Введение к работе
Актуальность теми. Теория линейных групп - одно из оснозішх направлений современной алгебри. Разрешите и локально нельпо-тентные линейные группы составляют важный раздел этой теории.
Начало изучения разрешишх линейных групп непосредственно связано с проблемой разрешишсти уравнений в радикалах и восходит к Э.Галуа и К.Нордану.
В конце 40-х годов нашего столетия било обнаружено, что раз-рзшише линейные группы являются важным инструментом в исследовании абстрактных разрешишх и локально нильпотентшх линейных групп (см. по этому поводу работу А.И.Шльцева [5] ). Такие группы играют также ваяну» роль в теории Пикара-Вессло - анаїоге теорш Галуа для дифференциальных уравнений. С этим! обстоятельствами связан новый этап в развитии теории разрешишх линейных групп.
В 1938г. Г.Цассенхауз установил, что длина ряда коммутантов разрешимой подгруппы группы QL^iP) ограничена числом, зависящим только от П, Е.Колчин[{4] и А.И.Мальцев [.5J доказал, что разрешимая группа матриц степени 71 над алгебраически замкнутым полем содержит триангулируемую нормальную подгруппу индекса Г <А1(?1).
Впервые систематическое исследование разрешкіх и локально нильпотентшх линейных групп над произвольным полек било предпринято в начале 50-х годов Д.А.Супруненко. Задача описания всех разрешишх я локально нильпотентных подгрупп полной линейной группы представляется гало реальной. С другой стороны из упомянутого выше результата Цассенхауза следует, что любая разрешимая подгруппа^группы GL^tr) содержится в некоторой максимальной разрешимо!'! подгруппе. Понятно, что строение последней в значительной изре определяет строение группы &. В связи с этим изучались в основном максимальные рззреїшдіе подгруппы По аналогичным причинам преимущественно исследовались максимальные» локально нильпотентнке линейные груїшн. В результате к середине шестидесятых годов Д.А.Супруненко и его ученикагяі в основном было завершено построение теории разрешимых и локально нильпотентных линейных групп в ситуации алгебраически замкнутого поля, конечного поля и поля действительных чисел. В частности было установлено,
ЧТО МНОЖеСТВО ШКСИКЗЛЫПЕС разреШИШХ ПОДГРУПП ГРУППЫ oZ/j, СР)
над алгебраически замкнутым полем ІР разбивается на конечное число Г <-ju.(K) классов сопряженных подгрупп, а(все непри-водаше максимальные локально нильпотентние подгруппы группы 1п(-Р) сокрянеш.
Были получены также глубокие результаты о строении разрешима и локально нильпотенгных линейных групп над произвольным полем*" (Д.Л.Супрукенко, Р.Т.Вольвачев, А.Е.Залесский, Р.И.Тышке-шч и др.). Том ко менее в случае произвольного поля {Р оставались открытыми следующие принципиальные вопросы: , '.- Классифицировать, с точностью до сопряженности:
а) Максимальные локально шиыютентные подгруппы группы
о)р -подгруппы Силова проективной линейкой группы
в) Неприводимое двухступенно нильпотентные линейные группы. П) Свести описание максимальных разрезимых подгрупп группы
GL^(JP) к построению только конечних) числа r<:j
таких подгрупп.
Как оїшчалось ліліє, в случае алгебраически замкнутого поля, конечного поля в поля действительных чисел зти задачи полностью решгны [IIJ . В частности еще в середине 50-х годов Д.А.Супрунен-ко установил, что ь полкой линейной группе над алгебраически замкнутым полей существует только одна, с точностьм'до сопряяен-ксстя, неприводимая максимальная локально нкльпотентная подгруппа, а шонєстео максимальних разрешима подгрупп группы GLfir(fi) разбивается на конечное число г
существуют бесКОІїеЧІШе СерКИ ГОПарНО НЄСОПРЯЖЄШШХ ШКСИМЗЛЫШХ
разрешимых подгрупп, которым кет аналога гад алгебраически замкнутым полем [24} . В.П.Платонов в работе [10J приводит пример, показывающей, что множество максимальных нкльпотентных подгрупп группы GLZ (Q) разбивается на бесконечное число классов иесопрязешшх подгрупп. Там ке построена бесконечная серия попарно не сопряженных не приводами: силовских 2-шдгрупп группы
flGL^(Q) (хотя в GLa(Q) такие подгруппы
—. is *-
Результаты этих исследований подытожены ВчКниге Д.Л.Супрукенко [II] .
сопряжены).
Цель настоящей работы - дать полные ответы на поставленные выше вопросы в случае произвольного поля.
Отштим, что глубокие результаты о разрешишх и легально нкльпотенткых алгебраически: линейных-группах получены В.П.Платоновым 8-10] .
В 1972г. Я.Тите [16] установил, что конечконорсэдеппая линейная группа либо почти разрешима, либо содиркит свободную подгруїшу ранга 2. Этот результат, а таккс завершение классификации конечных простых групп, еще раз подчеркивают актуальность тештики, связанной с изучением разрешимых и локально нилыютент-ных линейных групп.
Методика исследования. Использовались результаты и штоды теории групп, теорші полей, теории алгебр.
Научная новизна. Получена полная, с точностью до сопряженности, классификация неприводимых глкеш/алъних локально нильпотент-кых и дзухстуиенно шшьпотенткых линейных групп, О - подгрупп Силова проективной линеМной группы і'ад произвольным пслоіи Язу-чение макси.\алышх разрешимых подгрупп группы vuJt,CJ.) сведено к изучению лишь конечного числа і"-cjiLCTL} таких подгрупп. Все получанные а диссертации результаты является потоки
Теоретическая и практическая ценность. Работа носи? теоретический характер. Ез результаты глэгут найти при:.ї?нсш:е з различных разделах теории групп, теорія! представлений, а так.?.е .vary? быть использоваш при подготовь специадьких курсов по vcopin: линейных групп.
Апробация работн. Результаты диссертации докяадкьалисі ка 13,14,16-19 Всесоюзных алгебраических покфзранцзлх, 9 и 10 Всесоюзных симпозиумах по теории групп, на согяіиаро да.Л.Г.Куропа при МГУ, на объединенном сеіяшаре ЛОЫИ н ЛГУ, на сокіиаре по алгебре при институте гатештшш АН ЕССР.
Публикации. Основные результати диссертации опубликованы в работах [І7-У0Д .
Структура и обтом работы. Диссертация состоит нз введения, двух глав и приложения. Объем диссертации - 291 гагзпгапленая страница. Список литературы содерзпт 95 наздэновапяи.