Введение к работе
Актуальность темы. Одннм из важных направлений теории универсальных алгебр является изучение решеток конгруэнции классов универсальных алгебр. А.И.Мальцев [13] установил важную связь решеток конгруэнции алгебр данного многообразия с термально определяемыми функциями на алгебрах. Им доказано, что копгруэнции любой алгебры данного многообразия перестановочны тогда и только тогда, когда существует такой терм р(х, у, z) от трех переменных, что на алгебрах этого многообразия истинны тождества: р(х,у,у) = р(у, у, х) = х. Впоследствии эти идеи нашли свое развитие в работах Ппкслн [31], Дея [23], Ионссопа [26] п других авторов. Роль решеток конгруэнции подчеркивается в книге Г.Гретцера [25]. Оказалось, что наличие определенных свойств у решетки конгруэнции алгебр данного многообразия (перестановочность, модулярность, дистрибутивность) позволяет использовать теорию коммутаторов и вводить понятия абе-левых, нильпотентных и разрешимых алгебр, которые обобщают аналогичные понятия в группах [15], [20], [24]. В работе [21] Бенкер доказал, что любое конечно порожденное конгруэнц-дистрпбутивное многообразие конечно базируемо.
Унарные алгебры (т.е. алгебры только с унарными и иногда пульарныыи операциями) и, в частности, унары (унарные алгебры с одной унарной операцией), благодаря пх связям с автоматами п возможности графического представления, всегда находились в поле зрения специалистов. Исследовались как сами унарные алгебры, так и классы этих алгебр, а также алгебры естественным образом связанные с ними.
В настоящее время по теории упарпых алгебр получено большое количество глубоких и основополагающих результатов. Многочислен-
ный список работ в этой области можно условно разбить на два направления. К первому относятся работы, в которых изучаются различные теории унарных алгебр. Их проблематика восходит к монографии А.И.Мальцева [14]. Второй класс работ группируется вокруг вопросов, сформулированных Л.А.Скорняковым в докладе [17] (Эстергом, 1977).
Кратко, о некоторых основных результатах по каждому из направлений.
-
В книге [14] А.И.Мальцев показал, что каждое многообразие унаров определяется одішм тождеством, откуда легко следует дистрибутивность решетки многообразий унаров. Работы [1], [18], [19], [32] посвящены изучению многообразий унарных алгебр. В работе [2] найдены некоторые условия существования конечного базиса квазитождеств конечных унарных алгебр конечной сигнатуры. В работах В.К.Карташова [7]-[10] исследуются квазимногообразия унаров и решетки квазимногообразий унаров. Им, в частности, доказано наличие конечного базиса квазитождеств у конечного унара и независимого базиса у конечно - порожденного унара.
-
Среди работ второго направления, в первую очередь, следует указать, цитированный выше, основополагающий доклад Л.А.Скорняков а [17]. В [16] им описаны унары, полугруппа эндоморфизмов которых регулярна, инверсна или является группой. А.М.Бочкпн в [3] и [4] описал унары с сепаративным или коммутативным моноидом эндоморфизмов.
В [29] и [30] П.П.Палфи изучает конечные решетки конгруэнции конечных унарных алгебр и вопросы представимости всех конечных дистрибутивных решеток, как решеток конгруэнции конечных алгебр, принадлежащих некоторому заданному классу алгебр. В частности, доказано, что каждая конечная дистрибутивная решетка изоморфна
решетке конгруэнции конечной унарной алгебры с двумя операциями и существуют конечные дистрибутивные решетки, которые не могут быть представлены как решетки конгруэпщш копечпого унара.
Г.Ч.Курпнной в [11] изучает вопросы определимости унара его кон-груэнциямп, а в [12] дается описание унаров, решетка конгруэнции которых допускает нетривиальное прямое разложение.
В двух работах [27], [28] О.Копечек доказывает, что для счетного унара мощность его решетки конгруэпщш и мощность решетки подунаров совпадают, а в случае несчетного унара эти мощности совпадают с мощностью полугруппы эндоморфизмов этого унара.
Берман [22] описал упары, у которых решетка конгруэнции полу-модулярпа сверху, а также атомарна. Д.П.Егорова и Л.А.Скорняков [5] дали описание унаров, у которых решетка копгруэнций с дополнениями, в [6] Д.П.Егорова выясняет, когда решетка конгруэнции улара является модулярной, дистрибутивной, цепью пли стоуновой решеткой.
Вопрос об описании унаров, решетка конгруэнции которых является решеткой с псевдодополнениями, оставался нерешенным. Интересным является также вопрос, поставленный Л.А.Скорняковым в [17], об описании классов решеток, которые реализуются как решетки конгруэнции унаров. Описания решеток конгруэнции ряда важных классов унаров также оставались за рамками исследований.
В настоящей работе решаются сформулированные выше вопросы, а также близкие к поставленным выше вопросам и относящиеся к унарным алгебрам с двумя унарными операциями, удовлетворяющими определенным тождествам.
Цель работы. 1. Найти необходимые и достаточные условия, которым должен удовлетворять унар, чтобы его решетка копгруэнций была бы решеткой с псевдодополнениями.
-
Найти описание решеток конгруэнции счетных унаров, каждая связная компонента которых является циклом.
-
Описать уиарные алгебры с двумя взаимно обратными операциями, решетка конгруэнции которых является цепью, модулярной, дистрибутивной, обладает псевдодополнениями.
Методы исследования. Для выявления унаров, решетка конгруэнции которых - решетка с псевдодополнениями, используются теоре-тпко - множественные и теоретике - числовые конструкции. Описание решеток конгруэнции унарных алгебр получено в терминах подреше-ток декартовых произведений решеток.
Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации являются новыми. Основные результаты работы:
полностью описан класс унаров, решетка конгруэнции которых обладает псевдодополнениями;
описаны решетки с псевдодополнениями, которые реализуются решетками конгруэнции унаров;
описапы решетки конгруэнции унаров, представимых в виде объединения не более счетного числа циклов;
даны описания унарных алгебр с двумя взаимно обратными операциями, решетка конгруэнции которых модулярна, дистрибутивна, является цепью, решеткой с псевдодополнениями;
дано описание конгруэнц - простых унарных алгебр с двумя операциями / и д, на которых выполнено тождество g(f(x)) — х.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в исследованиях, связанных с изучением решеток конгруэнции универсальных алгебр произвольной сигнатуры, а также при чтении спецкурсов.
Апробация работы. Результаты докладывались на XVII (Минск,
1983) и XVIII (Кишинев, 1985) Всесоюзных алгебраических конференциях, VI Всесоюзном симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (Львов, 1990), Международной алгебраической конференции, посвященной памяти Л.М.Глускпна (Славянок, 1997), Международной алгебраической конференции, посвященной памяти А.Г.Куроша (Моек- ва, 1998), на научных конференциях Волгоградского государственного педагогического университета, расширенных научно - исследовательских семинарах кафедры алгебры и геометрии ВГПУ.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 7 работ, список которых приведен в конце автореферата [1-7].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 78 наименований. Полный объем диссертации 87 страниц машинописного текста.