Разрешимые группы и примитивные системы элементов Тимошенко, Евгений Иосифович

Введение к работе

Актуальность темы. Понятие разрешимой группы относится к числу основных понятий алгебры и восходит к Галуа. Оно, как известно, имеет связь с разрешимостью алгебраических уравнений в радикалах, а также с теорией Пикаро -Весьо о разрешимости дифференциальных уравнений в квадратурах. Большой интерес к теории разрешимых групп объясняется также тем, что многие грзтшы, имеющие естественное происхождение, аппроксимируются разрешимыми группами или обладают большими разрешимыми факторгруппами, исследование которых дает информацию о самих группах.

Разрешимые группы ступени два называются метабелевыми. Началу пристального изучения метабелевых групп послужили проблемы, возникшие в теории чисел [27]. теории узлов {37} и основаниях геометрии (34). Метабелевы группы выделяются среди групп произвольной ступени разрешимости своими "положительными'' качествами. При их изучении возможно использовать средства коммутативной алгебры. Кроме того некоторые задачи комбинаторной теории групп, например, связанные с фундаментальной группой узла, могут быть решены факторизацией по второму коммутанту, т.е. переходом к метабелевой группе.

Фундаментальный вклад в теорию разрешимых групп внесли А. И. Мальцев, М. И. Каргаполов, Ф. Холл, В. Н. Ремесленников, А.- Л. Шмелькин.

В своем докладе на II Международной конференции по теории групп (Канберра, 1973) М. И. Каргаполов сформулировал программу исследования разрешимых групп в виде ряда конкретных проблем [3]. Интерес

автора к разрешимым группам с одним определяющим соотношением стимулирован некоторыми из них.

В литературе по теории групп значительное место занимают работы по автоморфизмам групп. Особое внимание уделяется изучению групп автоморфизмов относительно свободных групп. Так результат Нильсена о конечной определенности группы автоморфизмов свободной группы конечного ранга стал классическим. Бахмут и Мочизуки [21], а также независимо В. А. Романьков [10,11], решили известную проблему о том, что любой автоморфизм свободной метабелевой группы ранга т ф 3 индуцирован некоторым автоморфизмом свободной группы. Хорошо известен факт, установленный Андреадакисом [20], что для любой свободной нилъпотснтной группы ранга г > 2 ступени с > 3 существует автоморфизм, не индуцированный автоморфизмом свободной группы F_r.

Любой автоморфизм относительно свободной грзтшы F_r(M) конечного ранга г многообразия М определяется своим действием на фиксированном базисе х\, ..., х_г этой группы. Поэтому задать автоморфизм tp группы ^г(М) значит задать базис у\, ..., у_г этой группы, для которого <р{х{) — Уі при Ї = 1, ..., г.

Часть базиса группы iv(M) называется примитивной системой элементов этой группы. Примитивный элемент - это примитивная система из одного элемента. Примитивная система из г элементов является базисом группы F_r(M)-

Изучение примитивных систем относительно свободных групп дает возможность глубже исследовать их группы автоморфизмов. При этом на первое место ставятся два вопроса: о распознавании примитивных систем эде-

ментов и об индуцировании их примитивными системами свободной группы.

Одним из первых критериев примитивности пары элементов свободной группы ранга два является результат Нильсена [35]. В [14] продолжено изучение примитивных элементов в группе F2 и дан алгоритм для их распознавания.

Частным случаем критерия примитивности можно считать известный результат Бирман [23], утверждающий, что г элементов ду, ..., д_г свободной группы F_r образуют примитивную систему тогда и только тогда, когда матрица J(g) = (djgi)_rXT, составленная из значений производных Фокса от элементов <7i, ..., д_г, обратима.

Свойства примитивных элементов свободных групп изучались в работах Магнуса [33] и Стейнберга [38].

Критерии примитивности для свободных групп, а также для свободных мстабелевых групп и алгебр Ли получены в работах Топпинга [40], В. А. Романькова [12,13], К. Гупты, Н. Гупты, Г. А. Носкова [28], У. У. Умирбасва [16,17].

Определение. Автоморфизм группы F_r{M) называется рз^гчным, если он индуцирован автоморфизмом свободной группы F_r.

Понятие ручного ранга TR(M) многообразия М определено Бахмутом а Мочизуки в [23] как наименьшее целое d > 1 такое, что все автоморфизмы группы F_r(M) являются ручными при г > d. Если такого d не существует, го Т7?(м) полагают равным бесконечности.

Пусть А - многообразие всех абелевых групп, Am ~ многообразие абе-тевых групп, экспонента которых делит целое m > 0.

В [22] Бахмут и Мочизуки доказали, что группа автоморфизмов свободной группы ранга г многообразия Ар" А не конечно порождена при всех значениях г > 2, п > 2 и простых р. Таким образом ТЛ(Ар» А) = оо. Вопрос о вычислении TR(Ai А) оставался открытым, если / не делится на квадрат целого числа, большего 1. В [23] Бахмут и Мочизуки поставили проблему 4, предположив, что в этом случае ручной ранг многообразия А/ А равен 1 или 4.

В совместной работе [25] Брайнт и К. Гупта поставили следующий вопрос. Верно ли, что для любого многообразия М найдется число 7, зависящее только от М, и такое, что любая примитивная система элементов 9\> > 9т группы F_r(M) индуцирована примитивной системой элементов группы F_T, если только г достаточно велико и т < г — L

Конечно этот вопрос интересен лишь для тех многообразий М, для которых почти для всех значений г относительно свободная группа F_r(M) содержит не ручные- автоморфизмы, в частности, для многообразия Ар" А

В работе {31] К. Гупты, Н. Гупты и В. А. Романькова получен положительный ответ на этот вопрос для многообразия А² Л Nc-

Цель работы - изучение разрешимых групп с одним оііределяющда соотношением, автоморфизмов и эндоморфизмов свободных разрешимы} групп, а также примитивных систем элементов в свободных группах некоторых разрешимых многообразий групп.

Основные методы. В работе используются теоретико групповые ме тоды, характерные для изучения разрешимых групп. Широко применяете! вложение Магнуса и техника дифференцирований в групповых кольцах Методы, позволившие получить критерии примитивности, разработань

автором и основаны на результатах Суслина-Квиллсна-Суона (15,36,39), а также В. А. Артамонова (1,2] о транзитивности действия группы матриц на множестве унимодулярных и Л - модулярных векторов.

Научная новизна. Результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. В качестве следствий получены также некоторые результаты, принадлежащие другим авторам.

Основные результаты диссертации.

1. Исследован центр мстабелевой группы с одним определяющим соотношением. Отсюда следует решение вопроса 4.33.а, поставленного М. И. Кар-гаполовым в Коуровской тетради, при п = 2. Получен критерий для существования элементов данного конечного простого порядка в такой группе.

2. Решена задача об определяемости автоморфизмов и эндоморфизмов свободных разрешимых групп конечным множеством значений. В частности, получен ответ на вопрос 13.66.6 из Коуровской тетради.

3. Для многообразия Am, m > 0, и некоторых многообразий М получены необходимые и достаточные условия для примитивности системы элементов свободной группы многообразия Am М.

4. Исследованы свойства пршштивных систем элементов в многообразии A No где Nc ^_ многообразие всех нильпотентных групп ступени нильпотентности не более с. Построен пример не примитивного элемента д из свободной группы ^(ANa): соответствующий которому вектор {d\g, dig) из производных Фокса унимодулярея. Тем самым установлены границы применимости критерия примитивности.

5. Получены теоремы об индуцировании примитивных систем многообразия Am А примитивными системами свободной группы. Доказано, что при

любом не простом т и г > 2 ГЛ(АтА) = со. Тем самым дан отрица тельный ответ на проблему 4 Бахмута и Мочизуки из [23]. Для многообра зия Ар" А доказано, что любая примитивная система элементов группь ^г(Ар» А) длины т < г — 2 индуцирована примитивной системой элемен тов группы F_r при любом простом р, п > 1, г > 4. Таким образом дане подтверждение гипотезе Брайнта и К. Гупты из [25] для многообрази! Ар-А.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены нг 4-м Всесоюзном симпозиуме по теории групп (Новосибирск. 1973), на XVII (Кишинев, 1985) и XIX (Львов, 1987) алгебраических конференциях, ж III Международной конференции по алгебре (Красноярск, 1993), II Между народной конференции "Математические алгоритмы" (Нижний Новгород 1995), Международной алгебраической конференции памяти Д.К.Фадеевг (Санкт-Петербург, 1997), на семинарах "Алгебра и логика" и "Тсорш групп" института математики РАН и Новосибирского государственно!* университета, на семинаре "Теория групп" Московского государственной университета, на алгебраическом семинаре Омского государственного уни верситета, в Селезском математическом обществе (г. Катовице, Польша 1989). на семинаре Института математики Сслезского политехнической университета (г. Гливице, Польша, 1989), на семинаре по алгебре универ ситета Манитобы (Канада, Виннипег, 1994 и 1996).

Публикации. По теме диссертации имеется 17 публикаций, в т.ч. * публикации [54,55,56] совместно с К. Гуптой. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно, за исключением результаті об индуцировании примитивных систем элементов в группах iv(AmA)

полученного совместно с К. Гуптой [об].

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 187 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых на 13 параграфов и списка литературы, включающего 112 наименований.