Введение к работе
Актуальность темы. Основы теории киазимногообразий заложены в [13], [14], [15] А.И. Мальцевым, который неоднократно подчеркивал важность изучения свойств квазнмного-образий алгебраических систем (см. [13], [14]). Особое положение квазимногообразий и, в частности, многообразий алгебраических систем объясняется их тесной связью с теорией определяющих соотношений (согласно [15] среди аксиоматизируемых классов полной теорией определяющих соотношений обладают квазимногообразия и только они) и наличием структурных теорем (теорема Г. Биркгофа [13] для многообразий и теорема А.И. Мальцева [13] о характеризации квазимногообразий на языке фильтрованных произведений).
Настоящая работа посвящена исследованию решетки квазимногообразий нильпотентных групп класса < 2. Проблема описания этой решетки поставлена М.И. Каргаполовым [11](вопрос 4.31). Обзор публикаций, касающихся данной темы, позволяет выделить три основные направления исследований.
Одно из направлений включает изучение покрытий в решетках квазимногообразий (см., например, [2], [3], [20], [21]). Это во многом обусловлено наличием тесной связи между проблемой существования покрытий и проблемой независимой аксиоматизируемости.
По определению базис квазитождеств или просто базис квазимногообразия J\f — это совокупность квазитождеств S, задающих данное квазимногообразие. Базис Е квазимногообразия ЛҐ называется независимым, если любое собственное подмножество ' С S задает квазимногообразие, отличное от J\f. Говорят, что квазимногообразие конечно аксиоматизируемо, если его можно определить конечным множеством квазитождеств. Покрытием квазимногообразия N в некоторой
рошетко кпазимпогообразнй С называется такое квазимного-образио 7v. что между Л'' и 1Z нет других квазимногообразий из С.
Связь вопроса о существовании независимого базиса с вопросом о существовании покрытий в решетке квазимногообразий устанавливается следующим признаком независимой аксиоматизируемости (см., например, [8]).
Если кпазгімногообразие Л4 групп имеет бесконечный независимый, базис квазитогждеств и Л4 С J\f для некоторого конечно аксиоматизируемого квазимногообразия jV групп, то квази.многообразие А4 имеет, бесконечное множество покрытий в решетке Lq{J\f) квазимногообразий, содержащихся в данном квазимногообразии, Af.
Отметим ряд результатов н этом направлении.
В [18] доказано, что всякое многообразие групп имеет в решетке многообразий групп хотя бы одно покрытие. Оказалось, что аналогичное утверждение неверно для квазимногообразий групп. Существует квазимногообразие групп [о], не имеющее покрытий в решетке квазимпогообразий групп.
Покрытия квазимногообразии абслеьых групп описаны в [3].
Известно [5], что если квазимногообразие Л^ не содержит бесконечного множества циклических групп Zp простых порядков /; и в то же время содержит бесконечную циклическую группу Zx;, то Л'' имеет бесконечное множество покрытий в решетке квазимногообразий, а также независимый базис.
В [2] найдена мощность множества квазимногообразий из многообразия Л^ нильпотеитиых групп класса < 2, содержащих свободные группы этого многообразия и не имеющих покрытий в решетке Lq{Kf'2)\ она оказалась континуальной. Ввиду признака независимой аксиоматизируемости множество квазимногообразий груші изЛ^, не имеющих независимых базисов квазитождеств и содержащих свободные группы этого
многообразия, континуально.
Отсутствие покрытий у квазимногообразия, порожденного неабелевой свободной нильпотентной группой, в решетке квазимногообразий нильпотентных групп класса < 2 без кручения установлено в [21]. В [20] доказано, что квазимногообразие, порожденное неабелевой группой порядка р3(р ф 2), не имеет покрытий и, следовательно, не имеет независимого базиса в решетке квазимногообразий нильпотентных групп класса < 2 экспоненты р.
Другое направление исследований связано с нахождением мощности данной решетки квазимногообразий. Решетка квазимногообразий абелевых групп была описана в [7].
Обозначим через qlZ квазимногообразие, порожденное некоторым классом групп TZ; Fn(jV') — свободная в квазимногообразии N группа ранга п.
Из [19] вытекает, что если G — конечная группа с абелевы-ми силовскими подгруппами, то решетка Lq(qG) конечна. В связи с этим в дальнейшем особое внимание уделялось изучению квазнмиогообразий, близких к квазимногообразиям абелевых групп, в частности, нильпотентных и метабелевых квазимногообразий (см., например, [4], [12], [22]).
В [22] показано, что решетка Lq{qG){G — конечная ниль-потентная группа класса < 2) конечна в том и только в том случае, когда квазимногообразие qG порождается конечным набором групп из некоторого списка, и континуальна — в противном случае. В этой же работе была высказана следующая гипотеза: квазимногообразие, порожденное неабелевой конечно-порожденной 2-ступенно нильпотентной группой без кручения либо совпадает с (^(А'г), либо содержит континуальное множество квазимногообразий. Данная гипотеза нашла подтверждение в [4].
Третье направление исследований связано с решением вопроса о базисном ранге квазимногообразия. Базисным рангом
квазимногообразия М называется такое наименьшее число п, если оно существует, что N = qG, где G есть п-порожденная группа.
Известно [17], что в многообразии, порожденном конечной группой, каждое подмногообразие также порождается некоторой конечной группой. В [20] приведен пример такой конечной группы G, что qG содержит континуум различных подквази-многообразий. Следовательно, qG содержит подквазимного-образия, не порождаемые конечной группой, т.е. не всякое подквазимногообразие квазимногообразия qG имеет конечный базисный ранг.
В [1] найдено условие, при котором данное квазимногообразие порождается некоторой 2-порождешюй группой. В результате установлено, что такие естественные квазимногообразия, как квазимногообразия, порожденные всеми разрешимыми р-группами (конечными разрешимыми группами, конечными р-группами), имеют базисный ранг, равный 2.
Отметим следующие две проблемы, связанные с изучением базисного ранга квазимногообразия.
Локально конечные квазимногообразия образуют подре-шетку решетки квазимногообразий групп. А.И. Будкин поставил в Коуровской тетради проблему ([11], вопрос 10.9), касающуюся изучения множества локально конечных квазимногообразий с конечными базисными рангами: является ли множество квазимногообразий, каждое из которых порождается некоторой конечной р-группой (р — простое число), подрешет-кой решетки квазимногообразий групп? Заметим, что эта проблема решена в данной диссертации.
Для конечной группы G в [6] найден метод построения максимальных собственных квазимногообразий в решетке Lq(qG). Указанный метод приводит к необходимости исследования максимальных квазимногообразий при изучении этой решетки. В частности, возникает задача установления конечности
базисного ранга максимальных квазимногообразий, которая также исследуется в рассматриваемой работе.
Цель работы. Изучение строения решетки квазимногообразий нильпотентных групп класса < 2.
Методика исследования. Методы, используемые автором при доказательстве результатов, опираются на абстрактную теорию групп, универсальную алгебру и теорию определяющих соотношений.
Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях решеток квазимногообразий.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах "Теория групп", "Алгебра и логика" Института Математики СО РАН и "Теория групп" Алтайского государственного университета, II Международной конференции по алгебре, посвященной памяти А.И. Ширшова (Барнаул, 1991 г.), Международной конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1992 г.), Втором сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике "ИНПРИМ - 96" (Новосибирск, 199G г.).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах автора [23] - [27].
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии. Общий объем диссертации 71 страница, список литературы содержит 27 наименований.