Введение к работе
Актуальность темы. Понятия регулярного элемента кольца и регулярного кольца были введены Джоном фон Нейманом в тридцатые годы и играют важную роль в различных областях современной теории колец и математике в целом. Проблема дпагоналпзируемостп регулярных матриц и рассмотрение колец, над которыми приводятся к диагональному виду все регулярные матрицы, а также колец, над которыми дпагонализируемы все пдсмпотентные матрицы (то есть ID-колец), являются важными аспектами в теории регулярных матриц.
Ряд авторов [1,2,3] исследовали матрицы над областями целостности, для которых существует инверсия по Муру-Пенроузу (MP-инверсия). Обобщая эти результаты, Пустьен и Робинсон [4] изучили связи между дпагоналнзн-руемостью регулярных матриц и нахождением МР-инверснй для этих матриц.
Хотя первые результаты в теории коммутативных
1. Batigne L. Integral generalized inverses of integral matrices //
Linear Alg. Appl. — 1978. — V. 22 — P. 125-134.
2. LamT. Y. Serre's conjecture // Lecture Notes in Math. — Berlin.
Springer-Verlag — 1978. — N.C35.
3. Rao B. On generalized inverses of matrices over integral do
mains J/ Linear Multilinear Alg. — 1981. — V. 10. — P. 145-154.
4. Puystjens R., Robinson D. W. The Moore-Penrose inverse of a
morphism with factorization // Linear Alg. Appl. — 1981. — V. 10. —
P. 129-141.
ID-колец были получены Фостером [5] ужо в 1946 году, начало систематическому изучению этих колец было положено в работе Стегера [б] в 196G году. В качестве примеров коммутативных ID-колец можно привести артиновы кольца, кольца элементарных делителей, квазиполулокальные кольца. 7г-регулярные кольца, кольца многочленов от одной переменной над кольцами главных идеалов.
В работе [7] к классу ID-колец, над которыми идем-потентно диагонализируемы все регулярные матрицы, были добавлены коммутативные ID-кольца и ID-кольца, в которых 0 и 1 являются единственными идемпотентными элементами. Ван-Гиль и Хилебрук [8], рассматривая задачу эквивалентности регулярных матриц и диагональных идем-потентных матриц над ID-кольцами и ID-областями, выдвинули гипотезу об идемпотентнои диагонализируемости над ID-кольцами любых регулярных матриц.
Первая часть настоящей диссертации посвящена зада-
-
Foster A. L. The idempotent elements of a commutative ring form a Boolean algebra; ring-duality and transformation theory // Duke Math. J. — 1945. — V. 12. N. 1. — P. 143-152.
-
Steger A. Diagonability of idempotent matrices // Pacific J. Math. — 1966. — V. 19, N. 3. — P. 535-542.
-
Huylebrouck D. Equivalence of von Neumann regular and idem-potent matrices // Czech. Math. J. — 1991. — V. 116. N. 41. — P. 44-50.
-
Huylebrouck D.. Van Geel J. Diagoualization of idempotent matrices И J. Algebra. — 1987. — V. 105. — P. 19G-206.
че идемпотентной диагонализируемости произвольных регулярных матриц над ID-кольцами. Аналогичные результаты были получены для коммутативных ID-колец [6], артиновых колец и ID-областей [8]. Построены два примера колец , которые опровергают вышеупомянутую гипотезу Ван-Гиля и Хилебрука. Один из этих примеров — алгебра B(F) счет-номерных матриц над полем F, в каждой строке и в каждом столбце которых содержится лишь конечное число отличных от нуля элементов поля F, — представляет самостоятельный интерес благодаря следующему результату Гудерла, Менала и Монказп [9] (который, впрочем, был отмечен еще в книге Джекобсона [10]): любая счетномерная алгебра с единицей над полем F вкладывается в алгебру B(F).
Д. В. Тюкавкиным было введено в рассмотрение под-кольцо кольца счетномерных матриц над полем F, ненулевые элементы которых отстоят от главной диагонали не более, чем на п мест, то есть лежат внутри области, ограниченной двумя прямыми, параллельными главной диагонали [11]. Опираясь на эту конструкцию, О' Мира и Ханнах [12] ввели
9. Goodearl К. R., Menal P., Moncasi J. Free and residually artinian rings /I J. Algebra. — 1993. — To appear.
-
Джекобсон H. Строение колец. — M., ИЛ, 1961. —495 с.
-
Tuykavkin D. V. Rings all of whose one-sided Ideals are generated by idempotents // Comm. Algebra — 1989. — V. 17, N. 5. — P. 1193-1198.
12. Hannah J., O'Meara К. C. A new measure of growth for
countable-dimensional algebras I // To appear.
функцию ленточной размерности, позволяющую говорить о новом подходе к изучению счетномерных ассоциативных алгебр над полем. В [12] был сформулирован список открытых вопросов, касающихся ленточной размерности ассоциативных алгебр и представляющий собой программу действий в этой области.
Цель работы — указать некоторые классы колец, над которыми будут идемпотентно диагонализируемы произвольные регулярные матрицы, и определить значения функции ленточной размерности на различных кольцах, рассматриваемых как алгебры над полем.
Методы исследования. В диссертации использована техника, развитая Д. В. Тюкавкиным, Меналом, Монка-зи, Ван-Гилем и Хилебруком для решения задач диагонализи-руемости произвольных регулярных матриц над кольцами, а также комбинаторные методы теории колец.
Научная новизна и практическая ценность. Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть полезны специалистам в области регулярных колец и ленточной размерности ассоциативных алгебр.
Основные результаты работы:
1. Описан некоторый класс колец, над которыми идемпотентно диагонализируемы все регулярные матрицы; дано отрицательное решение проблемы Ван-Гиля и Хи-лебрука об идемпотентной диагонализируемости над ID-кольцамн любых регулярных матриц.
2. Построены вложения некоторых алгебр (в частности, алгебр косых дифференциальных многочленов) в алгебру нулевого роста, а также построены бесконечномерные матричные представления для ряда алгебр, что дает серию примеров алгебр с нулевой ленточной размерностью.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, указанных в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 6 параграфов. Текст диссертации изложен на 69 страницах. Список литературы содержит 25 наименований.