны. Этот критерий позволил установить мощности фильтров многих решеток квазимногообразий. В частности, оказалось, что главный фильтр, порожденный в решетке квазимногообразий групп квазимногообразием А4, имеет мощность континуума, где М — произвольное собственное полумногообразие или квазимногообразие, порожденное всеми собственными многообразиями групп. В работе [1] В. П. Белкин и В. А. Горбунов доказали бесконечность любого нетривиального фильтра в решетке квазимногообразий метабелевых групп. Но вопрос о мощности этих фильтров остался открытым. В представленной диссертации этот вопрос полностью решен.

Обозначим через qG квазимногообразие, порожденное группой G. Если Ad — некоторое квазимногообразие, то через L_q(M) будем обозначать решетку квазимногообразий, содержащихся в М..

Еще одно направление в изучении решеток квазимногообразий связано с исследованием конкретных решеток квазимногообразий (например, решеток квазимногообразий нильпотент-ных, метабелевых групп, локально конечных квазимногообразий), установление специфических свойств этих решеток, вычисление их мощностей.

Отметим некоторые результаты в этом направлении. В. А. Горбунов [12] нашел квазитождества, истинные в нетеро-вых решетках квазимногообразий. А. Шафаат доказал [34], что любое квазимногообразие абелевых групп является полумногообразием. А. А. Виноградовым в работе [11] была полностью описана решетка квазимногообразий абелевых групп. Она оказалась континуальной. После этого естественным образом встала задача описания решеток , квазимногообразий групп "близких" к абелевым. Из результата А. Ю. Ольшанского [24] следует, что если G — конечная группа с абеле-выми силовскими подгруппами, то решетка L_q(qG) конечна. Квазимногообразия нильпотентных групп изучались в работах [9, 29, 30, 35]. А. Н. Федоровым в [29], исследовались решетки L_q(qG), где G — конечная пильпотентная группа класса < 2. Им найдено необходимое и достаточное условие конечности этих решеток. А. И. Будкин доказал [9], что если G — конечно порожденная неабелева пильпотентная группа класса 2 без кручения, то L_q(qG) континуальна за исключением случая, когда qG совпадает с квазимногообразием, порожденном неабелевой свободной нильпотентной группой класса 2. С. А. Шахова [30, 35] завершила исследования в этом направлении, решив полностью вопрос о мощности решетки L_q(qG), где G — конечно порожденная 2-ступенно пильпотентная группа.

Цель работы. Изучение строения решеток квазимногообразий в которых все группы разрешимы.

Методика исследования. Методы, применяемые в диссертации, опираются на абстрактную теорию групп и универсальную алгебру.

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях решеток квазимногообразий групп.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах "Теория групп" Алтайского государственного университета, "Теория групп" и "Алгебра и логика" Института Математики СО РАН и Новосибирского государственного университета, Международной конференции по математической логике, посвященной памяти А. И. Мальцева (Новосибирск, 1994 г.), Летней международной школе "Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры" (Эр-лагол, 1995 г.), Втором Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной Математике "ИНПРИМ - 96" (Новосибирск,

1. г.), Второй летней международной школе "Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры" (Эрлагол,

2. г.), Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 1997 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах автора [37]-[42].

Объем и структура работы. Диссертация содержит 53 страницы, состоит из введения, трех глав и библиографии. Список литературы состоит из 42 наименований.