Введение к работе
Актуальность темы. Теория расширений групп является важным рааделом общей теории групп , имеющей немало важных приложений и связей с другими математическими теориями . В последние 15 лет активно развивается направление исследований , занимающих пограничное положение между теорией расширений и теорией обобщенно разрешимых и обобщенно нилыютентных групп с условиями конечности .Одним из основных вопросов , возникающих при этих исследованиях , является вопрос об условиях дополняемости нормальных подгрупп в группах или , иначе говоря , вопрос о расщепляемости расширений групп. Многие работы, относящиеся к этому разделу теория групп посвящены нахождению новых критериев расщепляемости расширений, в основном абелевых групп удовлетворяющим определенным условиям конечности ("например, условиям минимальности либо максимальности для подгрупп, нормальных в расширении, условию конечности ранга и др . .) посредством различных видов обобщенно нильпотентных либо обобщенно разрешимых"групп . Одним из отправных пунктов развития этой теории было стремление перенести на возможно более широкие классы групп известные факты из теории конечных групп : теорему Шура-Цассенхауза о сопряженной расщепляемости расширений конечных групп взаимно-простых порядков; критерий Гаї'іюца о дополняемости абелевой нормальной подгруппы, при условии дополняемос-ти се силовских подгрупп; теорему Гашюца-Шенкнапа утверждающую, что абелеп ннльпотентпый корадикал конечной группы дополняем и лпбио два дополнения сопрягепн. Теорему Л. Л. Пемсткова о дополняемости неабелевоЯ нормальной подгруппы конечной группы при условии абелевости и дополняемости некоторых се силсосхих
подгрупп . Нахождению аналогов расщепляемости для тех или иных видов бесконечных групп посвящены работы М.Ньюмена, Н.Ныгалла, Б.Хартли и Д.Макдугала, Д.И.Зайцева, Д.Робинсона, Б.Хартли, Б.Хартли и М.Томкинсона, М. Томкинсона.
Настоящая диссертация посвящена дальнейшему изучению расширений абелевых групп с помощью локально' сверхраэрешимых, .локально ннльпотентных и гиперконечных групп и нахождению условий при которых эти расширения расщепляемы, а также исследованию групп гомологии и когомологий некоторых обобщенно разрешимых и обобщенно конечных групп и применению полученых утверждений для изучения расширений групп .
Цель работы состоит в нахождении условий сопряженной расщепляемости расширений абелевых групп, удовлетворяющих определенным условиям конечности посредством покально нилыютентных, локально сверхразрешимых и гиперконечных локально разрешимых групп; в изучении артиновых модулей над гиперциклическими группами, а также в исследовании групп гомологии и когомологий гиперциклических, локально сверхраэрешимых , гиперконечных и других групп с коэффициентами в артиновых модулях.
Методы исследования. Основу исследования составили методы теории групп и гомологической алгебры.
Научная новизна и практическая ценность . В диссертации найдены новые условия сопряженной расщепляемости расширений абелевых групп посредством локально сверхразрешимых, локально ннльпотентных и гиперконечных локально разрешимых групп.
Установлена разложимость в прямую сумму специального вида артиновых модулей над гиперциклическими группами и получен новый критерий сопряженной расщепляемости гиперциклических расширений абе-
левых групп.
'Доказаны теоремы об обращении в ноль групп гомологии и когомо-логий гиперциклических, локально сверхразрешимых, гиперконечных й др. групп с коэффициентами в артнновых модулях.
Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в теории групп, теории колец и модулей, в гомологической алгебре, а также при чтении специальных курсов по алгебре.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на X/ Всесоюзном симпозиуме по теории групп (Кунгурка, 1989), на семинаре по теории групп Института математики АН Украины СКиев , 1987-1992 J , на Киевском городском алгебргіическом семинаре С Киев , 1992 .) .
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 6 работ.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. В начале каждой главы дан краткий обзор рассматриваемых в ней вопросов и полученных результатов. Список литературы насчитывает 52 наименования. Общий объем диссертации 82 страницы.