Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Расслоения Гротендика 23
1.1. Декартовы морфизмы, предрасслоения, сечения 23
1.2. Операции и конструкции 26
1.3. Пределы и сопряжения
1.3.1. Базовые результаты 29
1.3.2. Локально нётеровы категории 31
1.4. Факторизационные системы и полурасслоения 37
1.4.1. Индексирование факторизационными категориями 39
1.4.2. Полурасслоения 40
1.4.3. Пределы и сопряжённые функторы для сечений 43
Глава 2. Модельные структуры Риди 51
2.1. Модельные категории и локализация 51
2.2. Полурасслоения над категориями Риди
2.2.1. Модельные полурасслоения 52
2.2.2. Случай “прямой” категории 54
2.2.3. Окончание доказательства 57
2.3. Приложения 59
2.3.1. Над категорией симплексов 60
Глава 3. Производные сечения 62
3.1. Симплициальные замены 62
3.2. Категория производных сечений 65
3.2.1. Предсечения 65
3.2.2. Производные сечения 66
Глава 4. Резольвенты 70
4.1. П-замены и башни 73
4.1.1. Категория П 73
4.1.2. П-индексированные категории 74
4.1.3. К-замены и башни функторов
4.2. Прямой образ и эквивалентность 86
4.3. Резольвенты факторизационных категорий 92
Глава 5. Сигаловы алгебры и гипотеза Делиня 101
5.1. Операторные категории 101
5.1.1. Определение 101
5.1.2. Классификаторы алгебр
5.2. С-категории и производные алгебры 104
5.3. Резольвенты операторных категорий 105
5.4. Планарные деревья
5.4.1. Определение 108
5.4.2. Деревья как резольвента В 110
5.5. Бимодульное опрасслоение 112
Заключение 115
Список литературы 1
- Пределы и сопряжения
- Полурасслоения над категориями Риди
- Категория производных сечений
- К-замены и башни функторов
Пределы и сопряжения
В частности, пусть с Є С — объект, не содержащийся в образе F. Тогда Q(F(d),c) = 0 для каждого d Є D. Таким образом, как максимум, есть отображения из с в D.
Пусть С — нётерова категория и F : D — С — замкнутое вложение. Далее мы отождествим D, которая также нётерова, с её образом в С.
Обозначение 1.3.14. Определим Т)п как подкатегорию, состоящую из D и всех объектов с Є С, не содержащихся в D со степенью \с\ п. Обозначим через Fn : D — Т)п функтор вложения. Существует также вложение Т)п — С, которое мы оставим без названия на данный момент. Наконец, обозначим через Qn подкатегорию Т)п, состоящую из тех объектов с, которые не принадлежат к Dra_i.
Для объекта с Є С (который обычно предполагается лежащим вне Qn) можно определить категорию c\T)n_i как обычную комма-категорию для вложения Dra_i — С: её объекты — морфизмы с — d в С, где d лежит в Dra_i.
Как и обычно с комма-категориями и предрасслоениями, мы получаем функтор ограничения Resc : c\Dn_1 — Є (с).
Предложение 1.3.15. Пусть F : D — С — замкнутое вложение нётеровых категорий и — С — предрасслоение с полными слоями. Тогда для каждого сечения X є Sect(D, ) существует правое расширение Кана ROUFX Є Sect(C,), которое ограничивается до правых расширений Кана RanpnX є Sect(Dra, ) сечения X вдоль Fn : D — Т)п. Более того, F RanpX = X и для каждого х Є 9п имеем (RariF X)(х) = lim , ResT о RariF Д (1.3.3) где мы неявно ограничиваем RariFn_1X на x\Dra_i вдоль очевидной проекции. Доказательство. Будем строить RanpnX для каждого значения п по индукции. Для п = О, единственные объекты х Є Do, которые не лежат в D, — те, которые не допускают необратимых отображений из себя, поскольку \х\ = 0. Тогда положим (RariF0X)(x) равным конечному объекту в (ж). Формула (1.3.3) тогда объясняет, как вести индукцию: для х,у Є Т)п которые не в Dra_i, отображения х — у, если они существуют, обратимы, и конструкция отображения (RariF„X)(x) — (RariF„X)(y) таким образом так же тривиальна, как и в Предложении 1.3.10. Наконец, каждый объект (морфизм, или композиция морфизмов) С принадлежит к какому-то Sn, что позволяет нам построить RaripX на всей категории С.
По построению, F RaripX очевидно изоморфно X. Универсальное свойство правого расширения Кана можно проверить, используя (1.3.3). Пусть Т Є Sect(D, ) — сечение, и допустим, что есть отображение а : F T — X. Мы хотели бы получить морфизм /3 : Т — RaripX. Предположим по индукции (которая, опять же, тривиальна для объектов степени ноль) что мы получили это отображение для всех с Є Dn-i. Пусть х — объект Sri. Тогда имеем диаграмму в (ж) вида Т(х) — lim , ResT о Т — lim , ResT о Rarip , X = Rarip Х(х) где, когда необходимо, оба Т и Raripn_1X ограничены на x\Dn_i. Первое отображение суще ствует из-за структуры сечения Т, второе отображение даётся индуктивным предположени ем, и вместе они дают Т(х) — RariFnX(x) = RanpX(x). Другая половина универсального свойства тривиально проверяется посредством применения F . Сопоставление X —) RaripX определяет, таким образом, строго полный функтор F : Sect(D, ) — Sect(C, ) сопряжённый справа к F . Рассмотрим замкнутое вложение F : С — С и объект с Є С. Можно сформировать следующую декартову диаграмму в Cat где с\С совпадает с обычной комма-категорией c\F. Более того, можно проверить, что каж-дая категория в этой диаграмме — нётерова, все функторы сохраняют степень, и что вертикальные, F и Fc, являются замкнутыми вложениями (функторы 7Г и 7г , будучи дискретными расслоениями Гротендика, всего лишь строгие). Имея послойно полное предрасслоение над С, имеем следующую индуцированную 2 -диаграмму Sect(c\C , ) 7Г Sect(C , ) F - с, -4= \ Sect(c\C, ) -«— Sect(C, ). 7Г 37 Предложение 1.3.16. В диаграмме выше, отображение ir F — Fc ir — изоморфизм. Мы будем доказывать это предложение по индукции, формируя, для каждого с Є С, категории для индукции, обозначаемые Q n и (с\С )га в Обозначении 1.3.14, где 7гга : (с\С )га — Q n — функтор проекции. Можно видеть что, более того, (с\С )га = c\Q n. Тогда Предложение 1.3.16 следует из
Предложение 1.3.17. Пусть F : С — С замкнутое вложение нётеровых категорий и — С — предрасслоение с полными слоями. Тогда для каждого п, естественный 2-морфизм в квадрате
Доказательство. Индукция по п. Для п = 0, продолжение на объекты степени ноль вне С или с\С даётся конечными объектами, а потому изоморфизм тривиален. Возьмём теперь объект категории c\Q n, представленный отображением с — d с d вне С и степенью \с — d\ = \d\ равной п. Можно тогда написать, что 7r nRariFnX(c — d) = RariFnX(d) = Цш Res(i7i _1RanFn_1X і а\Єп_1 где 7гга_1 — функтор d\Q n_1 — Q n_1, и также что Fr 7г Х(с — d) = lim, ,wl , , ReSr riRariF 1-л Х = 111x1, , ResjRariF 1ж Х где в среднем члене есть ещё одно неявное ограничение. По индукции, ТГ —1 п—1 7 iXCillFcn_17l у\ — изоморфизм, который индуцирует изоморфизм между двумя выражениями пределов вы
Полурасслоения над категориями Риди
Предложение 3.2.2. Сопоставление S То (h eS) задаёт строго полный функтор і : Sect(C, ) — PSect(C,). Его существенный образ состоит из предсечений, которые отправляют сигаловы отображения Ус в декартовы морфизмы Е.
Доказательство. Заметим, что для каждого сигалова отображения а : С[га] — с , отображение в h eE опдекартово над а если и только если это изоморфизм х — х в (со). С одной стороны, функтор Т посылает такие отображения в декартовы морфизмы в Е; с дру гой стороны, сечение-обратный образ h eS : С — h eE посылает сигаловы отображения J c в тождественные отображения в . Остальные детали очевидны.
Замечание 3.2.3. Рассмотрим объект С[га] = Со — с\ — ... — сп категории (L. огда S Є Sect(C, ) отправляется в предсечение i(S) такое что i(S)(c[n]) = (fn...fi)\S(co), где (fn...fi)\ : (со) — (сга) = Е(с[п]) — функтор перехода вдоль композиции /j.
Определение 3.2.4. Модельным опрасслоением —) С называется опрасслоение, такое что каждый слой (с) — модельная категория, и функторы перехода сохраняют фибрации и слабые эквивалентности. Что то же самое, имея диаграмму с горизонтальными опдекартовыми стрелками и вертикальными послойными стрелками, если X —) Z — фибрация (соответственно, слабая эквивалентность) тогда то же верно про Y — Т.
Следствие 3.2.5. Пусть — С — модельное опрасслоение, тогда Е — С — нормализованное модельное сигалово расслоение над А-индексированной категорией С. Следовательно, категория PSect(C, ) = Sect(C,E) имеет модельную структуру Риди из Теоремы 2.2.5.
Доказательство. Очевидно. Обозначим через Но PSect(C, ) соответствующую локализацию. Определение 3.2.6. Пусть J — D — предрасслоение, такое что каждый слой 3{х) имеет слабые эквивалентности (содержащие все изоморфизмы F(:r)). Морфизм а : X — Y в J называется слабо декартовым, если его можно факторизовать как а : X — Z — Y где X — Z — слабая эквивалентность в $(Х), и Z —) Y декартов. Определение 3.2.7. Пусть J — X — модельное сигалово предрасслоение над А - индексированной категорией X. Сечение S : X — J называется сигаловым, если оно отправляет 5 % в слабо декартовы отображения Э. Обозначим через Sect (X,9r) полную подкатегорию Sect(X,9r), состоящую из сигаловых сечений.
Лемма 3.2.8. Пусть S — S — слабая эквивалентность в Sect(X, F). Тогда если одно из сечений S, S сигалово, то второе — тоже. Доказательство. Посредством применения свойства “три-за-два” и факта, что функторы перехода сохраняют слабые эквивалентности. Обозначим через HoSect (X, J) С HoSect(X,9r) подкатегорию сигаловых сечений. Это — полная подкатегория HoSect(X,9r), которая совпадает с локализацией Sect (X,9r) вдоль послойных слабых эквивалентностей. Возвращаясь к нашему примеру,
Определение 3.2.9. Пусть — С — модельное опрасслоение. Предсечение А : С — Е называется производным сечением, если А отправляет сигаловы морфизмы С в слабо декартовы морфизмы Е.
Обозначим через DSect(C, ) полную подкатегорию PSect(C,), состоящую из производных сечений. Мы также обозначим через Но DSect(C, ) соответствующую подкатегорию Но PSect(C, ).
Рассмотрим объект с — с of С. Производное сечение X даёт нам диаграмму в (с ) Х{с — с) (3.2.1) j\X[c) Х[с) где Х(с) — f\X(c) — опдекартов морфизм , накрывающий / (ср. Определение 1.2.1). Левая стрелка в этой диаграмме (3.2.1) — слабая эквивалентность. Диаграммы, получаемые из объектов С[га] Є С общего вида, можно рассматривать как соотношения гомотопической когерентности для композиций стрелок, получаемых из (3.2.1) обращением левой стрелки.
Предложение 3.2.10. Пусть J — X — модельное предрасслоение Сигала над А - индексированной категорией X. Тогда 1. если X є Sect (X, J), то всякая (ко)фибрантная замена X — также сигалово сечение, 2. если X є Secty(X,3r) фибрантно и f : х — у — отображение в 5 %, то индуцированное отображение Х(х) — f X(y) — тривиальная фибрация между фибрантными объектами, 3. если X, : I — Secty(X,3r) — диаграмма фибрантных сигаловых сечений, то её (негомотопический) предел — фибрантное сигалово сечение, 4. если {Xi}ies — семейство сигаловых сечений, то их гомотопическое произведение xLgXj также сигалово сечение, и более того, для каждого х Є X, естественное отоб h ies ражение (x eSXi)(x) — x eS(Xi(x)) — слабая эквивалентность. 5. если X — Y — Z — диаграмма в Secty(X,3r), то гомотопическое расслоённое произведение X Ху Z — тоже сигалово сечение, и для каждого х Є X, естественное отображение (X Xv Z)(x) — Х(х) х г N Z(X) — слабая эквивалентность. Доказательство. Первое утверждение — прямое следствие Леммы 3.2.8.
Для второго утверждения, мы знаем, что фибрантность X означает, что Х(х) фибрант-но для каждого х Є X степени 0. Вообще говоря, мы знаем, что Х(х) — ХХ — фибрация. Точно так же, как и для симплициальных объектов в модельной категории, можно доказать, что для всякого х — у, накрывающего инъекцию [п] - [т] в А, отображение ХХ — Х(у) — фибрация. Отсюда следует то, что Х(х) фибрантно и всякое сигалово отображение х — у отправляется в Х(х) — Х(у), которое является фибрацией и слабой эквивалентностью.
Чтобы продолжить, воспользуемся Предложением 1.3.11 для вычисления пределов, и вдобавок, сделаем это в сигаловой факторизационной системе на X. Заметим, что для х Є X над [п] Є А, мэтчинг-категория Mat (х) в сигаловой факторизационной системе эквивалентна [п — 1]. для сечения X, мэтчинг-объект в сигаловой факторизационной системе, х X, равен, в таком случае, Х(х\1), где х — х\1 — сигалово отображение, которое накрывает вложение [п] - [п — 1]. Таким образом, имея диаграмму сечений X, : I — Sect(X,9r), соответствующая декартова диаграмма (1.3.2) из Предложения 1.3.11 принимает следующую форму:
Категория производных сечений
Для третьего утверждения, лемма Кена Брауна [24, 20] показывает, что достаточно посмотреть, что происходить с тривиальными фибрациями между фибрантными объектами. Докажем, что если X — Y — тривиальная фибрация в Sect(XA,9r), то тогда для каждого х Є П, отображение 8х, Х(х) — 5%, Y(x) — тривиальная фибрация в (х). По индукции, видим, что стрелка 8% Х(х) — S% Y(x) может быть представлена как предел тривиальных фибраций, а потому является таковой.
То, что правый производный функтор IR#x, строго полон, следует из того, что 8%, строго полон и имеет сопряжённый, и что взятие фибрантной замены даёт эквивалентность категорий Но Sect(XA, J) = Но Sect(Хд, J)fib. Наконец, пусть X — фибрантное сигалово сечение и х Є Хп — объект над Р. Поскольку сигаловы отображения — часть факторизационной системы, подкатегория Mat (х) С Mat(x), даваемая сигаловыми отображениями, финальна. Поскольку открытое вложение Р - - Р определяется образом 1р/, мы видим, что Mat (х) эквивалентна категории, противоположной Р\{1р}, а потому стягиваема. В силу финальности можно переписать
Докажем, что для фибрантного сигалова сечения X и любого сигалова отображения / : х — у в Хп, индуцированный морфизм 8х, Х(х) — f 8x, X(y) — тривиальная фибрация. По индукции можно считать, что функтор Z = Resx5-x, X\Mat /х\ : Mat (х) — {х) имеет свойство, что для а — Ъ в Mat (х), отображение Z{a) — Z{h) — тривиальная фибрация между фибрантными объектами. Вспоминая о стягиваемости Mat (х), результат, известный в теории модельных категорий даёт, что всякое отображение проекции lini „, Z — Z(a) і Mat [x) v — тривиальное расслоение. Это завершает доказательство последнего утверждения.
Вернёмся к обсуждению S-локальной постоянности (Определение 4.0.8 производных сечений над С и того, как она переводится на случай более общих ЧУМ. Для наших целей, будет достаточно ограничиться теми ЧУМ, что имеют вид [п] х [к] Є А х А.
Определение 4.1.15. Пусть С — категория. Её двойной симплициальной заменой называется опфибрационная конструкция Гротендика Сдхд = (/Л дхдС), где ІУдхдС — функтор двойного нерва
По определению, 7Г : Сдхд — Аор х Аор — Ах А-индексированная категория. Обозначим её объект через с\ , с соглашением, что нижний индекс отвечает первому аргументу. Этот объект можно нарисовать как прямоугольную диаграмму в C:
Определение 4.1.16. Морфизм с , — c,j, в (Ьдхд — анти-сигалов если он определяется единственным образом по вложению ([/], [к]) - - ([т], [гг]), даваемому парой анти-сигаловых отображений тогда Cm даётся прямоугольником, содержащим правый нижний угол. Определение 4.1.17. Пусть дана изо-подкатегория аСс, тогда морфизм с , — сГ1 назы-вается -стирающим, если он анти-сигалов, и отображения „i - сильно S-стирающий, если он S-стирающий и, вдобавок, не существует S-стирающих отображений из сі .
Определение 4.1.18. Пусть дано модельное опрасслоение — С и изо-подкатегория S С С, Сечение X : Сдхд — Е называется -локально постоянным если для всякого S-стирающего
Легко видеть, что достаточно потребовать, чтобы Х(а) было слабой эквивалентностью для всякого сильно S-стирающего морфизма а. Предложение 4.1.19. Пусть — С — модельное опрасслоение и С С — изо-подкатего-рия в С. Тогда функтор hz/gUMe, : Но DSect(C, ) — Но5есі(Сдхд,Е) отправляет -локально постоянные производные сечения в -локально постоянные сечения нао дхА
Доказательство. Рассмотрим фибрантное -локально постоянное производное сечение X. Предложение 1.3.15 даёт индуктивную формулу для #e, , по которой 5р X(z/pC ) = lim IfcK Res мір Д„ , шч V \п] _Mat(cN) c[nj L ІМо (c[п]) ті /г , / \k] \ \k] ҐГ\ где категория Mail с состоит из всех морфизмов с — х в (Ln которые накрывают нетри-виальные инъекции [n] х [fe] в П. Поскольку анти-сигаловы отображения Ах А — часть факторизационной системы, суще л /Г тЯ / \к] \ _ л /Г і / \k] \ ствует финальная подкатегория Mar с А С Mail с состоящая из анти-сигаловых отоб [fcl /\k—K] /І і-\-К ражений, с необходимостью принимающих вид с — сг лп с с- = с.Лдг. А потому, 8e, X(vec\\) = Tim [fc] ,c4fc--g]NCMatn..4(c [fc]N e, ( ec!„rw,). [n] [n —./V] [n] f l l\k—K] Легко видать, что всякое анти-сигалово отображение а : с — с, дп единственным образом определяется как выбор крайней левой вершины внутреннего прямоугольника, соответствующей С/у. В частности, есть три объекта, л Ш /Г/с—11 у-) \k] ff\k] s i \к] ш\к—11 А : с — сг , , І5 : с —) сг ,,, О : с —) с, ., , [roj [roj [roj [го— 1J [roj [n— 1J которые определяются вершинами с$,с и cj соответственно. Можно видеть, что 6Р X(vpc\ \) = 6Р X(vpC, , )Xr / т\к-1\\ SP XifpC, -,,), причём это — гомотопически расслоённое произведение, поскольку X — фибрантно. По ин дуктивной процедуре, подобной той, что описана в Предложении 4.1.14, мы получаем иско мый результат. 4.1.3. К-замены и башни функторов Определение 4.1.20. Пусть F : D — С — функтор. Полная симплициальная башня функтора F, Тдхд( ), определяется следующим образом: Объект Tдхд( ) даётся объектом a J Є Dдхд, объектом сщ категории Cд, и изомор физмами ... (4.1.1) Со "- ... "- Cfc для 0 і к, которые совместимы с вертикальными отображениями в том смысле, что диаграммы = Сі - СІ коммутативны для каждого Q i kиQ j n. В частности, это означает, что все вертикальные отображения в d переходят в изоморфизмы в С. Морфизмы даются отображениями Аор х Аор, совместимыми с объектами в смысле, обычном для бисимплициальных замен. Мы будем обозначать через (d и, Сщ) объекты Tдхд(_Р), без явного упоминания изоморфизмов (4.1.1). Сопоставление (d c ) і— Сщ задаёт функтор рр : Tдхд(_Р) — C, являющийся опрасслоением, со слоями, равными симплициальным заменам категорий 2)(с[д.]). Замечание 4.1.21. Имея модельное опрасслоение — C, функтор р р : Sect(CA, ) — Sect(TдхA(F), Є) не является правым квилленовым. Проблема связана с тем, что каждый А-фактор в Tдхд(_Р) даёт вклад в мэтчинг-объект для фибраций в определении модельной структуры Риди.
К-замены и башни функторов
Другое треугольное тождество, Fi — FIF FI — Fi, можно разобрать подобным же образом, и мы видим, что нужно проверить, что hpF,\H F D, — Lp )!/i .]R ]D)) F Lp )!/i .]R ]D)) = L,PF MPF PF,\ F O, — изоморфизм. Однако, это отображение получается применением Lp i — Lp iKp Lp i к /х М щ . Отображение Lp i — Lp iKp Lp i является, в свою очередь, изоморфизмом, потому что Ш,рр строго полон. Предложение 4.2.10. Пусть — С — модельное опрасслоение и F : D — С — резольвента. Тогда функторы hF и hFi = Ърр,\Ц рШ8о} — сопряжённая эквивалентность: hFi : Но DSectp ISO(Q}(T), ) = Но DSect(C, ) : hF . Доказательство. Можно дословно повторить вычисления из Предложения 4.2.9, теперь работая с F-локально постоянными производными сечениями и рі?-локально постоянными сигаловыми сечениями на башне. Как мы видели, как единица, так и коединица индуциру ются с одноимённых отображений для Lp i и Ш,рр. Последние — эквивалентность, а потому то же верно и про hFi и hF . Наконец, Теорема 4.2.11. Пусть F : D — С — резольвента, С С — изо-подкатегория, а — С — модельное опрасслоение. Тогда имеет место быть эквивалентность категорий: hFi : Но DSectp (D, ) = Но DSect(C, ) : hF . Доказательство. Покажем для начала, что эквивалентность Предложения 4.1.31 даёт нам функтор Lpi?! : Но Sect (T(F),E) — Но DSect(C, ). Здесь Sect (T(F),E) — подкатегория тех сигаловых сечений Y : T(F) — Е которые переводят в слабую эквивалентность всякое отображение /3 : ір —ї башни T(F), чей образ Одхд — F S-CTHparoinrrfi (Определение 4.1.17). Пусть а : С[га] — cfc, — анти-сигалов морфизм с Q_I —) Q принадлежащими к для І і п — к. Поскольку функтор F — резольвента, мы видим, что в НоЕ(с[га]), значение L,pF,\X(c[n]) = X((c[ra],dK — drJT)) — ar і в 11 (г над Сг„і. Оораз Lvp\Y la) тогда изоморфен в катего-рии морфизмов НоЕ(с[га])) морфизму Y(ip) — Y(a\ip), где р — а\р — опдекартов морфизм в опрасслоении T(F) — С. Можно проверить, что образ р — а\р в Одхд является b е-стирающим. Это происходит потому, что всякий ооъект а,\ над С[га] имеет вертикальные отображения, которые отправляются в Iso(Q); также, для всякого значения j и для 1 і п — к, отображение d\_x — d\ принадлежит к F . Тогда отображение Y(p) — Y(a\ip) — слабая эквивалентность по предположению. То есть, ІЬр іУ действительно попадает в Но DSect(C, ), как и хотелось. Наконец, пусть X — і -локально постоянное производное сечение над D. Его расши рение на башню F, вычисляемое как (ірЖб Х, принадлежит категории HoSect &(T(F),E). Это — следствие Предложения 4.1.19 и того факта, что композиция T(F) — Тдхд(_Р) — ОдхА - Dn равна Цр. Всё это говорит нам о том, что эквивалентность категорий можно ограничить желаемым образом. Следствие 4.2.12. Пусть F : D — С — эквивалентность категорий. Тогда hF : Но DSect(C, ) — Но DSect(D, ) — эквивалентность. Доказательство. F — резольвента, и, вдобавок, F (Iso(Q)) = Iso(T)).
Допустим, что дан факторизационный функтор F : D — С, который является резольвентой при ограничении на правые классы. В этой секции мы покажем, что в некоторых случаях (выполненных в наших примерах) функтор F — эквивалентность на производных сечениях, которые локально постоянны вдоль «5f С С и её прообраза.
Напомним, что Г обозначает категорию конечных множеств. Обозначим через / С Гор категорию, противоположную к категории конечных множеств и инъективных отображений. Определение 4.3.1. Пусть С — категория. Её сплетённое произведение Gil — категория с объектами, даваемыми парами из S Є / и семейства {cs}s s объектов с, Є С морфизмами из (S, {cs}ses) в (Т, {c t}teT), даваемыми парами (/, {ft}teT), где S — Т — морфизм в / и ft : Cf(t) —ї c t — семейство отображений в С.
Естественный функторС І І —ї I, (S, {cs}ses) — S, — опрасслоение. Слой над S — произведение Gs из \S\ копий С. Имеем функтор тавтологического вложения j : С — С I I с j(c) = (1, {с}) для одноэлементного множества 1.
Лемма 4.3.2. Для всякого модельного опрасслоения р : — G, его сплетённое произведение plI:8lI—)-GlI — модельное опрасслоение, чьё ограничение вдоль j : С — Gil изоморфно р.
Доказательство. Слой I I над (S,{cs}) даётся произведением слоев IIses(cs). Имея отображение из (S,{cs}) в(Т, {с}), обозначенное через (/,{/ }), соответствующий функтор перехода I I(SAcA) — І I(TAcA) даётся композицией ГГ а8(сЛ — ТЪ Є(с л) —ї
Можно потому рассматривать I /-локально постоянные производные сечения модельного опрасслоения 8 11 —ї Gl I.
Обозначим через 1 категорию отмеченных объектов (S, s) в /, с морфизмами, сохраняющими отмеченные точки s Є S. Функтор забывания точки, 7Г :/ — /, — дискретное расслоение. ОпределимС І І := 7Г (С II) как обратный образ Gil —ї I вдоль 7Г. Индуцированный функтор 7Ге : С 11+ — G 11 тогда также является дискретным расслоением. Мы также имеем функтор р : С I 1+ — С, который действует, как проекция на слой над отмеченным элементом s Є S. Функтор р — предопрасслоение, слои которого р 1(с) имеют конечные объекты (с, 1 ) где 1 — множество из отмеченной точки. Лемма 4.0.4 тогда даёт нам, что р — резольвента.
Пока что мы получили эквивалентность hp : Но DSect(C, ) -ч HoDSect(C I 1+,р 8). Осталось сравнить эту категорию с Но DSect(C J, Ell). Вспомним о Лемме 1.2.6 и рассмотрим прямой образ 7Ге, р —ї Gil. Поскольку 7Ге — дискретное расслоение, опрасслоение 7Ге, р — G 11 модельно. Более того, имеем декартову эквивалентность опрасслоений 11 = 7Ге, р : взятие р отвечает постановке слоя в отмеченную точку, а применение 7Ге; отвечает взятию произведения по всем имеющимся точкам.