Введение к работе
Актуальность темы. Группа называется разложилюй, если она представляется в виде фундаментальной группы нетривиального редуцированного графа групп [38, 6]. Такое представление называется разложением группы. Согласно теории Басса - Серра, группа разложима тогда и только тогда, когда она действует без инверсий ребер и без общей неподвижной точки на некотором дереве [38].
Исследование разложений групп и связанных с ними действий груші на jR-деревьях - одна из важных задач комбинаторной теории групп. Разложения групп позволяют лучше попять строение их подгрупп [38], а в случае гиперболических групп - изучить динамику и классифицировать их автоморфизмы, а также выяснить строение групп автоморфизмов этих групп (см. обзор Бествины [7], а также работы [8, 32, 35, 37]).
Истоки многих идей и методов исследования разложений групп находятся в топологии. Отметим здесь теорему Зейферта - вап Кампена, теорию Столлингса концов групп, теоремы об алгебраическом торе и о JSJ-раэложении групп (Рипс, Села, Данвуди, Сагеев, Свенсон, Папа-соглу и Фудживара). Далее мы говорим только о тех разложениях, в которых реберные группы конечно порождены.
В тех случаях, когда группа имеет ярко выраженное геометрическое происхождение, естественно спросить
-
всякое ли ее разложение геометрично?
-
как связаны произвольные разложения с геометрическими?
Мы отвечаем на эти вопросы для фундаментальных групп замкнутых (то есть компактных и без края) поверхностей, понимая под геометрическим разложением такое, которое индуцируется разбиением поверхности на подповерхности. Формальные определения приводятся ниже. Оказывается, не все разложения таких групп геометричпы (это дает ответ на вопрос 10.69, сформулированный X. Цишангом в [1]), однако все разложения почти геометричны в некотором точном смысле
[53]. Кроме того, эти группы, за исключением фундаментальной группы бутылки Клейна, обладают свойством реберной жесткости: при фиксированных реберных подгруппах имеется конечное число вариантов для вершинных подгрупп в разложениях группы.
Представлять разложения и подгруппы в виде геометрических объектов помогает теорема Скотта [34], утверждающая, что любая конечно порожденная подгруппа Н фундаментальной группы iri(T,x), где Т -компактная поверхность, реализуется несжимаемой подповерхпостью в некотором конечнолистном накрытии поверхности Т.
На алгебраическом языке это означает, что Н выделяется кат: вершинная подгруппа в некотором разложении подходящей подгруппы конечного индекса в гг1(Г, ж).
Такой подход позволил нам решить проблему автоморфной сопряженности двух конечно порожденных подгрупп группы 7Гг(!Г, я) [51]. Ранее проблема автоморфной сопряженности была решена Уайтхедом для элементов свободной группы [41], Герстеном для конечно порожденных подгрупп свободной группы [21] и Левиттом и Фогтманн для элементов группы 7Гі (Т, я) [27].
Скотт отмечает, что толчком к его исследованию [34] явилась работа М. Холла [24], в которой доказано, что любая конечно порожденная подгруппа свободной группы F конечного ранга выделяется свободным множителем в некоторой подгруппе конечного индекса группы F. Фактически, Скотт доказывает обобщение теоремы Холла на геометрическом языке.
Группа G называется холловой (в честь М. Холла [24]), если всякая ее конечно порожденная подгруппа выделяется свободным множителем в некоторой подгруппе конечного индекса группы G. Мы доказываем, что конечно порожденная группа холлова тогда и только тогда, когда она почти свободна и всякая ее конечная подгруппа выделяется свободным множителем в подходящей подгруппе конечного индекса [45]1. Это свойство алгоритмически распознаваемо в классе групп, заданных конечными графами конечных групп. Используемая техника - накрытия комплексов.
Исследование автоморфизмов свободных групп - одно из важных и интересных направлений в комбинаторной теории групп, в котором геометрические идеи и методы находят яркое воплощение.
^аиее в работе [11] была предпринята попытка охарактеризовать холловы группы в частном случае, однако основная теорема и гипотеза этой работы оказались неверными (см. [45]).
Пусть Fn - свободная группа ранга п и Axit(F„) - группа ее автоморфизмов. Важнейшей характеристикой автоморфизма а Є Aut(.Fn) является группа его неподвижных точек: Fix(a) = {ж Є Fn | а(х) = х).
Используя технику трейн-треков Бествина и Хэндель [9] доказали, что rfc(Fix(a)) ^ п. Детальный анализ этой техники позволил Коллинзу и Тернеру [14] классифицировать автоморфизмы а с условием rfc(Fix(a)) = п. Однако получить полную классификацию автоморфизмов Fn по рангам групп их неподвижных точек и классификацию этих групп с точностью до сопряженности в Aut(-F„) пока не удается. Мы показываем возможность получения такой классификации для геометрических автоморфизмов.
Автоморфизм а группы Fn называется геометрическим, если он индуцируется гомеоморфизмом некоторой компактной поверхности Т с краем при отождествлении групп Fn и тт\ (Т, х). Неподвижные точки автоморфизма реализуются минимальными замкнутыми кривыми в Т. Несжимаемые подповерхности в Т, связанные с этими кривыми, соответствуют группам неподвижных точек автоморфизма.
При п — 2 любой автоморфизм геометричен. Это позволило нам получить классификацию автоморфизмов свободной группы ранга 2 по рангам групп неподвижных точек, классификацию групп неподвижных точек автоморфизмов и классификацию стабилизаторов элементов из F-2 [54]. В качестве следствия мы получаем алгоритм, решающий проблему сопряженности в группе Aut(i<2), а также алгоритм для нахождения базиса подгруппы Fix(a) для а Є Aut(i<2).
Одним из перспективных направлений геометрической теории групп является исследование свойств групп, инвариантных относительно ква-зиизометрий, а также описание классов квазиизометричных групп (см. книги М. Громова [22, 23]). Мы исследуем частный случай квазиизо-метрий - билипшицевы отображения (они обобщают понятие изоморфизма) .
Группу можно рассматривать как метрическое пространство со словарной метрикой относительно фиксированного порождающего множества. Метрические пространства {X\,d\) и (^2,) называются билип-ишцево эквивалентными, если существуют биекция <р : Х\ —у Х2 и константа /? > 0 такие, что jdi(x, у) ^ (І2(<р(х), <р(у)) ^ 0di(x,y) для всех х,у Xi.
Мы доказываем, что бесконечные соизмеримые гиперболические группы билипшицево эквивалентны [48, 50]. Это дает ответ на один вопрос М. Громова [22, стр. 23] в классе гиперболических групп. Ра-
нее П. Папасоглу [31] доказал аналогичное утверждение для свободных групп. Позднее и независимо В. Некрашевич [2] доказал, что ква-зиизометричные гиперболические группы билипшицево эквивалентны. Отметим, что идеи нашего доказательства (в частности лемма о пара-сочетаниях из комбинаторики и идея превращения инъективного отображения в биективное), могут быть применены для доказательства еще более общего факта: неаменабельные конечно порожденные группы квазиизометричны тогда и только тогда, когда они билипшицево эквивалентны [42]. В [48, 50] мы даем также положительный ответ па другой вопрос М. Громова из [22, стр. 23] (см. определение 5.1.2):
Будут ли произвольные разделенные сети в гиперболическом пространстве И",п ^ 2, билипшицево эквивалентны?
Удивительно, что для евклидовых пространств размерности п i> 2 аналогичный вопрос решается отрицательно [12].
Цель работы. Развитие геометрических методов исследования разложений груші в свободные конструкции. Доказательство того, что произвольные разложения фундаментальных груші замкнутых поверхностей являются почти геометрическими. Применение накрытий комплексов для характеризации конечно порожденных групп со свойством М. Холла. Применение обобщения этого свойства для решения проблемы автоморфной сопряженности конечно порожденных подгрупп фундаментальных групп компактных поверхностей. Исследование геометрических автоморфизмов свободных групп и груші их неподвижных точек. Решение двух задач М. Громова о билипшицевой эквивалентности групп и сетей в гиперболических пространствах.
Общая методика исследовании. В работе используются комплексы и накрывающие отображения, реализация конечно порожденных подгрупп фундаментальных групп компактных поверхностей несжимаемыми подповерхностями в конечнолистных накрытиях этих поверхностей, реализация автоморфизмов фундаментальных групп замкнутых поверхностей гомеоморфизмами этих поверхностей.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Здесь впервые:
описаны конечно порожденные холловы группы;
доказано, что произвольные разложения фундаментальных групп замкнутых поверхностей являются почти геометрическими;
доказано, что фундаментальная группа замкнутой поверхности, отличной от бутылки Клейна, обладает реберной жесткостью;
решена проблема автоморфной сопряженности конечно порожденных подгрупп фундаментальных групп компактных поверхностей;
получена классификация автоморфизмов свободной группы ранга 2 по рангам групп неподвижных точек, классификация групп неподвижных точек таких автоморфизмов с точностью до сопряженности в Aut^Fg), и классификация стабилизаторов элементов из Fi с точностью до изоморфизма;
доказано, что бесконечные соизмеримые гиперболические группы билипшицево эквивалентны;
доказано, что произвольные разделенные сети в гиперболическом пространстве Ш\п ^ 2, билипшицево эквивалентны.
Теорєтгічєская и практическая ценность. Диссертация имеет теоретическое значение. Вошедшие в нее результаты и разработанные методы могут быть использованы в комбинаторной и геометрической теории групп.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на совместных семинарах ИМ СО РАН и НГУ "Топологические методы в теории групп", "Теория групп", "Алгебра и логика", на семинарах в университетах Бохума, Дортмунда, Билефельда, Франкфурта, на международных конференциях по комбинаторной и геометрической теории групп (Крит, 1996; Саутгемптои, 1997; Ворвик, 1999; Хайфа, 2000 - секционные доклады). Сделан пленарный доклад "Группы со свойством М. Холла" па Международной алгебраической конференции памяти М. И. Каргаполова (Красноярск, 1993), два секционных доклада на "Мальцевских чтениях" (Новосибирск, 1998), секционный доклад на международной конференции но логике, посвященной 60-летию 10. Л. Ершова (Новосибирск, 2000) и пленарный доклад "Разложения фундаментальных групп замкнутых поверхностей в свободные конструкции" на международной конференции по теории групп, посвященной 60-летию со дня рождения Ю. И. Мерзлякова (Новосибирск, 2000).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [43 - 55] и в тезисах докладов [56 - 63].
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы (88 наименований). Объем диссертации - 142 страницы.